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Theorem bnj1090 29325
Description: Technical lemma for bnj69 29356. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1090.9  |-  ( et  <->  ( ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  (
f `  i )  C_  B ) )
bnj1090.10  |-  ( rh  <->  A. j  e.  n  ( j  _E  i  ->  [. j  /  i ]. et ) )
bnj1090.17  |-  ( et'  <->  [. j  /  i ]. et )
bnj1090.18  |-  ( si  <->  ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' ) )
bnj1090.19  |-  ( ph0  <->  (
i  e.  n  /\  si 
/\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )
bnj1090.28  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i E. j (
ph0  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
Assertion
Ref Expression
bnj1090  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i  e.  n  ( rh  ->  et ) )
Distinct variable groups:    et, j    i, j    j, n
Allowed substitution hints:    ch( f, i, j, n)    th( f,
i, j, n)    ta( f, i, j, n)    et( f, i, n)    ze( f,
i, j, n)    si( f,
i, j, n)    rh( f, i, j, n)    B( f, i, j, n)    K( f, i, j, n)    et'( f, i, j, n)    ph0( f, i, j, n)

Proof of Theorem bnj1090
StepHypRef Expression
1 bnj1090.28 . 2  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i E. j (
ph0  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
2 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) 
<->  ( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) ) )
32exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. j ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et )  <->  E. j
( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) ) )
4 bnj1090.18 . . . . . . . . . 10  |-  ( si  <->  ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' ) )
54imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( si  ->  et )  <->  ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) )
65exbii 1572 . . . . . . . 8  |-  ( E. j ( si  ->  et )  <->  E. j ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' )  ->  et ) )
76imbi2i 303 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  n  ->  E. j ( si  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  E. j
( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) ) )
8 19.37v 1852 . . . . . . 7  |-  ( E. j ( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  E. j
( si  ->  et ) ) )
9 bnj1090.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( rh  <->  A. j  e.  n  ( j  _E  i  ->  [. j  /  i ]. et ) )
109bnj115 29067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( rh  <->  A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  [. j  /  i ]. et ) )
11 bnj1090.17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( et'  <->  [. j  /  i ]. et )
1211imbi2i 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' )  <->  ( (
j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  [. j  /  i ]. et ) )
1312albii 1556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  <->  A. j
( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  [. j  /  i ]. et ) )
1410, 13bitr4i 243 . . . . . . . . . 10  |-  ( rh  <->  A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' ) )
1514imbi1i 315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( rh  ->  et )  <->  ( A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) )
16 19.36v 1849 . . . . . . . . 9  |-  ( E. j ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et )  <-> 
( A. j ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i
)  ->  et' )  ->  et ) )
1715, 16bitr4i 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( rh  ->  et )  <->  E. j ( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) )
1817imbi2i 303 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  n  -> 
( rh  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  E. j
( ( ( j  e.  n  /\  j  _E  i )  ->  et' )  ->  et ) ) )
197, 8, 183bitr4i 268 . . . . . 6  |-  ( E. j ( i  e.  n  ->  ( si  ->  et ) )  <->  ( i  e.  n  ->  ( rh 
->  et ) ) )
203, 19bitr2i 241 . . . . 5  |-  ( ( i  e.  n  -> 
( rh  ->  et ) )  <->  E. j
( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) )
21 impexp 433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( i  e.  n  /\  si )  /\  ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )  -> 
( f `  i
)  C_  B )  <->  ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  (
( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  (
f `  i )  C_  B ) ) )
22 bnj256 29047 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  n  /\  si 
/\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  <->  ( (
i  e.  n  /\  si )  /\  ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) ) )
2322imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )  <->  ( ( ( i  e.  n  /\  si )  /\  ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )  -> 
( f `  i
)  C_  B )
)
24 bnj1090.9 . . . . . . 7  |-  ( et  <->  ( ( f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  (
f `  i )  C_  B ) )
2524imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) 
<->  ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  ( ( f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )
) )
2621, 23, 253bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )  <->  ( ( i  e.  n  /\  si )  ->  et ) )
2720, 26bnj133 29069 . . . 4  |-  ( ( i  e.  n  -> 
( rh  ->  et ) )  <->  E. j
( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
2827albii 1556 . . 3  |-  ( A. i ( i  e.  n  ->  ( rh  ->  et ) )  <->  A. i E. j ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
29 df-ral 2561 . . 3  |-  ( A. i  e.  n  ( rh  ->  et )  <->  A. i
( i  e.  n  ->  ( rh  ->  et ) ) )
30 bnj1090.19 . . . . . 6  |-  ( ph0  <->  (
i  e.  n  /\  si 
/\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f ) )
3130imbi1i 315 . . . . 5  |-  ( (
ph0  ->  ( f `  i )  C_  B
)  <->  ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
3231exbii 1572 . . . 4  |-  ( E. j ( ph0  ->  (
f `  i )  C_  B )  <->  E. j
( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e.  dom  f )  ->  ( f `  i )  C_  B
) )
3332albii 1556 . . 3  |-  ( A. i E. j ( ph0  ->  ( f `  i
)  C_  B )  <->  A. i E. j ( ( i  e.  n  /\  si  /\  f  e.  K  /\  i  e. 
dom  f )  -> 
( f `  i
)  C_  B )
)
3428, 29, 333bitr4i 268 . 2  |-  ( A. i  e.  n  ( rh  ->  et )  <->  A. i E. j ( ph0  ->  (
f `  i )  C_  B ) )
351, 34sylibr 203 1  |-  ( ( th  /\  ta  /\  ch  /\  ze )  ->  A. i  e.  n  ( rh  ->  et ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531    e. wcel 1696   A.wral 2556   [.wsbc 3004    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    _E cep 4319   dom cdm 4705   ` cfv 5271    /\ w-bnj17 29027
This theorem is referenced by:  bnj1030  29333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-11 1727
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-an 360  df-3an 936  df-ex 1532  df-nf 1535  df-ral 2561  df-bnj17 29028
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