Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1228 Unicode version

Theorem bnj1228 29041
Description: Existence of a minimal element in certain classes: if  R is well-founded and set-like on 
A, then every non-empty subclass of  A has a minimal element. The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1228.1  |-  ( w  e.  B  ->  A. x  w  e.  B )
Assertion
Ref Expression
bnj1228  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    y, A    w, B, y    x, R, y    x, w
Allowed substitution hints:    A( x, w)    B( x)    R( w)

Proof of Theorem bnj1228
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj69 29040 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
2 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ z ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )
3 bnj1228.1 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  B  ->  A. x  w  e.  B )
43nfcii 2410 . . . . . 6  |-  F/_ x B
54nfcri 2413 . . . . 5  |-  F/ x  z  e.  B
6 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  y R z
74, 6nfral 2596 . . . . 5  |-  F/ x A. y  e.  B  -.  y R z
85, 7nfan 1771 . . . 4  |-  F/ x
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z )
9 eleq1 2343 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  B  <->  z  e.  B ) )
10 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
1110notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R z ) )
1211ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R x  <->  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
139, 12anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  <-> 
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) ) )
142, 8, 13cbvex 1925 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
15 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
16 df-rex 2549 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
1714, 15, 163bitr4i 268 . 2  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
181, 17sylibr 203 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    FrSe w-bnj15 28717
This theorem is referenced by:  bnj1204  29042  bnj1311  29054  bnj1312  29088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-bnj17 28712  df-bnj14 28714  df-bnj13 28716  df-bnj15 28718  df-bnj18 28720  df-bnj19 28722
  Copyright terms: Public domain W3C validator