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Theorem bnj1174 29349
Description: Technical lemma for bnj69 29356. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1174.3  |-  C  =  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B )
bnj1174.59  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) ) )
bnj1174.74  |-  ( th 
->  ( w R z  ->  w  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1174  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
( ph  /\  ps  /\  z  e.  C )  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) )

Proof of Theorem bnj1174
StepHypRef Expression
1 bnj1174.59 . . . . 5  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) ) )
2 bnj1174.74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( th 
->  ( w R z  ->  w  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) )
3 bnj1174.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  =  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B )
43eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  C  <->  w  e.  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B ) )
54notbii 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  w  e.  C  <->  -.  w  e.  (  trCl ( X ,  A ,  R
)  i^i  B )
)
6 ianor 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  w  e.  B )  <->  ( -.  w  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  \/  -.  w  e.  B ) )
7 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B
)  <->  ( w  e. 
trCl ( X ,  A ,  R )  /\  w  e.  B
) )
87notbii 287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  w  e.  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B
)  <->  -.  ( w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  w  e.  B
) )
9 pm4.62 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  -.  w  e.  B )  <->  ( -.  w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  \/  -.  w  e.  B )
)
106, 8, 93bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  w  e.  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B
)  <->  ( w  e. 
trCl ( X ,  A ,  R )  ->  -.  w  e.  B
) )
1110biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  w  e.  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B
)  ->  ( w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  -.  w  e.  B
) )
1211impcom 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  -.  w  e.  (  trCl ( X ,  A ,  R )  i^i  B
) )  ->  -.  w  e.  B )
135, 12sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  -.  w  e.  C )  ->  -.  w  e.  B
)
1413ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  ( -.  w  e.  C  ->  -.  w  e.  B ) )
152, 14syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  ( w R z  ->  ( -.  w  e.  C  ->  -.  w  e.  B ) ) )
1615a2d 23 . . . . . . . . . 10  |-  ( th 
->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) )
1716biantru 491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) )  <->  ( (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) )
18 df-3an 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
)  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) )  <-> 
( ( z  e.  C  /\  ( th 
->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) ) )
19 3anass 938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
)  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) )  <-> 
( z  e.  C  /\  ( ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) ) )
2017, 18, 193bitr2i 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) )  <->  ( z  e.  C  /\  (
( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) ) )
2120imbi2i 303 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th 
->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) ) )  <->  ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) ) ) )
2221albii 1556 . . . . . 6  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
) ) )  <->  A. w
( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  (
( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) ) ) )
2322exbii 1572 . . . . 5  |-  ( E. z A. w ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th 
->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) ) ) )  <->  E. z A. w
( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  (
( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) ) ) )
241, 23mpbi 199 . . . 4  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) ) )
25 imdi 352 . . . . . . . 8  |-  ( ( th  ->  ( (
w R z  ->  -.  w  e.  C
)  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) )  <->  ( ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C ) )  -> 
( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) )
26 pm3.35 570 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  (
( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  ->  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) )  ->  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) )
2725, 26sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) )  ->  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) )
2827anim2i 552 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  C  /\  ( ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) ) )
2928imim2i 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C )
)  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) ) ) )  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) ) )
3029alimi 1549 . . . 4  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  C
) )  /\  ( th  ->  ( ( w R z  ->  -.  w  e.  C )  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) ) )  ->  A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) ) ) )
3124, 30bnj101 29065 . . 3  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) ) )
32 ancl 529 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th 
->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ps )  -> 
( ( ph  /\  ps )  /\  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) ) ) ) )
33 bnj256 29047 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ps )  /\  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) ) ) )
3432, 33syl6ibr 218 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( z  e.  C  /\  ( th 
->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ps )  -> 
( ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) ) ) )
3534alimi 1549 . . 3  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B )
) ) )  ->  A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  ( ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) )
3631, 35bnj101 29065 . 2  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  ( ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) )
37 df-bnj17 29028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ps  /\  z  e.  C
)  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) )
3837imbi2i 303 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  ps )  ->  ( ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) )  <-> 
( ( ph  /\  ps )  ->  ( (
ph  /\  ps  /\  z  e.  C )  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) )
3938albii 1556 . . 3  |-  ( A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  ( ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) )  <->  A. w ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ph  /\  ps  /\  z  e.  C
)  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) )
4039exbii 1572 . 2  |-  ( E. z A. w ( ( ph  /\  ps )  ->  ( ph  /\  ps  /\  z  e.  C  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) )  <->  E. z A. w ( ( ph  /\  ps )  ->  ( ( ph  /\ 
ps  /\  z  e.  C )  /\  ( th  ->  ( w R z  ->  -.  w  e.  B ) ) ) ) )
4136, 40mpbi 199 1  |-  E. z A. w ( ( ph  /\ 
ps )  ->  (
( ph  /\  ps  /\  z  e.  C )  /\  ( th  ->  (
w R z  ->  -.  w  e.  B
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    i^i cin 3164   class class class wbr 4039    /\ w-bnj17 29027    trClc-bnj18 29035
This theorem is referenced by:  bnj1190  29354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-v 2803  df-in 3172  df-bnj17 29028
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