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Theorem bnj1304 29168
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1304.1  |-  ( ph  ->  E. x ps )
bnj1304.2  |-  ( ps 
->  ch )
bnj1304.3  |-  ( ps 
->  -.  ch )
Assertion
Ref Expression
bnj1304  |-  -.  ph

Proof of Theorem bnj1304
StepHypRef Expression
1 notnot 282 . . . 4  |-  ( A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  -.  -.  A. x ( ch  \/  -.  ch ) )
2 notnot 282 . . . . . . . 8  |-  ( ch  <->  -. 
-.  ch )
32anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ch  /\  ch ) 
<->  ( -.  ch  /\  -.  -.  ch ) )
43exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. x ( -.  ch  /\ 
ch )  <->  E. x
( -.  ch  /\  -.  -.  ch ) )
5 ioran 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ch  \/  -.  ch )  <->  ( -.  ch  /\ 
-.  -.  ch )
)
65exbii 1572 . . . . . 6  |-  ( E. x  -.  ( ch  \/  -.  ch )  <->  E. x ( -.  ch  /\ 
-.  -.  ch )
)
7 exnal 1564 . . . . . 6  |-  ( E. x  -.  ( ch  \/  -.  ch )  <->  -. 
A. x ( ch  \/  -.  ch )
)
84, 6, 73bitr2ri 265 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  E. x ( -.  ch  /\ 
ch ) )
98notbii 287 . . . 4  |-  ( -. 
-.  A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  -. 
E. x ( -. 
ch  /\  ch )
)
10 exancom 1576 . . . . 5  |-  ( E. x ( -.  ch  /\ 
ch )  <->  E. x
( ch  /\  -.  ch ) )
1110notbii 287 . . . 4  |-  ( -. 
E. x ( -. 
ch  /\  ch )  <->  -. 
E. x ( ch 
/\  -.  ch )
)
121, 9, 113bitri 262 . . 3  |-  ( A. x ( ch  \/  -.  ch )  <->  -.  E. x
( ch  /\  -.  ch ) )
13 exmid 404 . . 3  |-  ( ch  \/  -.  ch )
1412, 13mpgbi 1539 . 2  |-  -.  E. x ( ch  /\  -.  ch )
15 bnj1304.1 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x ps )
16 bnj1304.2 . . . 4  |-  ( ps 
->  ch )
17 bnj1304.3 . . . 4  |-  ( ps 
->  -.  ch )
1816, 17jca 518 . . 3  |-  ( ps 
->  ( ch  /\  -.  ch ) )
1915, 18bnj593 29090 . 2  |-  ( ph  ->  E. x ( ch 
/\  -.  ch )
)
2014, 19mto 167 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1530   E.wex 1531
This theorem is referenced by:  bnj1204  29358  bnj1279  29364  bnj1311  29370  bnj1312  29404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-ex 1532
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