MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Structured version   Unicode version

Theorem blssm 18453
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 18442 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6219 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1218 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
43elpwid 3810 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RR*cxr 9124   * Metcxmt 16691   ballcbl 16693
This theorem is referenced by:  blpnfctr  18471  xmetresbl  18472  imasf1oxms  18524  prdsbl  18526  blcld  18540  blcls  18541  prdsxmslem2  18564  metcnp  18576  cnllycmp  18986  lebnumlem3  18993  lebnum  18994  cfil3i  19227  iscfil3  19231  cfilfcls  19232  iscmet3lem2  19250  equivcfil  19257  caublcls  19266  relcmpcmet  19274  cmpcmet  19275  cncmet  19280  bcthlem2  19283  bcthlem4  19285  dvlip2  19884  dv11cn  19890  pserdvlem2  20349  pserdv  20350  abelthlem3  20354  abelthlem5  20356  dvlog2lem  20548  dvlog2  20549  efopnlem2  20553  efopn  20554  logtayl  20556  efrlim  20813  blscon  24936  sstotbnd2  26497  equivtotbnd  26501  isbnd2  26506  blbnd  26510  totbndbnd  26512  prdstotbnd  26517  prdsbnd2  26518  ismtyima  26526  heiborlem3  26536  heiborlem8  26541
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-map 7023  df-xr 9129  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-bl 16702
  Copyright terms: Public domain W3C validator