Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  blssp Unicode version

Theorem blssp 25619
Description: A ball in the subspace metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
blssp.2  |-  N  =  ( M  |`  ( S  X.  S ) )
Assertion
Ref Expression
blssp  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  ( Y ( ball `  N
) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  S
) )

Proof of Theorem blssp
StepHypRef Expression
1 metxmet 17951 . . 3  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
21ad2antrr 706 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
3 simprl 732 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  S )
4 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  S  C_  X )
5 sseqin2 3422 . . . 4  |-  ( S 
C_  X  <->  ( X  i^i  S )  =  S )
64, 5sylib 188 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  ( X  i^i  S )  =  S )
73, 6eleqtrrd 2393 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  Y  e.  ( X  i^i  S
) )
8 rpxr 10408 . . 3  |-  ( R  e.  RR+  ->  R  e. 
RR* )
98ad2antll 709 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  R  e.  RR* )
10 blssp.2 . . 3  |-  N  =  ( M  |`  ( S  X.  S ) )
1110blres 18029 . 2  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  e.  ( X  i^i  S )  /\  R  e.  RR* )  ->  ( Y (
ball `  N ) R )  =  ( ( Y ( ball `  M ) R )  i^i  S ) )
122, 7, 9, 11syl3anc 1182 1  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  S  C_  X
)  /\  ( Y  e.  S  /\  R  e.  RR+ ) )  ->  ( Y ( ball `  N
) R )  =  ( ( Y (
ball `  M ) R )  i^i  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    i^i cin 3185    C_ wss 3186    X. cxp 4724    |` cres 4728   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   RR*cxr 8911   RR+crp 10401   * Metcxmt 16418   Metcme 16419   ballcbl 16420
This theorem is referenced by:  bndss  25658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-mulcl 8844  ax-i2m1 8850
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-rp 10402  df-xadd 10500  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427
  Copyright terms: Public domain W3C validator