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Theorem bnj1000 28973
Description: Technical lemma for bnj852 28953. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1000.1  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj1000.2  |-  ( ps"  <->  [. G  / 
f ]. ps )
bnj1000.3  |-  G  e. 
_V
bnj1000.15  |-  C  = 
U_ y  e.  ( f `  m ) 
pred ( y ,  A ,  R )
bnj1000.16  |-  G  =  ( f  u.  { <. n ,  C >. } )
Assertion
Ref Expression
bnj1000  |-  ( ps"  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    i, G    f, N    R, f    f, i, y    y, n
Allowed substitution hints:    ps( y, f, i, m, n)    A( y, i, m, n)    C( y, f, i, m, n)    R( y, i, m, n)    G( y, f, m, n)    N( y, i, m, n)    ps"( y, f, i, m, n)

Proof of Theorem bnj1000
Dummy variables  e  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1000.2 . 2  |-  ( ps"  <->  [. G  / 
f ]. ps )
2 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
32bicomi 193 . . . 4  |-  ( A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
4 bnj1000.3 . . . 4  |-  G  e. 
_V
53, 4bnj524 28766 . . 3  |-  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  [. G  / 
f ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
6 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ f  i  e.  om
76sbc19.21g 3055 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  ( i  e.  om  ->  [. G  / 
f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) ) )
84, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. G  /  f ]. (
i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
9 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  suc  i  e.  N
109sbc19.21g 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. (
f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
114, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
12 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  suc  i )  =  ( G `  suc  i ) )
13 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  i )  =  ( G `  i ) )
14 ax-17 1603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( f `  i )  ->  A. y  w  e.  ( f `  i ) )
15 bnj1000.16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( f  u.  { <. n ,  C >. } )
16 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y
f
17 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ y
n
18 bnj1000.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  C  = 
U_ y  e.  ( f `  m ) 
pred ( y ,  A ,  R )
19 nfiu1 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ y U_ y  e.  (
f `  m )  pred ( y ,  A ,  R )
2018, 19nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ y C
2117, 20nfop 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ y <. n ,  C >.
2221nfsn 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y { <. n ,  C >. }
2316, 22nfun 3331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( f  u.  { <. n ,  C >. } )
2415, 23nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y G
25 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
i
2624, 25nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y
( G `  i
)
2726nfcrii 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( G `  i )  ->  A. y  w  e.  ( G `  i ) )
2814, 27bnj1316 28853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  i )  =  ( G `  i )  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
2913, 28syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  G  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
3012, 29eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
31 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  e  ->  (
f `  suc  i )  =  ( e `  suc  i ) )
32 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  e  ->  (
f `  i )  =  ( e `  i ) )
33 ax-17 1603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  i )  =  ( e `  i )  ->  A. y
( f `  i
)  =  ( e `
 i ) )
3433bnj956 28808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  i )  =  ( e `  i )  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  e  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
3631, 35eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  e  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( e `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( e `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
37 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  G  ->  (
e `  suc  i )  =  ( G `  suc  i ) )
38 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  G  ->  (
e `  i )  =  ( G `  i ) )
39 ax-17 1603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ( e `  i )  ->  A. y  w  e.  ( e `  i ) )
4039, 27bnj1316 28853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( e `  i )  =  ( G `  i )  ->  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
4138, 40syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  G  ->  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
4237, 41eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  G  ->  (
( e `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( e `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
434, 30, 36, 42bnj610 28776 . . . . . . . . 9  |-  ( [. G  /  f ]. (
f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  <-> 
( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )
4443imbi2i 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
4511, 44bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
4645imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  ->  [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
478, 46bitri 240 . . . . 5  |-  ( [. G  /  f ]. (
i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
4847albii 1553 . . . 4  |-  ( A. i [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
49 sbcalg 3039 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i [. G  / 
f ]. ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) ) )
504, 49ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
51 df-ral 2548 . . . 4  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
5248, 50, 513bitr4ri 269 . . 3  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. G  / 
f ]. A. i ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
53 bnj1000.1 . . . 4  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
5453, 4bnj524 28766 . . 3  |-  ( [. G  /  f ]. ps  <->  [. G  /  f ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
555, 52, 543bitr4ri 269 . 2  |-  ( [. G  /  f ]. ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
561, 55bitri 240 1  |-  ( ps"  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    u. cun 3150   {csn 3640   <.cop 3643   U_ciun 3905   suc csuc 4394   omcom 4656   ` cfv 5255    predc-bnj14 28713
This theorem is referenced by:  bnj965  28974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263
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