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Theorem bnj1189 28709
Description: Technical lemma for bnj69 28710. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
bnj1189.2  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
bnj1189.3  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
Assertion
Ref Expression
bnj1189  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ps( x, y)    ch( x, y)    A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
2 n0 3573 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  B )
32biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  B )
41, 3bnj837 28461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  B )
54ancli 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  E. x  x  e.  B
) )
6 19.42v 1917 . . . 4  |-  ( E. x ( ph  /\  x  e.  B )  <->  (
ph  /\  E. x  x  e.  B )
)
75, 6sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ( ph  /\  x  e.  B ) )
8 3simpc 956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  ch ) )
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
109anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  ch )  <->  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
118, 10sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
12 19.8a 1754 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
14 df-rex 2648 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1513, 14sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
16153comr 1161 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
17163expib 1156 . . . 4  |-  ( ch 
->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
18 simp1 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  ph )
19 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  x  e.  B )
20 rexnal 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. y  e.  B  -.  -.  y R x  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y R x )
2120bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2221, 9xchnxbir 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
23 notnot 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y R x  <->  -.  -.  y R x )
2423rexbii 2667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  B  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2522, 24bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  y R x )
2625biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
ch  ->  E. y  e.  B  y R x )
2726bnj1196 28497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
ch  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
28273ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
29 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  (
y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3029exbii 1589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  E. y
( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
31 19.42v 1917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3230, 31bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  E. y
( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3319, 28, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
34 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
3533, 34bnj1198 28498 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ps )
36 19.42v 1917 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  E. y ps ) )
3718, 35, 36sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( ph  /\ 
ps ) )
381, 34bnj1190 28708 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
3937, 38bnj593 28444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4039bnj937 28473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4140bnj1185 28496 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
42413comr 1161 . . . . 5  |-  ( ( -.  ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
43423expib 1156 . . . 4  |-  ( -. 
ch  ->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
4417, 43pm2.61i 158 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
457, 44bnj593 28444 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
46 nfre1 2698 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x
474619.9 1791 . 2  |-  ( E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
4845, 47sylib 189 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643    C_ wss 3256   (/)c0 3564   class class class wbr 4146    FrSe w-bnj15 28387
This theorem is referenced by:  bnj69  28710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-reg 7486  ax-inf2 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-1o 6653  df-bnj17 28382  df-bnj14 28384  df-bnj13 28386  df-bnj15 28388  df-bnj18 28390  df-bnj19 28392
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