Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1228 Structured version   Unicode version

Theorem bnj1228 29317
Description: Existence of a minimal element in certain classes: if  R is well-founded and set-like on 
A, then every non-empty subclass of  A has a minimal element. The proof has been taken from Chapter 4 of Don Monk's notes on Set Theory. See http://euclid.colorado.edu/~monkd/setth.pdf. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj1228.1  |-  ( w  e.  B  ->  A. x  w  e.  B )
Assertion
Ref Expression
bnj1228  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Distinct variable groups:    y, A    w, B, y    x, R, y    x, w
Allowed substitution hints:    A( x, w)    B( x)    R( w)

Proof of Theorem bnj1228
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj69 29316 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
2 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ z ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )
3 bnj1228.1 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  B  ->  A. x  w  e.  B )
43nfcii 2562 . . . . . 6  |-  F/_ x B
54nfcri 2565 . . . . 5  |-  F/ x  z  e.  B
6 nfv 1629 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  y R z
74, 6nfral 2751 . . . . 5  |-  F/ x A. y  e.  B  -.  y R z
85, 7nfan 1846 . . . 4  |-  F/ x
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z )
9 eleq1 2495 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  B  <->  z  e.  B ) )
10 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
y R x  <->  y R
z ) )
1110notbid 286 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( -.  y R x  <->  -.  y R z ) )
1211ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  B  -.  y R x  <->  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
139, 12anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  <-> 
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) ) )
142, 8, 13cbvex 1983 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x )  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
15 df-rex 2703 . . 3  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. x
( x  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R x ) )
16 df-rex 2703 . . 3  |-  ( E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z  <->  E. z
( z  e.  B  /\  A. y  e.  B  -.  y R z ) )
1714, 15, 163bitr4i 269 . 2  |-  ( E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x  <->  E. z  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R z )
181, 17sylibr 204 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  B  C_  A  /\  B  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  B  A. y  e.  B  -.  y R x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    FrSe w-bnj15 28993
This theorem is referenced by:  bnj1204  29318  bnj1311  29330  bnj1312  29364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-bnj17 28988  df-bnj14 28990  df-bnj13 28992  df-bnj15 28994  df-bnj18 28996  df-bnj19 28998
  Copyright terms: Public domain W3C validator