MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Unicode version

Theorem blssm 17968
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 17961 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 5990 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
4 elpwi 3633 . 2  |-  ( ( P ( ball `  D
) R )  e. 
~P X  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  X )
53, 4syl 15 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RR*cxr 8866   * Metcxmt 16369   ballcbl 16371
This theorem is referenced by:  blpnfctr  17982  xmetresbl  17983  imasf1oxms  18035  prdsbl  18037  blcld  18051  blcls  18052  prdsxmslem2  18075  metcnp  18087  cnllycmp  18454  lebnumlem3  18461  lebnum  18462  cfil3i  18695  iscfil3  18699  cfilfcls  18700  iscmet3lem2  18718  equivcfil  18725  caublcls  18734  relcmpcmet  18742  cmpcmet  18743  cncmet  18744  bcthlem2  18747  bcthlem4  18749  dvlip2  19342  dv11cn  19348  pserdvlem2  19804  pserdv  19805  abelthlem3  19809  abelthlem5  19811  dvlog2lem  19999  dvlog2  20000  efopnlem2  20004  efopn  20005  logtayl  20007  efrlim  20264  blscon  23775  sstotbnd2  26498  equivtotbnd  26502  isbnd2  26507  blbnd  26511  totbndbnd  26513  prdstotbnd  26518  prdsbnd2  26519  ismtyima  26527  heiborlem3  26537  heiborlem8  26542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-map 6774  df-xr 8871  df-xmet 16373  df-bl 16375
  Copyright terms: Public domain W3C validator