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Theorem bnj1388 29063
Description: Technical lemma for bnj60 29092. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1388.1  |-  B  =  { d  |  ( d  C_  A  /\  A. x  e.  d  pred ( x ,  A ,  R )  C_  d
) }
bnj1388.2  |-  Y  = 
<. x ,  ( f  |`  pred ( x ,  A ,  R ) ) >.
bnj1388.3  |-  C  =  { f  |  E. d  e.  B  (
f  Fn  d  /\  A. x  e.  d  ( f `  x )  =  ( G `  Y ) ) }
bnj1388.4  |-  ( ta  <->  ( f  e.  C  /\  dom  f  =  ( { x }  u.  trCl ( x ,  A ,  R ) ) ) )
bnj1388.5  |-  D  =  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
bnj1388.6  |-  ( ps  <->  ( R  FrSe  A  /\  D  =/=  (/) ) )
bnj1388.7  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x ) )
bnj1388.8  |-  ( ta'  <->  [. y  /  x ]. ta )
Assertion
Ref Expression
bnj1388  |-  ( ch 
->  A. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) E. f ta' )
Distinct variable groups:    x, A, y    B, f    y, D   
x, R, y    f,
d, x    y, f    ps, y    ta, y
Allowed substitution hints:    ps( x, f, d)    ch( x, y, f, d)    ta( x, f, d)    A( f, d)    B( x, y, d)    C( x, y, f, d)    D( x, f, d)    R( f, d)    G( x, y, f, d)    Y( x, y, f, d)    ta'( x, y, f, d)

Proof of Theorem bnj1388
StepHypRef Expression
1 bnj1388.7 . . 3  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x ) )
2 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ y ps
3 nfv 1605 . . . 4  |-  F/ y  x  e.  D
4 nfra1 2593 . . . 4  |-  F/ y A. y  e.  D  -.  y R x
52, 3, 4nf3an 1774 . . 3  |-  F/ y ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x )
61, 5nfxfr 1557 . 2  |-  F/ y ch
7 bnj1152 29028 . . . . . 6  |-  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  <-> 
( y  e.  A  /\  y R x ) )
87simplbi 446 . . . . 5  |-  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  y  e.  A
)
98adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  y  e.  A )
107biimpi 186 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
1110adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  ( y  e.  A  /\  y R x ) )
1211simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  y R x )
131simp3bi 972 . . . . . . . 8  |-  ( ch 
->  A. y  e.  D  -.  y R x )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  A. y  e.  D  -.  y R x )
15 df-ral 2548 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  D  -.  y R x  <->  A. y
( y  e.  D  ->  -.  y R x ) )
16 con2b 324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  D  ->  -.  y R x )  <-> 
( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )
1716albii 1553 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  e.  D  ->  -.  y R x )  <->  A. y
( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )
1815, 17bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  D  -.  y R x  <->  A. y
( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )
19 sp 1716 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  D )  ->  (
y R x  ->  -.  y  e.  D
) )
2019impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( y R x  /\  A. y ( y R x  ->  -.  y  e.  D ) )  ->  -.  y  e.  D
)
2118, 20sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( ( y R x  /\  A. y  e.  D  -.  y R x )  ->  -.  y  e.  D
)
2212, 14, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  -.  y  e.  D )
23 bnj1388.5 . . . . . . . 8  |-  D  =  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
2423eleq2i 2347 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  <->  y  e.  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
)
25 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
y
26 nfcv 2419 . . . . . . . 8  |-  F/_ x A
27 bnj1388.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ta'  <->  [. y  /  x ]. ta )
28 nfsbc1v 3010 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. y  /  x ]. ta
2927, 28nfxfr 1557 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x ta'
3029nfex 1767 . . . . . . . . 9  |-  F/ x E. f ta'
3130nfn 1765 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  E. f ta'
32 sbceq1a 3001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( ta 
<-> 
[. y  /  x ]. ta ) )
3332, 27syl6bbr 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( ta 
<->  ta' ) )
3433exbidv 1612 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ta  <->  E. f ta' ) )
3534notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  E. f ta  <->  -.  E. f ta' ) )
3625, 26, 31, 35elrabf 2922 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }  <->  ( y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
3724, 36bitri 240 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D  <->  ( y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
3822, 37sylnib 295 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  -.  (
y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
39 iman 413 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A  ->  E. f ta' )  <->  -.  (
y  e.  A  /\  -.  E. f ta' ) )
4038, 39sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  ( y  e.  A  ->  E. f ta' ) )
419, 40mpd 14 . . 3  |-  ( ( ch  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R ) )  ->  E. f ta' )
4241ex 423 . 2  |-  ( ch 
->  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  E. f ta' ) )
436, 42ralrimi 2624 1  |-  ( ch 
->  A. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) E. f ta' )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   [.wsbc 2991    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255    predc-bnj14 28713    FrSe w-bnj15 28717    trClc-bnj18 28719
This theorem is referenced by:  bnj1398  29064  bnj1489  29086
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-bnj14 28714
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