MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Unicode version

Theorem blssm 18440
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 18429 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6208 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
43elpwid 3800 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RR*cxr 9111   * Metcxmt 16678   ballcbl 16680
This theorem is referenced by:  blpnfctr  18458  xmetresbl  18459  imasf1oxms  18511  prdsbl  18513  blcld  18527  blcls  18528  prdsxmslem2  18551  metcnp  18563  cnllycmp  18973  lebnumlem3  18980  lebnum  18981  cfil3i  19214  iscfil3  19218  cfilfcls  19219  iscmet3lem2  19237  equivcfil  19244  caublcls  19253  relcmpcmet  19261  cmpcmet  19262  cncmet  19267  bcthlem2  19270  bcthlem4  19272  dvlip2  19871  dv11cn  19877  pserdvlem2  20336  pserdv  20337  abelthlem3  20341  abelthlem5  20343  dvlog2lem  20535  dvlog2  20536  efopnlem2  20540  efopn  20541  logtayl  20543  efrlim  20800  blscon  24923  sstotbnd2  26474  equivtotbnd  26478  isbnd2  26483  blbnd  26487  totbndbnd  26489  prdstotbnd  26494  prdsbnd2  26495  ismtyima  26503  heiborlem3  26513  heiborlem8  26518
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-xr 9116  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-bl 16689
  Copyright terms: Public domain W3C validator