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Theorem bnj1398 29064
Description: Technical lemma for bnj60 29092. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1398.1  |-  B  =  { d  |  ( d  C_  A  /\  A. x  e.  d  pred ( x ,  A ,  R )  C_  d
) }
bnj1398.2  |-  Y  = 
<. x ,  ( f  |`  pred ( x ,  A ,  R ) ) >.
bnj1398.3  |-  C  =  { f  |  E. d  e.  B  (
f  Fn  d  /\  A. x  e.  d  ( f `  x )  =  ( G `  Y ) ) }
bnj1398.4  |-  ( ta  <->  ( f  e.  C  /\  dom  f  =  ( { x }  u.  trCl ( x ,  A ,  R ) ) ) )
bnj1398.5  |-  D  =  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
bnj1398.6  |-  ( ps  <->  ( R  FrSe  A  /\  D  =/=  (/) ) )
bnj1398.7  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x ) )
bnj1398.8  |-  ( ta'  <->  [. y  /  x ]. ta )
bnj1398.9  |-  H  =  { f  |  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R
) ta' }
bnj1398.10  |-  P  = 
U. H
bnj1398.11  |-  ( th  <->  ( ch  /\  z  e. 
U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
bnj1398.12  |-  ( et  <->  ( th  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R )  /\  z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
bnj1398  |-  ( ch 
->  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )  =  dom  P )
Distinct variable groups:    A, f, x, y, z    B, f   
y, C    y, D    z, H    z, P    R, f, x, y, z    ch, z    f, d, x    ps, y    ta, y
Allowed substitution hints:    ps( x, z, f, d)    ch( x, y, f, d)    th( x, y, z, f, d)    ta( x, z, f, d)    et( x, y, z, f, d)    A( d)    B( x, y, z, d)    C( x, z, f, d)    D( x, z, f, d)    P( x, y, f, d)    R( d)    G( x, y, z, f, d)    H( x, y, f, d)    Y( x, y, z, f, d)    ta'( x, y, z, f, d)

Proof of Theorem bnj1398
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj1398.11 . . . . 5  |-  ( th  <->  ( ch  /\  z  e. 
U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
2 df-iun 3907 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )  =  { z  |  E. y  e. 
pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) }
32bnj1436 28872 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
41, 3bnj833 28788 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
5 bnj1398.12 . . . . . . . 8  |-  ( et  <->  ( th  /\  y  e. 
pred ( x ,  A ,  R )  /\  z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
6 bnj1398.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch  <->  ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x ) )
7 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ps
8 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  x  e.  D
9 nfra1 2593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. y  e.  D  -.  y R x
107, 8, 9nf3an 1774 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x )
116, 10nfxfr 1557 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ch
12 nfiu1 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )
1312nfcri 2413 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  z  e.  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )
1411, 13nfan 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( ch  /\  z  e.  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
151, 14nfxfr 1557 . . . . . . . . 9  |-  F/ y th
1615nfri 1742 . . . . . . . 8  |-  ( th 
->  A. y th )
174, 5, 16bnj1521 28883 . . . . . . 7  |-  ( th 
->  E. y et )
18 bnj1398.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ps  <->  ( R  FrSe  A  /\  D  =/=  (/) ) )
19 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ f  R  FrSe  A
20 bnj1398.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  D  =  { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
21 nfe1 1706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/ f E. f ta
2221nfn 1765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ f  -.  E. f ta
23 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ f A
2422, 23nfrab 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ f { x  e.  A  |  -.  E. f ta }
2520, 24nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ f D
26 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ f (/)
2725, 26nfne 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ f  D  =/=  (/)
2819, 27nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ f ( R  FrSe  A  /\  D  =/=  (/) )
2918, 28nfxfr 1557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ f ps
3025nfcri 2413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ f  x  e.  D
31 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ f  -.  y R x
3225, 31nfral 2596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ f A. y  e.  D  -.  y R x
3329, 30, 32nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ f ( ps  /\  x  e.  D  /\  A. y  e.  D  -.  y R x )
346, 33nfxfr 1557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ f ch
35 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ f  z  e.  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )
3634, 35nfan 1771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ f ( ch  /\  z  e.  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
371, 36nfxfr 1557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ f th
38 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ f  y  e.  pred (
x ,  A ,  R )
39 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ f  z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )
4037, 38, 39nf3an 1774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f ( th  /\  y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  /\  z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
415, 40nfxfr 1557 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f et
4241nfri 1742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( et 
->  A. f et )
431simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( th 
->  ch )
445, 43bnj835 28789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( et 
->  ch )
455simp2bi 971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( et 
->  y  e.  pred ( x ,  A ,  R ) )
46 bnj1398.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { d  |  ( d  C_  A  /\  A. x  e.  d  pred ( x ,  A ,  R )  C_  d
) }
47 bnj1398.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Y  = 
<. x ,  ( f  |`  pred ( x ,  A ,  R ) ) >.
48 bnj1398.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  C  =  { f  |  E. d  e.  B  (
f  Fn  d  /\  A. x  e.  d  ( f `  x )  =  ( G `  Y ) ) }
49 bnj1398.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta  <->  ( f  e.  C  /\  dom  f  =  ( { x }  u.  trCl ( x ,  A ,  R ) ) ) )
50 bnj1398.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta'  <->  [. y  /  x ]. ta )
5146, 47, 48, 49, 20, 18, 6, 50bnj1388 29063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ch 
->  A. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) E. f ta' )
52 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R
) E. f ta'  ->  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  E. f ta' ) )
5351, 52syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ch 
->  ( y  e.  pred ( x ,  A ,  R )  ->  E. f ta' ) )
5444, 45, 53sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( et 
->  E. f ta' )
5542, 54bnj596 28775 . . . . . . . . . 10  |-  ( et 
->  E. f ( et 
/\  ta' ) )
5646, 47, 48, 49, 50bnj1373 29060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ta'  <->  (
f  e.  C  /\  dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
5756simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta'  ->  f  e.  C )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( et  /\  ta' )  -> 
f  e.  C )
5956simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ta'  ->  dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
60 rspe 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  pred (
x ,  A ,  R )  /\  dom  f  =  ( {
y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl (
y ,  A ,  R ) ) )
6145, 59, 60syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( et  /\  ta' )  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl (
y ,  A ,  R ) ) )
62 bnj1398.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  H  =  { f  |  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R
) ta' }
6362abeq2i 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  H  <->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ta' )
6456rexbii 2568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  pred  (
x ,  A ,  R ) ta'  <->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( f  e.  C  /\  dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
65 r19.42v 2694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  pred  (
x ,  A ,  R ) ( f  e.  C  /\  dom  f  =  ( {
y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( f  e.  C  /\  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl (
y ,  A ,  R ) ) ) )
6663, 64, 653bitri 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  H  <->  ( f  e.  C  /\  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
6758, 61, 66sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( et  /\  ta' )  -> 
f  e.  H )
685simp3bi 972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( et 
->  z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( et  /\  ta' )  -> 
z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
7059adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( et  /\  ta' )  ->  dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
7169, 70eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( et  /\  ta' )  -> 
z  e.  dom  f
)
7267, 71jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  ta' )  -> 
( f  e.  H  /\  z  e.  dom  f ) )
7355, 72bnj593 28774 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  E. f ( f  e.  H  /\  z  e.  dom  f ) )
74 df-rex 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f  e.  H  z  e.  dom  f  <->  E. f
( f  e.  H  /\  z  e.  dom  f ) )
7573, 74sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( et 
->  E. f  e.  H  z  e.  dom  f )
76 bnj1398.10 . . . . . . . . . . . 12  |-  P  = 
U. H
7776dmeqi 4880 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  P  =  dom  U. H
7862bnj1317 28854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  H  ->  A. f  w  e.  H )
7978bnj1400 28868 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  U. H  =  U_ f  e.  H  dom  f
8077, 79eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  dom  P  =  U_ f  e.  H  dom  f
8180eleq2i 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  dom  P  <->  z  e.  U_ f  e.  H  dom  f )
82 eliun 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ f  e.  H  dom  f  <->  E. f  e.  H  z  e.  dom  f )
8381, 82bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  dom  P  <->  E. f  e.  H  z  e.  dom  f )
8475, 83sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( et 
->  z  e.  dom  P )
8517, 84bnj593 28774 . . . . . 6  |-  ( th 
->  E. y  z  e. 
dom  P )
86 nfre1 2599 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ta'
8786nfab 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y { f  |  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R
) ta' }
8862, 87nfcxfr 2416 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y H
8988nfuni 3833 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y U. H
9076, 89nfcxfr 2416 . . . . . . . 8  |-  F/_ y P
9190nfdm 4920 . . . . . . 7  |-  F/_ y dom  P
9291nfcrii 2412 . . . . . 6  |-  ( z  e.  dom  P  ->  A. y  z  e.  dom  P )
9385, 92bnj1397 28867 . . . . 5  |-  ( th 
->  z  e.  dom  P )
941, 93sylbir 204 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  z  e. 
U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )  ->  z  e.  dom  P )
9594ex 423 . . 3  |-  ( ch 
->  ( z  e.  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R
) ( { y }  u.  trCl (
y ,  A ,  R ) )  -> 
z  e.  dom  P
) )
9695ssrdv 3185 . 2  |-  ( ch 
->  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )  C_  dom  P )
97 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  H  /\  z  e.  dom  f )  ->  z  e.  dom  f )
9866simprbi 450 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  H  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
9998adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  H  /\  z  e.  dom  f )  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl (
y ,  A ,  R ) ) )
100 r19.42v 2694 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  pred  (
x ,  A ,  R ) ( z  e.  dom  f  /\  dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( z  e.  dom  f  /\  E. y  e. 
pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
101 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )  -> 
( z  e.  dom  f 
<->  z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) ) )
102101biimpac 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )  ->  z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
103102reximi 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  pred  (
x ,  A ,  R ) ( z  e.  dom  f  /\  dom  f  =  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
104100, 103sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  dom  f  /\  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) dom  f  =  ( { y }  u.  trCl (
y ,  A ,  R ) ) )  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
10597, 99, 104syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  H  /\  z  e.  dom  f )  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
106105rexlimiva 2662 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  H  z  e.  dom  f  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
10783, 106sylbi 187 . . . . 5  |-  ( z  e.  dom  P  ->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
1082abeq2i 2390 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )  <->  E. y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) z  e.  ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
109107, 108sylibr 203 . . . 4  |-  ( z  e.  dom  P  -> 
z  e.  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
110109ssriv 3184 . . 3  |-  dom  P  C_ 
U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )
111110a1i 10 . 2  |-  ( ch 
->  dom  P  C_  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) ) )
11296, 111eqssd 3196 1  |-  ( ch 
->  U_ y  e.  pred  ( x ,  A ,  R ) ( { y }  u.  trCl ( y ,  A ,  R ) )  =  dom  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   [.wsbc 2991    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023   dom cdm 4689    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255    predc-bnj14 28713    FrSe w-bnj15 28717    trClc-bnj18 28719
This theorem is referenced by:  bnj1415  29068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-dm 4699  df-bnj14 28714  df-bnj18 28720
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