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Theorem bnj1189 29039
Description: Technical lemma for bnj69 29040. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
bnj1189.2  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
bnj1189.3  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
Assertion
Ref Expression
bnj1189  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ps( x, y)    ch( x, y)    A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
2 n0 3464 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  B )
32biimpi 186 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  B )
41, 3bnj837 28791 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  B )
54ancli 534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  E. x  x  e.  B
) )
6 19.42v 1846 . . . 4  |-  ( E. x ( ph  /\  x  e.  B )  <->  (
ph  /\  E. x  x  e.  B )
)
75, 6sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ( ph  /\  x  e.  B ) )
8 3simpc 954 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  ch ) )
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
109anbi2i 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  ch )  <->  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
118, 10sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
12 19.8a 1718 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
14 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1513, 14sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
16153comr 1159 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
17163expib 1154 . . . 4  |-  ( ch 
->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
18 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  ph )
19 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  x  e.  B )
20 rexnal 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. y  e.  B  -.  -.  y R x  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y R x )
2120bicomi 193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2221, 9xchnxbir 300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
23 notnot 282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y R x  <->  -.  -.  y R x )
2423rexbii 2568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  B  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2522, 24bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  y R x )
2625biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
ch  ->  E. y  e.  B  y R x )
2726bnj1196 28827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
ch  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
28273ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
29 3anass 938 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  (
y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3029exbii 1569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  E. y
( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
31 19.42v 1846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3230, 31bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  E. y
( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3319, 28, 32sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
34 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
3533, 34bnj1198 28828 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ps )
36 19.42v 1846 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  E. y ps ) )
3718, 35, 36sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( ph  /\ 
ps ) )
381, 34bnj1190 29038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
3937, 38bnj593 28774 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4039bnj937 28803 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4140bnj1185 28826 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
42413comr 1159 . . . . 5  |-  ( ( -.  ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
43423expib 1154 . . . 4  |-  ( -. 
ch  ->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
4417, 43pm2.61i 156 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
457, 44bnj593 28774 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
46 nfre1 2599 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x
474619.9 1783 . 2  |-  ( E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
4845, 47sylib 188 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    FrSe w-bnj15 28717
This theorem is referenced by:  bnj69  29040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-bnj17 28712  df-bnj14 28714  df-bnj13 28716  df-bnj15 28718  df-bnj18 28720  df-bnj19 28722
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