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Theorem blss 18460
Description: Any point  P in a ball  B can be centered in another ball that is a subset of  B. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
blss  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D )  /\  P  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, P    x, X

Proof of Theorem blss
Dummy variables  r 
y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 blrn 18444 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D )  <->  E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y ( ball `  D
) r ) ) )
2 elbl 18423 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y ( ball `  D
) r )  <->  ( P  e.  X  /\  (
y D P )  <  r ) ) )
3 simpl1 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
4 simpl2 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  y  e.  X )
5 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  P  e.  X )
6 xmetcl 18366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  ->  ( y D P )  e.  RR* )
73, 4, 5, 6syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( y D P )  e.  RR* )
8 simpl3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  r  e.  RR* )
9 qbtwnxr 10791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR*  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) )
1093expia 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y D P )  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
( y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )
117, 8, 10syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
y D P )  <  r  ->  E. z  e.  QQ  ( ( y D P )  < 
z  /\  z  <  r ) ) )
12 qre 10584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  QQ  ->  z  e.  RR )
13 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
14 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  P  e.  X
)
15 simpll2 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  y  e.  X
)
16 xmetsym 18382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  =  ( y D P ) )
18 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y D P )  <  z
)
1917, 18eqbrtrd 4235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <  z
)
20 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR )
21 xmetcl 18366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
2213, 14, 15, 21syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR* )
23 rexr 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  RR* )
2423ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  RR* )
25 xrltle 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( P D y )  <  z  -> 
( P D y )  <_  z )
)
2622, 24, 25syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  ->  ( P D y )  <_ 
z ) )
2719, 26mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  z
)
28 xmetlecl 18381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( P  e.  X  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_  z ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
2913, 14, 15, 20, 27, 28syl122anc 1194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  RR )
30 difrp 10650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( P D y )  <  z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ ) )
3129, 20, 30syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( ( P D y )  < 
z  <->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
)
3219, 31mpbid 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+ )
3320, 29resubcld 9470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR )
34 xrleid 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
3522, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  ( P D y ) )
3620recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  e.  CC )
3729recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  e.  CC )
3836, 37nncand 9421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  -  ( z  -  ( P D y ) ) )  =  ( P D y ) )
3935, 38breqtrrd 4241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P D y )  <_  (
z  -  ( z  -  ( P D y ) ) ) )
40 blss2 18439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( (
z  -  ( P D y ) )  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  ( P D y )  <_ 
( z  -  (
z  -  ( P D y ) ) ) ) )  -> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
z ) )
4113, 14, 15, 33, 20, 39, 40syl33anc 1200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
z ) )
42 simpll3 999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  r  e.  RR* )
43 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <  r
)
44 xrltle 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  ->  (
z  <  r  ->  z  <_  r ) )
4524, 42, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( z  < 
r  ->  z  <_  r ) )
4643, 45mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  z  <_  r
)
47 ssbl 18458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
z  e.  RR*  /\  r  e.  RR* )  /\  z  <_  r )  ->  (
y ( ball `  D
) z )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
4813, 15, 24, 42, 46, 47syl221anc 1196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( y (
ball `  D )
z )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )
4941, 48sstrd 3360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  ( P (
ball `  D )
( z  -  ( P D y ) ) )  C_  ( y
( ball `  D )
r ) )
50 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( P
( ball `  D )
x )  =  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) ) )
5150sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( z  -  ( P D y ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r )  <-> 
( P ( ball `  D ) ( z  -  ( P D y ) ) ) 
C_  ( y (
ball `  D )
r ) ) )
5251rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  -  ( P D y ) )  e.  RR+  /\  ( P ( ball `  D
) ( z  -  ( P D y ) ) )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5332, 49, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  ( z  e.  RR  /\  ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) )
5453expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5512, 54sylan2 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  /\  z  e.  QQ )  ->  ( ( ( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5655rexlimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( E. z  e.  QQ  (
( y D P )  <  z  /\  z  <  r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
5711, 56syld 43 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  /\  P  e.  X
)  ->  ( (
y D P )  <  r  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
5857expimpd 588 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( ( P  e.  X  /\  ( y D P )  < 
r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
592, 58sylbid 208 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( P  e.  ( y ( ball `  D
) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
60 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  <->  P  e.  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
61 sseq2 3372 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P ( ball `  D ) x ) 
C_  B  <->  ( P
( ball `  D )
x )  C_  (
y ( ball `  D
) r ) ) )
6261rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B 
<->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) )
6360, 62imbi12d 313 . . . . . 6  |-  ( B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  (
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B )  <->  ( P  e.  ( y ( ball `  D ) r )  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  ( y ( ball `  D ) r ) ) ) )
6459, 63syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
65643expib 1157 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( y  e.  X  /\  r  e.  RR* )  ->  ( B  =  ( y ( ball `  D
) r )  -> 
( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) ) )
6665rexlimdvv 2838 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( E. y  e.  X  E. r  e.  RR*  B  =  ( y (
ball `  D )
r )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
671, 66sylbid 208 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( B  e.  ran  ( ball `  D )  ->  ( P  e.  B  ->  E. x  e.  RR+  ( P ( ball `  D
) x )  C_  B ) ) )
68673imp 1148 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  ran  ( ball `  D )  /\  P  e.  B
)  ->  E. x  e.  RR+  ( P (
ball `  D )
x )  C_  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296   QQcq 10579   RR+crp 10617   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693
This theorem is referenced by:  blssex  18462  blin2  18464  metss  18543  metcnp3  18575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702
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