MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blssm Unicode version

Theorem blssm 17984
Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
blssm  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )

Proof of Theorem blssm
StepHypRef Expression
1 blf 17977 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( ball `  D ) : ( X  X.  RR* )
--> ~P X )
2 fovrn 6006 . . 3  |-  ( ( ( ball `  D
) : ( X  X.  RR* ) --> ~P X  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
31, 2syl3an1 1215 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R )  e.  ~P X )
4 elpwi 3646 . 2  |-  ( ( P ( ball `  D
) R )  e. 
~P X  ->  ( P ( ball `  D
) R )  C_  X )
53, 4syl 15 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  D ) R ) 
C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387
This theorem is referenced by:  blpnfctr  17998  xmetresbl  17999  imasf1oxms  18051  prdsbl  18053  blcld  18067  blcls  18068  prdsxmslem2  18091  metcnp  18103  cnllycmp  18470  lebnumlem3  18477  lebnum  18478  cfil3i  18711  iscfil3  18715  cfilfcls  18716  iscmet3lem2  18734  equivcfil  18741  caublcls  18750  relcmpcmet  18758  cmpcmet  18759  cncmet  18760  bcthlem2  18763  bcthlem4  18765  dvlip2  19358  dv11cn  19364  pserdvlem2  19820  pserdv  19821  abelthlem3  19825  abelthlem5  19827  dvlog2lem  20015  dvlog2  20016  efopnlem2  20020  efopn  20021  logtayl  20023  efrlim  20280  blscon  23790  sstotbnd2  26601  equivtotbnd  26605  isbnd2  26610  blbnd  26614  totbndbnd  26616  prdstotbnd  26621  prdsbnd2  26622  ismtyima  26630  heiborlem3  26640  heiborlem8  26645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-xr 8887  df-xmet 16389  df-bl 16391
  Copyright terms: Public domain W3C validator