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Theorem blocnilem 21398
 Description: Lemma for blocni 21399 and lnocni 21400. If a linear operator is continuous at any point, it is bounded. (Contributed by NM, 17-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocni.8
blocni.d
blocni.j
blocni.k
blocni.4
blocni.5
blocni.u
blocni.w
blocni.l
blocnilem.1
Assertion
Ref Expression
blocnilem

Proof of Theorem blocnilem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blocni.u . . . . . 6
2 blocnilem.1 . . . . . . 7
3 blocni.8 . . . . . . 7
42, 3imsxmet 21277 . . . . . 6
51, 4ax-mp 8 . . . . 5
6 blocni.w . . . . . 6
7 eqid 2296 . . . . . . 7
8 blocni.d . . . . . . 7
97, 8imsxmet 21277 . . . . . 6
106, 9ax-mp 8 . . . . 5
11 1rp 10374 . . . . . 6
12 blocni.j . . . . . . 7
13 blocni.k . . . . . . 7
1412, 13metcnpi3 18108 . . . . . 6
1511, 14mpanr2 665 . . . . 5
165, 10, 15mpanl12 663 . . . 4
17 rpreccl 10393 . . . . . . . . 9
1817rpred 10406 . . . . . . . 8
1918ad2antlr 707 . . . . . . 7
20 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
21 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CV CV
222, 20, 21, 3imsdval 21271 . . . . . . . . . . . . . . 15 CV
231, 22mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . 14 CV
2423breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13 CV
25 blocni.l . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
26 blocni.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
272, 7, 26lnof 21349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
281, 6, 25, 27mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3028ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV CV
337, 31, 32, 8imsdval 21271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV
346, 33mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CV
3529, 30, 34syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15 CV
361, 6, 253pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
372, 20, 31, 26lnosub 21353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3836, 37mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15 CV CV
4035, 39eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14 CV
4140breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13 CV
4224, 41imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12 CV CV
4342ancoms 439 . . . . . . . . . . 11 CV CV
4443adantlr 695 . . . . . . . . . 10 CV CV
4544ralbidva 2572 . . . . . . . . 9 CV CV
46 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14
4746fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13 CV CV
48 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14 CV CV
4948oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 CV CV
5047, 49breq12d 4052 . . . . . . . . . . . 12 CV CV CV CV
511a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
52 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
53 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
542, 21nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 CV
551, 54mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 CV
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 CV
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
582, 57, 21nvgt0 21257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 CV
591, 58mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 CV
6059biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 CV
6156, 60elrpd 10404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CV
62 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CV CV
6353, 61, 62syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CV
6463rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CV
65 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
66 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
672, 66nvscl 21200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CV CV
6851, 64, 65, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV
69 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
702, 69, 20nvpncan2 21230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV CV CV
7151, 52, 68, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV
7271fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV CV CV
7363rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV
742, 66, 21nvsge0 21245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV CV CV CV CV
7551, 73, 65, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV CV CV
76 rpcn 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7776ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7855ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV
7978recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV
802, 57, 21nvz 21251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 CV
811, 80mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CV
8281necon3bid 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CV
8382biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV
8577, 79, 84divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV
8672, 75, 853eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV CV
87 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8887leidd 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8988ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9086, 89eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV CV
912, 69nvgcl 21192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV
9251, 52, 68, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV
93 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CV CV
9493fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV CV CV CV
9594breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV CV CV
9693fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CV CV
9796fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV CV CV CV
9897breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV CV CV
9995, 98imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV CV CV CV CV CV
10099rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV CV CV CV CV CV CV
10192, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV CV CV CV CV CV
10290, 101mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CV CV CV CV
10328ffvelrni 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1047, 32nvcl 21241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV
1056, 103, 104sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV
106105ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV
107 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109106, 108, 63lemuldiv2d 10452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV CV CV CV
11071fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV CV
111 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1122, 66, 111, 26lnomul 21354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CV CV CV
11336, 112mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 CV CV CV
11464, 65, 113syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV CV
115110, 114eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV
116115fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV CV CV
1176a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118103ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1197, 111, 32nvsge0 21245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV CV CV CV CV
120117, 73, 118, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV CV CV
121116, 120eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV CV CV CV
122121breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV CV CV CV
123 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
124 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV CV CV
125 recdiv 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 CV CV CV CV
126123, 124, 125syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 CV CV CV
12753, 61, 126syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV
128 rpne0 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129128ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13079, 77, 129divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV CV
131127, 130eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV CV
132131breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV CV CV CV
133109, 122, 1323bitr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CV CV CV CV
134102, 133sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . 15 CV CV CV CV
135134anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . 14 CV CV CV CV
136135imp 418 . . . . . . . . . . . . 13 CV CV CV CV
137136an32s 779 . . . . . . . . . . . 12 CV CV CV CV
138 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1392, 7, 57, 138, 26lno0 21350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1401, 6, 25, 139mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141140fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV CV
142138, 32nvz0 21250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV
1436, 142ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV
144141, 143eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CV
145 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . . . . 16
146144, 145eqbrtri 4058 . . . . . . . . . . . . . . 15 CV
14717rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14857, 21nvz0 21250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 CV
1491, 148ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 CV
150149oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CV
151 mul01 9007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
152150, 151syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 CV
153147, 152syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 CV
154146, 153syl5breqr 4075 . . . . . . . . . . . . . 14 CV CV
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13 CV CV
156155ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 CV CV CV CV
15750, 137, 156pm2.61ne 2534 . . . . . . . . . . 11 CV CV CV CV
158157ex 423 . . . . . . . . . 10 CV CV CV CV
159158ralrimdva 2646 . . . . . . . . 9 CV CV CV CV
16045, 159sylbid 206 . . . . . . . 8 CV CV
161160imp 418 . . . . . . 7 CV CV
162 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 CV CV
163162breq2d 4051 . . . . . . . . 9 CV CV CV CV
164163ralbidv 2576 . . . . . . . 8 CV CV CV CV
165164rspcev 2897 . . . . . . 7 CV CV CV CV
16619, 161, 165syl2anc 642 . . . . . 6 CV CV
167166ex 423 . . . . 5 CV CV
168167rexlimdva 2680 . . . 4 CV CV
16916, 168syl5 28 . . 3 CV CV
170169imp 418 . 2 CV CV
171 blocni.5 . . . 4
1722, 21, 32, 26, 171, 1, 6isblo3i 21395 . . 3 CV CV
17325, 172mpbiran 884 . 2 CV CV
174170, 173sylibr 203 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557   class class class wbr 4039  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  crp 10370  cxmt 16385  cmopn 16388   ccnp 16971  cnv 21156  cpv 21157  cba 21158  cns 21159  cn0v 21160  cnsb 21161  CVcnmcv 21162  cims 21163   clno 21334   cblo 21336 This theorem is referenced by:  blocni  21399  lnocni  21400 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cnp 16974  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-lno 21338  df-nmoo 21339  df-blo 21340  df-0o 21341
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