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Theorem bnj1379 28920
Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1379.1  |-  ( ph  <->  A. f  e.  A  Fun  f )
bnj1379.2  |-  D  =  ( dom  f  i^i 
dom  g )
bnj1379.3  |-  ( ps  <->  (
ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
) )
bnj1379.5  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A ) )
bnj1379.6  |-  ( th  <->  ( ch  /\  f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f ) )
bnj1379.7  |-  ( ta  <->  ( th  /\  g  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  g ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1379  |-  ( ps 
->  Fun  U. A )
Distinct variable groups:    A, f,
g, x, y, z   
x, D    ph, g    ps, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, f)    ps( f,
g)    ch( x, y, z, f, g)    th( x, y, z, f, g)    ta( x, y, z, f, g)    D( y, z, f, g)

Proof of Theorem bnj1379
StepHypRef Expression
1 bnj1379.3 . . . . 5  |-  ( ps  <->  (
ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
) )
2 bnj1379.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  <->  A. f  e.  A  Fun  f )
32bnj1095 28870 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. f ph )
43nfi 1557 . . . . . 6  |-  F/ f
ph
5 nfra1 2724 . . . . . 6  |-  F/ f A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
64, 5nfan 1842 . . . . 5  |-  F/ f ( ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  (
f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
71, 6nfxfr 1576 . . . 4  |-  F/ f ps
82bnj946 28863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  <->  A. f ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
98biimpi 187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. f ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
10919.21bi 1770 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
111, 10bnj832 28844 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( f  e.  A  ->  Fun  f ) )
12 funrel 5438 . . . . 5  |-  ( Fun  f  ->  Rel  f )
1311, 12syl6 31 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( f  e.  A  ->  Rel  f ) )
147, 13ralrimi 2755 . . 3  |-  ( ps 
->  A. f  e.  A  Rel  f )
15 reluni 4964 . . 3  |-  ( Rel  U. A  <->  A. f  e.  A  Rel  f )
1614, 15sylibr 204 . 2  |-  ( ps 
->  Rel  U. A )
17 bnj1379.5 . . . . . 6  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A ) )
18 eluni2 3987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  <->  E. f  e.  A  <. x ,  y >.  e.  f
)
1918biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  ->  E. f  e.  A  <. x ,  y >.  e.  f
)
2019bnj1196 28884 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  ->  E. f
( f  e.  A  /\  <. x ,  y
>.  e.  f ) )
2117, 20bnj836 28847 . . . . . . . . 9  |-  ( ch 
->  E. f ( f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f ) )
22 bnj1379.6 . . . . . . . . 9  |-  ( th  <->  ( ch  /\  f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f ) )
23 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f
<. x ,  y >.  e.  U. A
24 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f
<. x ,  z >.  e.  U. A
257, 23, 24nf3an 1845 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
2617, 25nfxfr 1576 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ch
2726nfri 1774 . . . . . . . . 9  |-  ( ch 
->  A. f ch )
2821, 22, 27bnj1345 28914 . . . . . . . 8  |-  ( ch 
->  E. f th )
2917simp3bi 974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
3022, 29bnj835 28846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( th 
->  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
31 eluni2 3987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U. A  <->  E. g  e.  A  <. x ,  z >.  e.  g
)
3231biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U. A  ->  E. g  e.  A  <. x ,  z >.  e.  g
)
3332bnj1196 28884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  U. A  ->  E. g
( g  e.  A  /\  <. x ,  z
>.  e.  g ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  E. g ( g  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  g ) )
35 bnj1379.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta  <->  ( th  /\  g  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  g ) )
36 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ g
ph
37 nfra2 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ g A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D )
3836, 37nfan 1842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ g ( ph  /\  A. f  e.  A  A. g  e.  A  (
f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
391, 38nfxfr 1576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ g ps
40 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ g
<. x ,  y >.  e.  U. A
41 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ g
<. x ,  z >.  e.  U. A
4239, 40, 41nf3an 1845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ g ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )
4317, 42nfxfr 1576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g ch
44 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g  f  e.  A
45 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ g
<. x ,  y >.  e.  f
4643, 44, 45nf3an 1845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g ( ch  /\  f  e.  A  /\  <. x ,  y >.  e.  f )
4722, 46nfxfr 1576 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g th
4847nfri 1774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( th 
->  A. g th )
4934, 35, 48bnj1345 28914 . . . . . . . . . 10  |-  ( th 
->  E. g ta )
501simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ps 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5117, 50bnj835 28846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ch 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5222, 51bnj835 28846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( th 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5335, 52bnj835 28846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  A. f  e.  A  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5422, 35bnj1219 28890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  f  e.  A
)
5553, 54bnj1294 28907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta 
->  A. g  e.  A  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5635simp2bi 973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta 
->  g  e.  A
)
5755, 56bnj1294 28907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  ( f  |`  D )  =  ( g  |`  D ) )
5857fveq1d 5697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  ( ( f  |`  D ) `  x
)  =  ( ( g  |`  D ) `  x ) )
5922simp3bi 974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( th 
->  <. x ,  y
>.  e.  f )
6035, 59bnj835 28846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ta 
->  <. x ,  y
>.  e.  f )
61 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
62 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
6361, 62opeldm 5040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  f  ->  x  e. 
dom  f )
6460, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  x  e.  dom  f )
65 vex 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
6661, 65opeldm 5040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  g  ->  x  e. 
dom  g )
6735, 66bnj837 28848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ta 
->  x  e.  dom  g )
6864, 67bnj1153 28882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta 
->  x  e.  ( dom  f  i^i  dom  g
) )
69 bnj1379.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  =  ( dom  f  i^i 
dom  g )
7068, 69syl6eleqr 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  x  e.  D
)
71 fvres 5712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  (
( f  |`  D ) `
 x )  =  ( f `  x
) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  ( ( f  |`  D ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
73 fvres 5712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  D  ->  (
( g  |`  D ) `
 x )  =  ( g `  x
) )
7470, 73syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  ( ( g  |`  D ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
7558, 72, 743eqtr3d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) )
762biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. f  e.  A  Fun  f )
771, 76bnj832 28844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ps 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
7817, 77bnj835 28846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ch 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
7922, 78bnj835 28846 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( th 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
8035, 79bnj835 28846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  A. f  e.  A  Fun  f )
8180, 54bnj1294 28907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  Fun  f )
82 funopfv 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  f  ->  ( <. x ,  y >.  e.  f  ->  ( f `  x )  =  y ) )
8381, 60, 82sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( f `  x
)  =  y )
84 funeq 5440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  ( Fun  f  <->  Fun  g ) )
8584cbvralv 2900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. f  e.  A  Fun  f 
<-> 
A. g  e.  A  Fun  g )
8680, 85sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta 
->  A. g  e.  A  Fun  g )
8786, 56bnj1294 28907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  Fun  g )
8835simp3bi 974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ta 
->  <. x ,  z
>.  e.  g )
89 funopfv 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun  g  ->  ( <. x ,  z >.  e.  g  ->  ( g `  x )  =  z ) )
9087, 88, 89sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta 
->  ( g `  x
)  =  z )
9175, 83, 903eqtr3d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ta 
->  y  =  z
)
9249, 91bnj593 28831 . . . . . . . . 9  |-  ( th 
->  E. g  y  =  z )
9392bnj937 28860 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  y  =  z
)
9428, 93bnj593 28831 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  E. f  y  =  z )
9594bnj937 28860 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  y  =  z
)
9617, 95sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( ps  /\  <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )  ->  y  =  z )
97963expib 1156 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
9897alrimivv 1639 . . 3  |-  ( ps 
->  A. y A. z
( ( <. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z
>.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
9998alrimiv 1638 . 2  |-  ( ps 
->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) )
100 dffun4 5433 . 2  |-  ( Fun  U. A  <->  ( Rel  U. A  /\  A. x A. y A. z ( (
<. x ,  y >.  e.  U. A  /\  <. x ,  z >.  e.  U. A )  ->  y  =  z ) ) )
10116, 99, 100sylanbrc 646 1  |-  ( ps 
->  Fun  U. A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    i^i cin 3287   <.cop 3785   U.cuni 3983   dom cdm 4845    |` cres 4847   Rel wrel 4850   Fun wfun 5415   ` cfv 5421
This theorem is referenced by:  bnj1383  28921
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pr 4371
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-res 4857  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429
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