MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blopn Unicode version

Theorem blopn 18142
Description: A ball of a metric space is an open set. (Contributed by NM, 9-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
blopn  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  J )

Proof of Theorem blopn
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21blssopn 18137 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  C_  J )
323ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ran  ( ball `  D
)  C_  J )
4 blelrn 18063 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ran  ( ball `  D ) )
53, 4sseldd 3257 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   ran crn 4769   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   RR*cxr 8953   * Metcxmt 16462   ballcbl 16464   MetOpencmopn 16467
This theorem is referenced by:  neibl  18143  blnei  18144  methaus  18162  met1stc  18163  met2ndci  18164  metrest  18166  prdsxmslem2  18171  metcnp3  18182  zdis  18418  metdseq0  18455  metnrmlem2  18461  cnheibor  18551  cnllycmp  18552  nmhmcn  18699  lmmbr  18782  cfilfcls  18798  iscmet3lem2  18816  flimcfil  18837  bcthlem5  18848  ellimc3  19327  dvlipcn  19439  dvlip2  19440  psercn  19903  pserdvlem2  19905  dvlog2  20105  efopnlem2  20109  logtayl  20112  xrlimcnp  20368  efrlim  20369  lgamucov  24071  cnllyscon  24180  ismtyhmeolem  25851  heibor1lem  25856  heibor1  25857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-topgen 13437  df-xmet 16469  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-bases 16738
  Copyright terms: Public domain W3C validator