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Theorem blocnilem 21382
Description: Lemma for blocni 21383 and lnocni 21384. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8  |-  C  =  ( IndMet `  U )
blocni.d  |-  D  =  ( IndMet `  W )
blocni.j  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
blocni.k  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
blocni.4  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
blocni.5  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
blocni.u  |-  U  e.  NrmCVec
blocni.w  |-  W  e.  NrmCVec
blocni.l  |-  T  e.  L
blocnilem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
Assertion
Ref Expression
blocnilem  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
2 blocnilem.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 blocni.8 . . . . . . 7  |-  C  =  ( IndMet `  U )
42, 3imsxmet 21261 . . . . . 6  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
51, 4ax-mp 8 . . . . 5  |-  C  e.  ( * Met `  X
)
6 blocni.w . . . . . 6  |-  W  e.  NrmCVec
7 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( BaseSet `  W )  =  (
BaseSet `  W )
8 blocni.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( IndMet `  W )
97, 8imsxmet 21261 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )
106, 9ax-mp 8 . . . . 5  |-  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) )
11 1rp 10358 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
12 blocni.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
13 blocni.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
1412, 13metcnpi3 18092 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  1  e.  RR+ ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 ) )
1511, 14mpanr2 665 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  ( BaseSet
`  W ) ) )  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
165, 10, 15mpanl12 663 . . . 4  |-  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 ) )
17 rpreccl 10377 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR+ )
1817rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
1918ad2antlr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  ( 1  /  y )  e.  RR )
20 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -v
`  U )  =  ( -v `  U
)
21 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
222, 20, 21, 3imsdval 21255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  (
x C P )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) ) )
231, 22mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( x C P )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )
2423breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( x C P )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y
) )
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  T  e.  L
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  L  =  ( U  LnOp  W
)
272, 7, 26lnof 21333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  T : X --> ( BaseSet `  W
) )
281, 6, 25, 27mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T : X
--> ( BaseSet `  W )
2928ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  ->  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )
)
3028ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  X  ->  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -v
`  W )  =  ( -v `  W
)
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( normCV `  W )  =  (
normCV
`  W )
337, 31, 32, 8imsdval 21255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  x )  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P
)  e.  ( BaseSet `  W ) )  -> 
( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
346, 33mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T `  x
)  e.  ( BaseSet `  W )  /\  ( T `  P )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
3529, 30, 34syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( T `  x ) ( -v
`  W ) ( T `  P ) ) ) )
361, 6, 253pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )
372, 20, 31, 26lnosub 21337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
x  e.  X  /\  P  e.  X )
)  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( ( T `  x
) ( -v `  W ) ( T `
 P ) ) )
3836, 37mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( T `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( T `  x ) ( -v `  W
) ( T `  P ) ) )
3938fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  =  ( ( normCV `  W
) `  ( ( T `  x )
( -v `  W
) ( T `  P ) ) ) )
4035, 39eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) ) )
4140breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( T `
 x ) D ( T `  P
) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
4224, 41imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  X  /\  P  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4342ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4443adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  <->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
4544ralbidva 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  <->  A. x  e.  X  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 ) ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( T `  z )  =  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )
4746fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) ) )
48 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )
4948oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( ( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) ) )
5047, 49breq12d 4036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( 0vec `  U
)  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
511a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  U  e.  NrmCVec )
52 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  P  e.  X )
53 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
542, 21nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
551, 54mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
57 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
582, 57, 21nvgt0 21241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
591, 58mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( z  e.  X  ->  (
z  =/=  ( 0vec `  U )  <->  0  <  ( ( normCV `  U ) `  z ) ) )
6059biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  0  <  ( ( normCV `  U
) `  z )
)
6156, 60elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )
62 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
)  e.  RR+ )
6353, 61, 62syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  RR+ )
6463rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  e.  CC )
65 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  z  e.  X )
66 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
672, 66nvscl 21184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z )  e.  X )
6851, 64, 65, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z )  e.  X )
69 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
702, 69, 20nvpncan2 21214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z )  e.  X )  ->  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )
7151, 52, 68, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P )  =  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )
7271fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) )
7363rprege0d 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ) )
742, 66, 21nvsge0 21229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  z  e.  X
)  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
7551, 73, 65, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
76 rpcn 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  CC )
7776ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  e.  CC )
7855ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  RR )
7978recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC )
802, 57, 21nvz 21235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
811, 80mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =  0  <->  z  =  ( 0vec `  U )
) )
8281necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  X  ->  (
( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0  <->  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )
8382biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  =/=  0
)
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  z
)  =/=  0 )
8577, 79, 84divcan1d 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
)  =  y )
8672, 75, 853eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  =  y )
87 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
8887leidd 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  <_ 
y )
8988ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  <_  y )
9086, 89eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y )
912, 69nvgcl 21176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  P  e.  X  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z )  e.  X )  ->  ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) )  e.  X )
9251, 52, 68, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( P
( +v `  U
) ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .s
OLD `  U )
z ) )  e.  X )
93 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  ->  ( x
( -v `  U
) P )  =  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )
9493fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  =  ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) ) )
9594breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  <->  ( ( normCV `  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y )
)
9693fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  ->  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  =  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )
9796fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x
( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) ) )
9897breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
9995, 98imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  ->  ( (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  <-> 
( ( ( normCV `  U ) `  (
( P ( +v
`  U ) ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10099rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) )  e.  X  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10192, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) ) )
10290, 101mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )
10328ffvelrni 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  X  ->  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)
1047, 32nvcl 21225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  ( T `  z )  e.  ( BaseSet `  W )
)  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
1056, 103, 104sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  e.  RR )
106105ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  e.  RR )
107 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
108107a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  1  e.  RR )
109106, 108, 63lemuldiv2d 10436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
11071fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( T `
 ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .s
OLD `  U )
z ) ) )
111 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( .s
OLD `  W )  =  ( .s OLD `  W )
1122, 66, 111, 26lnomul 21338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X ) )  -> 
( T `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  z
) ) )
11336, 112mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( T `  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ( .s
OLD `  W )
( T `  z
) ) )
11464, 65, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  z ) ) )
115110, 114eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  U ) z ) ) ( -v `  U ) P ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  z ) ) )
116115fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( (
normCV
`  W ) `  ( ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ( .s OLD `  W ) ( T `
 z ) ) ) )
1176a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  W  e.  NrmCVec )
118103ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )
1197, 111, 32nvsge0 21229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  NrmCVec  /\  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  /\  ( T `  z )  e.  (
BaseSet `  W ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
120117, 73, 118, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  (
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  W
) ( T `  z ) ) )  =  ( ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  x.  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) ) ) )
121116, 120eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  =  ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) ) )
122121breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  x.  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) ) )  <_  1 ) )
123 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
124 rpcnne0 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+  ->  ( ( ( normCV `  U ) `  z
)  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )
125 recdiv 9466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  /\  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  e.  CC  /\  ( ( normCV `  U
) `  z )  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
126123, 124, 125syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR+ )  ->  ( 1  / 
( y  /  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  =  ( ( (
normCV
`  U ) `  z )  /  y
) )
12753, 61, 126syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) )  =  ( ( ( normCV `  U
) `  z )  /  y ) )
128 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  =/=  0 )
129128ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  y  =/=  0 )
13079, 77, 129divrec2d 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  U ) `  z )  /  y
)  =  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
131127, 130eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  =  ( 1  /  ( y  /  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
132131breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( 1  /  ( y  / 
( ( normCV `  U
) `  z )
) ) ) )
133109, 122, 1323bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( ( P ( +v `  U ) ( ( y  /  ( (
normCV
`  U ) `  z ) ) ( .s OLD `  U
) z ) ) ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
134102, 133sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( z  e.  X  /\  z  =/=  ( 0vec `  U ) ) )  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
135134anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A. x  e.  X  ( ( ( normCV `  U ) `  (
x ( -v `  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
136135imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
137136an32s 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  /\  z  =/=  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
138 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
1392, 7, 57, 138, 26lno0 21334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  NrmCVec  /\  T  e.  L )  ->  ( T `  ( 0vec `  U ) )  =  ( 0vec `  W
) )
1401, 6, 25, 139mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T `
 ( 0vec `  U
) )  =  (
0vec `  W )
141140fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )
142138, 32nvz0 21234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( 0vec `  W ) )  =  0 )
1436, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( 0vec `  W )
)  =  0
144141, 143eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0
145 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  0
146144, 145eqbrtri 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  0
14717rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  y )  e.  CC )
14857, 21nvz0 21234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
1491, 148ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
)  =  0
150149oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( 1  /  y )  x.  0 )
151 mul01 8991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  0 )  =  0 )
152150, 151syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  y )  e.  CC  ->  (
( 1  /  y
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  ( 0vec `  U )
) )  =  0 )
153147, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U ) ) )  =  0 )
154146, 153syl5breqr 4059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( (
normCV
`  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( 0vec `  U
) ) )  <_ 
( ( 1  / 
y )  x.  (
( normCV `  U ) `  ( 0vec `  U )
) ) )
156155ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  ( 0vec `  U ) ) )  <_  ( ( 1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U
) `  ( 0vec `  U ) ) ) )
15750, 137, 156pm2.61ne 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X )  /\  A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 ) )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
158157ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  z  e.  X
)  ->  ( A. x  e.  X  (
( ( normCV `  U
) `  ( x
( -v `  U
) P ) )  <_  y  ->  (
( normCV `  W ) `  ( T `  ( x ( -v `  U
) P ) ) )  <_  1 )  ->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
159158ralrimdva 2633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( (
normCV
`  U ) `  ( x ( -v
`  U ) P ) )  <_  y  ->  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  ( x ( -v
`  U ) P ) ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
16045, 159sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
161160imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )
162 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
x  x.  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  =  ( ( 1  / 
y )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
163162breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  (
( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
164163ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( 1  / 
y )  ->  ( A. z  e.  X  ( ( normCV `  W
) `  ( T `  z ) )  <_ 
( x  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  <->  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) ) )
165164rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  y
)  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( (
1  /  y )  x.  ( ( normCV `  U ) `  z
) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
16619, 161, 165syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_  y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_  1 ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
167166ex 423 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  X  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. x  e.  X  ( ( x C P )  <_ 
y  ->  ( ( T `  x ) D ( T `  P ) )  <_ 
1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
168167rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( P  e.  X  ->  ( E. y  e.  RR+  A. x  e.  X  ( (
x C P )  <_  y  ->  (
( T `  x
) D ( T `
 P ) )  <_  1 )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
16916, 168syl5 28 . . 3  |-  ( P  e.  X  ->  ( T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
170169imp 418 . 2  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z ) )  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
171 blocni.5 . . . 4  |-  B  =  ( U  BLnOp  W )
1722, 21, 32, 26, 171, 1, 6isblo3i 21379 . . 3  |-  ( T  e.  B  <->  ( T  e.  L  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) ) )
17325, 172mpbiran 884 . 2  |-  ( T  e.  B  <->  E. x  e.  RR  A. z  e.  X  ( ( normCV `  W ) `  ( T `  z )
)  <_  ( x  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
174170, 173sylibr 203 1  |-  ( ( P  e.  X  /\  T  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )  ->  T  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372    CnP ccnp 16955   NrmCVeccnv 21140   +vcpv 21141   BaseSetcba 21142   .s OLDcns 21143   0veccn0v 21144   -vcnsb 21145   normCVcnmcv 21146   IndMetcims 21147    LnOp clno 21318    BLnOp cblo 21320
This theorem is referenced by:  blocni  21383  lnocni  21384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cnp 16958  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-lno 21322  df-nmoo 21323  df-blo 21324  df-0o 21325
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