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Theorem bnd2 7579
Description: A variant of the Boundedness Axiom bnd 7578 that picks a subset  z out of a possibly proper class 
B in which a property is true. (Contributed by NM, 4-Feb-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
bnd2.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnd2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Distinct variable groups:    ph, z    x, z, A    x, y, B, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem bnd2
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2580 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y
( y  e.  B  /\  ph ) )
3 bnd2.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 raleq 2749 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )
) )
5 raleq 2749 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
65exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( v  =  A  ->  ( E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) )
74, 6imbi12d 311 . . . 4  |-  ( v  =  A  ->  (
( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
) ) )
8 bnd 7578 . . . 4  |-  ( A. x  e.  v  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  v  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
93, 7, 8vtocl 2851 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
102, 9sylbi 187 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )
)
11 vex 2804 . . . . 5  |-  w  e. 
_V
1211inex1 4171 . . . 4  |-  ( w  i^i  B )  e. 
_V
13 inss2 3403 . . . . . . 7  |-  ( w  i^i  B )  C_  B
14 sseq1 3212 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
z  C_  B  <->  ( w  i^i  B )  C_  B
) )
1513, 14mpbiri 224 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  z  C_  B )
1615biantrurd 494 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<->  ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) ) )
17 rexeq 2750 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  ( w  i^i  B )
ph ) )
18 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( w  i^i 
B )  <->  ( y  e.  w  /\  y  e.  B ) )
1918anbi1i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B )  /\  ph ) )
20 anass 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  y  e.  B
)  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2119, 20bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( w  i^i  B )  /\  ph )  <->  ( y  e.  w  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2221rexbii2 2585 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  ( w  i^i  B ) ph  <->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) )
2317, 22syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( E. y  e.  z  ph 
<->  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2423ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph 
<-> 
A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2516, 24bitr3d 246 . . . 4  |-  ( z  =  ( w  i^i 
B )  ->  (
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2612, 25spcev 2888 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  (
y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z
( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2726exlimiv 1624 . 2  |-  ( E. w A. x  e.  A  E. y  e.  w  ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. z ( z 
C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
2810, 27syl 15 1  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. z ( z  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  z  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165
This theorem is referenced by:  ac6s  8127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-r1 7452  df-rank 7453
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