Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1228 Unicode version

Theorem bnj1228 29357
Description: Existence of a minimal element in certain classes: if  R is well-founded and set-like on 
A, then every non-empty subclass of  A has a minimal element. The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1228.1  |-  ( w  e.  B  ->  A. x  w  e.  B )
Assertion
Ref Expression
bnj1228  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    y, A    w, B, y    x, R, y    x, w
Allowed substitution hints:    A( x, w)    B( x)    R( w)

Proof of Theorem bnj1228
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj69 29356 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
2 nfv 1609 . . . 4  |-  F/ z ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )
3 bnj1228.1 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  B  ->  A. x  w  e.  B )
43nfcii 2423 . . . . . 6  |-  F/_ x B
54nfcri 2426 . . . . 5  |-  F/ x  z  e.  B
6 nfv 1609 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  y R z
74, 6nfral 2609 . . . . 5  |-  F/ x A. y  e.  B  -.  y R z
85, 7nfan 1783 . . . 4  |-  F/ x
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z )
9 eleq1 2356 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  B  <->  z  e.  B ) )
10 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
1110notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R z ) )
1211ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R x  <->  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
139, 12anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  <-> 
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) ) )
142, 8, 13cbvex 1938 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
15 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
16 df-rex 2562 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
1714, 15, 163bitr4i 268 . 2  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
181, 17sylibr 203 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039    FrSe w-bnj15 29033
This theorem is referenced by:  bnj1204  29358  bnj1311  29370  bnj1312  29404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-bnj17 29028  df-bnj14 29030  df-bnj13 29032  df-bnj15 29034  df-bnj18 29036  df-bnj19 29038
  Copyright terms: Public domain W3C validator