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Theorem bnj1185 29165
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1185.1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  A. w  e.  B  -.  w R z )
Assertion
Ref Expression
bnj1185  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    w, B, y, z    x, B, y, z    w, R, y, z    x, R
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem bnj1185
StepHypRef Expression
1 bnj1185.1 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  A. w  e.  B  -.  w R z )
2 breq1 4215 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w R z  <->  y R
z ) )
32notbid 286 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  w R z  <->  -.  y R z ) )
43cbvralv 2932 . . . 4  |-  ( A. w  e.  B  -.  w R z  <->  A. y  e.  B  -.  y R z )
54rexbii 2730 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  A. w  e.  B  -.  w R z  <->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
61, 5sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
7 eleq1 2496 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  B  <->  x  e.  B ) )
8 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
y R z  <->  y R x ) )
98notbid 286 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  ( -.  y R z  <->  -.  y R x ) )
109ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( z  =  x  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R z  <->  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
117, 10anbi12d 692 . . . 4  |-  ( z  =  x  ->  (
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z )  <-> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) ) )
1211cbvexv 1985 . . 3  |-  ( E. z ( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z )  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
13 df-rex 2711 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
14 df-rex 2711 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1512, 13, 143bitr4ri 270 . 2  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
166, 15sylibr 204 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212
This theorem is referenced by:  bnj1190  29377  bnj1189  29378
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-br 4213
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