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Theorem bnj1185 29142
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1185.1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  A. w  e.  B  -.  w R z )
Assertion
Ref Expression
bnj1185  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    w, B, y, z    x, B, y, z    w, R, y, z    x, R
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem bnj1185
StepHypRef Expression
1 bnj1185.1 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  A. w  e.  B  -.  w R z )
2 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
32notbid 285 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w R z  <->  -.  y R z ) )
43cbvralv 2777 . . . 4  |-  ( A. w  e.  B  -.  w R z  <->  A. y  e.  B  -.  y R z )
54rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  A. w  e.  B  -.  w R z  <->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
61, 5sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
7 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
8 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
98notbid 285 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  y R z  <->  -.  y R x ) )
109ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R z  <->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
117, 10anbi12d 691 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z )  <-> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) )
1211cbvexv 1956 . . 3  |-  ( E. z ( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z )  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
13 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
14 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1512, 13, 143bitr4ri 269 . 2  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
166, 15sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039
This theorem is referenced by:  bnj1190  29354  bnj1189  29355
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040
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