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Theorem bnj1189 29316
Description: Technical lemma for bnj69 29317. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1189.1  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
bnj1189.2  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
bnj1189.3  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
Assertion
Ref Expression
bnj1189  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ps( x, y)    ch( x, y)    A( x, y)

Proof of Theorem bnj1189
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1189.1 . . . . . 6  |-  ( ph  <->  ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) ) )
2 n0 3630 . . . . . . 7  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  B )
32biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  (/)  ->  E. x  x  e.  B )
41, 3bnj837 29068 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  B )
54ancli 535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  E. x  x  e.  B
) )
6 19.42v 1928 . . . 4  |-  ( E. x ( ph  /\  x  e.  B )  <->  (
ph  /\  E. x  x  e.  B )
)
75, 6sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ( ph  /\  x  e.  B ) )
8 3simpc 956 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  ch ) )
9 bnj1189.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ch  <->  A. y  e.  B  -.  y R x )
109anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  ch )  <->  ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
118, 10sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  -> 
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
12 19.8a 1762 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
14 df-rex 2704 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
1513, 14sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
16153comr 1161 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
17163expib 1156 . . . 4  |-  ( ch 
->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
18 simp1 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  ph )
19 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  x  e.  B )
20 rexnal 2709 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. y  e.  B  -.  -.  y R x  <->  -.  A. y  e.  B  -.  y R x )
2120bicomi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -. 
A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2221, 9xchnxbir 301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
23 notnot 283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y R x  <->  -.  -.  y R x )
2423rexbii 2723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y  e.  B  y R x  <->  E. y  e.  B  -.  -.  y R x )
2522, 24bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
ch 
<->  E. y  e.  B  y R x )
2625biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
ch  ->  E. y  e.  B  y R x )
2726bnj1196 29104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
ch  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
28273ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) )
29 3anass 940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  (
y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3029exbii 1592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  E. y
( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
31 19.42v 1928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  ( y  e.  B  /\  y R x ) )  <-> 
( x  e.  B  /\  E. y ( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3230, 31bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x )  <->  ( x  e.  B  /\  E. y
( y  e.  B  /\  y R x ) ) )
3319, 28, 32sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
34 bnj1189.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps  <->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B  /\  y R x ) )
3533, 34bnj1198 29105 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ps )
36 19.42v 1928 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y ( ph  /\  ps )  <->  ( ph  /\  E. y ps ) )
3718, 35, 36sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y ( ph  /\ 
ps ) )
381, 34bnj1190 29315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
3937, 38bnj593 29051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. y E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4039bnj937 29080 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. w  e.  B  A. z  e.  B  -.  z R w )
4140bnj1185 29103 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  -.  ch )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
42413comr 1161 . . . . 5  |-  ( ( -.  ch  /\  ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
43423expib 1156 . . . 4  |-  ( -. 
ch  ->  ( ( ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
4417, 43pm2.61i 158 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
457, 44bnj593 29051 . 2  |-  ( ph  ->  E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
46 nfre1 2755 . . 3  |-  F/ x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x
474619.9 1797 . 2  |-  ( E. x E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
4845, 47sylib 189 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2698   E.wrex 2699    C_ wss 3313   (/)c0 3621   class class class wbr 4205    FrSe w-bnj15 28994
This theorem is referenced by:  bnj69  29317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-reg 7553  ax-inf2 7589
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-1o 6717  df-bnj17 28989  df-bnj14 28991  df-bnj13 28993  df-bnj15 28995  df-bnj18 28997  df-bnj19 28999
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