Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bndth Structured version   Unicode version

Theorem bndth 18985
 Description: The Boundedness Theorem. A continuous function from a compact topological space to the reals is bounded (above). (Boundedness below is obtained by applying this theorem to .) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bndth.1
bndth.2
bndth.3
bndth.4
Assertion
Ref Expression
bndth
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem bndth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bndth.4 . . . . 5
2 bndth.1 . . . . . 6
3 bndth.2 . . . . . . . 8
4 retopon 18799 . . . . . . . 8 TopOn
53, 4eqeltri 2508 . . . . . . 7 TopOn
65toponunii 16999 . . . . . 6
72, 6cnf 17312 . . . . 5
81, 7syl 16 . . . 4
9 frn 5599 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3
11 imassrn 5218 . . . . . 6
12 retopbas 18796 . . . . . . . 8
13 bastg 17033 . . . . . . . 8
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . 7
1514, 3sseqtr4i 3383 . . . . . 6
1611, 15sstri 3359 . . . . 5
17 retop 18797 . . . . . . . 8
183, 17eqeltri 2508 . . . . . . 7
1918elexi 2967 . . . . . 6
2019elpw2 4366 . . . . 5
2116, 20mpbir 202 . . . 4
22 bndth.3 . . . . . 6
23 rncmp 17461 . . . . . 6 t
2422, 1, 23syl2anc 644 . . . . 5 t
256cmpsub 17465 . . . . . 6 t
2618, 10, 25sylancr 646 . . . . 5 t
2724, 26mpbid 203 . . . 4
28 unieq 4026 . . . . . . . 8
2911unissi 4040 . . . . . . . . . 10
30 unirnioo 11006 . . . . . . . . . 10
3129, 30sseqtr4i 3383 . . . . . . . . 9
32 id 21 . . . . . . . . . . . 12
33 ltp1 9850 . . . . . . . . . . . 12
34 ressxr 9131 . . . . . . . . . . . . . 14
35 peano2re 9241 . . . . . . . . . . . . . 14
3634, 35sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . 13
37 elioomnf 11001 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3932, 33, 38mpbir2and 890 . . . . . . . . . . 11
40 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . 12
41 mnfxr 10716 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241elexi 2967 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342snid 3843 . . . . . . . . . . . . . 14
44 opelxpi 4912 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 35, 44sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13
46 ioof 11004 . . . . . . . . . . . . . . 15
47 ffun 5595 . . . . . . . . . . . . . . 15
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14
49 snssi 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5041, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 xpss12 4983 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 34, 51mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15
5346fdmi 5598 . . . . . . . . . . . . . . 15
5452, 53sseqtr4i 3383 . . . . . . . . . . . . . 14
55 funfvima2 5976 . . . . . . . . . . . . . 14
5648, 54, 55mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13
5745, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5840, 57syl5eqel 2522 . . . . . . . . . . 11
59 elunii 4022 . . . . . . . . . . 11
6039, 58, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
6160ssriv 3354 . . . . . . . . 9
6231, 61eqssi 3366 . . . . . . . 8
6328, 62syl6eq 2486 . . . . . . 7
6463sseq2d 3378 . . . . . 6
65 pweq 3804 . . . . . . . 8
6665ineq1d 3543 . . . . . . 7
6766rexeqdv 2913 . . . . . 6
6864, 67imbi12d 313 . . . . 5
6968rspcv 3050 . . . 4
7021, 27, 69mpsyl 62 . . 3
7110, 70mpd 15 . 2
72 simpr 449 . . . . . . 7
73 elin 3532 . . . . . . 7
7472, 73sylib 190 . . . . . 6
7574adantrr 699 . . . . 5
7675simprd 451 . . . 4
7774simpld 447 . . . . . . 7
7877elpwid 3810 . . . . . 6
7950sseli 3346 . . . . . . . . . . . 12
8079adantr 453 . . . . . . . . . . 11
8134sseli 3346 . . . . . . . . . . . 12
8281adantl 454 . . . . . . . . . . 11
83 mnflt 10724 . . . . . . . . . . . . . . 15
84 xrltnle 9146 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8541, 81, 84sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
8683, 85mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14
8786adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13
88 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14
9089breq2d 4226 . . . . . . . . . . . . 13
9187, 90mtbird 294 . . . . . . . . . . . 12
92 ioo0 10943 . . . . . . . . . . . . . 14
9379, 81, 92syl2an 465 . . . . . . . . . . . . 13
9493necon3abid 2636 . . . . . . . . . . . 12
9591, 94mpbird 225 . . . . . . . . . . 11
96 df-ioo 10922 . . . . . . . . . . . 12
97 idd 23 . . . . . . . . . . . 12
98 xrltle 10744 . . . . . . . . . . . 12
99 idd 23 . . . . . . . . . . . 12
100 xrltle 10744 . . . . . . . . . . . 12
10196, 97, 98, 99, 100ixxub 10939 . . . . . . . . . . 11
10280, 82, 95, 101syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10
103 simpr 449 . . . . . . . . . 10
104102, 103eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9
105104rgen2 2804 . . . . . . . 8
106 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
107 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . 12
108106, 107syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . 11
109108supeq1d 7453 . . . . . . . . . 10
110109eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
111110ralxp 5018 . . . . . . . 8
112105, 111mpbir 202 . . . . . . 7
113 ffn 5593 . . . . . . . . 9
11446, 113ax-mp 8 . . . . . . . 8
115 supeq1 7452 . . . . . . . . . 10
116115eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
117116ralima 5980 . . . . . . . 8
118114, 52, 117mp2an 655 . . . . . . 7
119112, 118mpbir 202 . . . . . 6
120 ssralv 3409 . . . . . 6
12178, 119, 120ee10 1386 . . . . 5
122121adantrr 699 . . . 4
123 fimaxre3 9959 . . . 4
12476, 122, 123syl2anc 644 . . 3
125 simplrr 739 . . . . . . . 8
126125sselda 3350 . . . . . . 7
127 eluni2 4021 . . . . . . . 8
128 r19.29r 2849 . . . . . . . . . 10
129 sspwuni 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13031, 129mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131783ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
132 simp2r 985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133131, 132sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134130, 133sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135134elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 simp3l 986 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137135, 136sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15
138121r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138adantrl 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1401393adant3 978 . . . . . . . . . . . . . . 15
141 simp2l 984 . . . . . . . . . . . . . . 15
142135, 34syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . 16
143 supxrub 10905 . . . . . . . . . . . . . . . 16
144142, 136, 143syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15
145 simp3r 987 . . . . . . . . . . . . . . 15
146137, 140, 141, 144, 145letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . 14
1471463expia 1156 . . . . . . . . . . . . 13
148147anassrs 631 . . . . . . . . . . . 12
149148rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . 11
150149adantlrr 703 . . . . . . . . . 10
151128, 150syl5 31 . . . . . . . . 9
152151expdimp 428 . . . . . . . 8
153127, 152sylan2b 463 . . . . . . 7
154126, 153syldan 458 . . . . . 6
155154ralrimdva 2798 . . . . 5
156 ffn 5593 . . . . . . . 8
1578, 156syl 16 . . . . . . 7
158157ad2antrr 708 . . . . . 6
159 breq1 4217 . . . . . . 7
160159ralrn 5875 . . . . . 6
161158, 160syl 16 . . . . 5
162155, 161sylibd 207 . . . 4
163162reximdva 2820 . . 3
164124, 163mpd 15 . 2
16571, 164rexlimddv 2836 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  csn 3816  cop 3819  cuni 4017   class class class wbr 4214   cxp 4878   cdm 4880   crn 4881  cima 4883   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  csup 7447  cr 8991  c1 8993   caddc 8995   cmnf 9120  cxr 9121   clt 9122   cle 9123  cioo 10918   ↾t crest 13650  ctg 13667  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ctb 16964   ccn 17290  ccmp 17451 This theorem is referenced by:  evth  18986 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-ioo 10922  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cn 17293  df-cmp 17452
 Copyright terms: Public domain W3C validator