MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndrank Unicode version

Theorem bndrank 7513
Description: Any class whose elements have bounded rank is a set. Proposition 9.19 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
bndrank  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem bndrank
StepHypRef Expression
1 rankon 7467 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  y )  e.  On
21onordi 4497 . . . . . . 7  |-  Ord  ( rank `  y )
3 eloni 4402 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
4 ordsucsssuc 4614 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  ( rank `  y
)  /\  Ord  x )  ->  ( ( rank `  y )  C_  x  <->  suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x ) )
52, 3, 4sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  <->  suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x ) )
61onsuci 4629 . . . . . . 7  |-  suc  ( rank `  y )  e.  On
7 suceloni 4604 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
8 r1ord3 7454 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  ( rank `  y
)  e.  On  /\  suc  x  e.  On )  ->  ( suc  ( rank `  y )  C_  suc  x  ->  ( R1 ` 
suc  ( rank `  y
) )  C_  ( R1 `  suc  x ) ) )
96, 7, 8sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( suc  ( rank `  y
)  C_  suc  x  -> 
( R1 `  suc  ( rank `  y )
)  C_  ( R1 ` 
suc  x ) ) )
105, 9sylbid 206 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  ->  ( R1 ` 
suc  ( rank `  y
) )  C_  ( R1 `  suc  x ) ) )
11 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
1211rankid 7505 . . . . 5  |-  y  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  y )
)
13 ssel 3174 . . . . 5  |-  ( ( R1 `  suc  ( rank `  y ) ) 
C_  ( R1 `  suc  x )  ->  (
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  x )
) )
1410, 12, 13syl6mpi 58 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  (
( rank `  y )  C_  x  ->  y  e.  ( R1 `  suc  x
) ) )
1514ralimdv 2622 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x
) ) )
16 dfss3 3170 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x
) )
17 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( R1
`  suc  x )  e.  _V
1817ssex 4158 . . . 4  |-  ( A 
C_  ( R1 `  suc  x )  ->  A  e.  _V )
1916, 18sylbir 204 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  suc  x )  ->  A  e.  _V )
2015, 19syl6 29 . 2  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V ) )
2120rexlimiv 2661 1  |-  ( E. x  e.  On  A. y  e.  A  ( rank `  y )  C_  x  ->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   ` cfv 5255   R1cr1 7434   rankcrnk 7435
This theorem is referenced by:  unbndrank  7514  scottex  7555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437
  Copyright terms: Public domain W3C validator