Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Structured version   Unicode version

Theorem blssp 26462
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2  |-  N  =  ( M  |`  ( S  X.  S ) )
Assertion
Ref Expression
blssp  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  ( Y ( ball `  N
) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  S
) )

Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 18364 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
21ad2antrr 707 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
3 simprl 733 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  S )
4 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  S  C_  X )
5 sseqin2 3560 . . . 4  |-  ( S 
C_  X  <->  ( X  i^i  S )  =  S )
64, 5sylib 189 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
73, 6eleqtrrd 2513 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  ( X  i^i  S
) )
8 rpxr 10619 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
98ad2antll 710 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  R  e.  RR* )
10 blssp.2 . . 3  |-  N  =  ( M  |`  ( S  X.  S ) )
1110blres 18461 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  ( X  i^i  S )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y (
ball `  N ) R )  =  ( ( Y ( ball `  M ) R )  i^i  S ) )
122, 7, 9, 11syl3anc 1184 1  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  ( Y ( ball `  N
) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3319    C_ wss 3320    X. cxp 4876    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RR*cxr 9119   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   Metcme 16687   ballcbl 16688
This theorem is referenced by:  bndss  26495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-mulcl 9052  ax-i2m1 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697
  Copyright terms: Public domain W3C validator