Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj601 Structured version   Unicode version

Theorem bnj601 29228
Description: Technical lemma for bnj852 29229. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj601.1  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( x ,  A ,  R ) )
bnj601.2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj601.3  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
bnj601.4  |-  ( ch  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  x  e.  A
)  ->  E! f
( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
bnj601.5  |-  ( th  <->  A. m  e.  D  ( m  _E  n  ->  [. m  /  n ]. ch ) )
Assertion
Ref Expression
bnj601  |-  ( n  =/=  1o  ->  (
( n  e.  D  /\  th )  ->  ch ) )
Distinct variable groups:    A, f,
i, m, n, y    D, f, i    R, f, i, m, n, y   
x, f, m, n    ph, i, m    ps, m
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f, n)    ps( x, y, f, i, n)    ch( x, y, f, i, m, n)    th( x, y, f, i, m, n)    A( x)    D( x, y, m, n)    R( x)

Proof of Theorem bnj601
Dummy variables  p  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj601.1 . 2  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( x ,  A ,  R ) )
2 bnj601.2 . 2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3 bnj601.3 . 2  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
4 bnj601.4 . 2  |-  ( ch  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  x  e.  A
)  ->  E! f
( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
5 bnj601.5 . 2  |-  ( th  <->  A. m  e.  D  ( m  _E  n  ->  [. m  /  n ]. ch ) )
6 biid 228 . 2  |-  ( [. m  /  n ]. ph  <->  [. m  /  n ]. ph )
7 biid 228 . 2  |-  ( [. m  /  n ]. ps  <->  [. m  /  n ]. ps )
8 biid 228 . 2  |-  ( [. m  /  n ]. ch  <->  [. m  /  n ]. ch )
9 bnj602 29223 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  pred (
y ,  A ,  R )  =  pred ( z ,  A ,  R ) )
109cbviunv 4122 . . . . . 6  |-  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
1110opeq2i 3980 . . . . 5  |-  <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p ) 
pred ( y ,  A ,  R )
>.  =  <. m , 
U_ z  e.  ( f `  p ) 
pred ( z ,  A ,  R )
>.
1211sneqi 3818 . . . 4  |-  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. }  =  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. }
1312uneq2i 3490 . . 3  |-  ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p ) 
pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )
14 dfsbcq 3155 . . 3  |-  ( ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  ->  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ph  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ph )
)
1513, 14ax-mp 8 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ph  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ph )
16 dfsbcq 3155 . . 3  |-  ( ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  ->  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ps  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ps ) )
1713, 16ax-mp 8 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ps  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ps )
18 dfsbcq 3155 . . 3  |-  ( ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  ->  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ch  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ch ) )
1913, 18ax-mp 8 . 2  |-  ( [. ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )  /  f ]. ch  <->  [. ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } )  /  f ]. ch )
2013eqcomi 2439 . 2  |-  ( f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p ) 
pred ( z ,  A ,  R )
>. } )  =  ( f  u.  { <. m ,  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
>. } )
21 biid 228 . 2  |-  ( ( f  Fn  m  /\  [. m  /  n ]. ph 
/\  [. m  /  n ]. ps )  <->  ( f  Fn  m  /\  [. m  /  n ]. ph  /\  [. m  /  n ]. ps ) )
22 biid 228 . 2  |-  ( ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  m )  <->  ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  m )
)
23 biid 228 . 2  |-  ( ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  om  /\  m  =  suc  p )  <->  ( m  e.  D  /\  n  =  suc  m  /\  p  e.  om  /\  m  =  suc  p ) )
24 biid 228 . 2  |-  ( ( i  e.  om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =  suc  i )  <->  ( i  e.  om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =  suc  i ) )
25 biid 228 . 2  |-  ( ( i  e.  om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =/=  suc  i
)  <->  ( i  e. 
om  /\  suc  i  e.  n  /\  m  =/= 
suc  i ) )
26 eqid 2435 . 2  |-  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )
27 eqid 2435 . 2  |-  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( f `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
28 eqid 2435 . 2  |-  U_ y  e.  ( ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } ) `
 i )  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( (
f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } ) `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )
29 eqid 2435 . 2  |-  U_ y  e.  ( ( f  u. 
{ <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p )  pred (
z ,  A ,  R ) >. } ) `
 p )  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( (
f  u.  { <. m ,  U_ z  e.  ( f `  p
)  pred ( z ,  A ,  R )
>. } ) `  p
)  pred ( y ,  A ,  R )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 20bnj600 29227 1  |-  ( n  =/=  1o  ->  (
( n  e.  D  /\  th )  ->  ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2280    =/= wne 2598   A.wral 2697   [.wsbc 3153    \ cdif 3309    u. cun 3310   (/)c0 3620   {csn 3806   <.cop 3809   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    _E cep 4484   suc csuc 4575   omcom 4837    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   1oc1o 6709    /\ w-bnj17 28987    predc-bnj14 28989    FrSe w-bnj15 28993
This theorem is referenced by:  bnj852  29229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-bnj17 28988  df-bnj14 28990  df-bnj13 28992  df-bnj15 28994
  Copyright terms: Public domain W3C validator