Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1029 Unicode version

Theorem bnj1029 29314
Description: Property of  trCl. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj1029  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  TrFo (  trCl ( X ,  A ,  R ) ,  A ,  R ) )

Proof of Theorem bnj1029
Dummy variables  f 
i  m  n  p  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 227 . 2  |-  ( ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
2 biid 227 . 2  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
3 biid 227 . 2  |-  ( ( n  e.  ( om 
\  { (/) } )  /\  f  Fn  n  /\  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( n  e.  ( om  \  { (/) } )  /\  f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
4 biid 227 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e. 
trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
5 biid 227 . 2  |-  ( ( m  e.  om  /\  n  =  suc  m  /\  p  =  suc  n )  <-> 
( m  e.  om  /\  n  =  suc  m  /\  p  =  suc  n ) )
6 biid 227 . 2  |-  ( ( i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i
) ) )
7 biid 227 . 2  |-  ( [. p  /  n ]. (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  [. p  /  n ]. ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
8 biid 227 . 2  |-  ( [. p  /  n ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. p  /  n ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
9 biid 227 . 2  |-  ( [. p  /  n ]. (
n  e.  ( om 
\  { (/) } )  /\  f  Fn  n  /\  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <->  [. p  /  n ]. ( n  e.  ( om  \  { (/) } )  /\  f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
10 biid 227 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. [. p  /  n ]. ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  [. ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. [. p  /  n ]. ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
11 biid 227 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. [. p  /  n ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m ) 
pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. [. p  /  n ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
12 biid 227 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. [. p  /  n ]. ( n  e.  ( om  \  { (/) } )  /\  f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <->  [. ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. [. p  /  n ]. ( n  e.  ( om  \  { (/) } )  /\  f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
13 eqid 2296 . 2  |-  ( om 
\  { (/) } )  =  ( om  \  { (/)
} )
14 eqid 2296 . 2  |-  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  =  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }
15 eqid 2296 . 2  |-  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )
16 eqid 2296 . 2  |-  ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m ) 
pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. n ,  U_ y  e.  ( f `  m
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16bnj907 29313 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  TrFo (  trCl ( X ,  A ,  R ) ,  A ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557   [.wsbc 3004    \ cdif 3162    u. cun 3163   (/)c0 3468   {csn 3653   <.cop 3656   U_ciun 3921   suc csuc 4410   omcom 4672    Fn wfn 5266   ` cfv 5271    /\ w-bnj17 29027    predc-bnj14 29029    FrSe w-bnj15 29033    trClc-bnj18 29035    TrFow-bnj19 29037
This theorem is referenced by:  bnj1125  29338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-bnj17 29028  df-bnj14 29030  df-bnj13 29032  df-bnj15 29034  df-bnj18 29036  df-bnj19 29038
  Copyright terms: Public domain W3C validator