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Theorem bnj611 28950
Description: Technical lemma for bnj852 28953. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj611.1  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj611.2  |-  ( ps"  <->  [. G  / 
f ]. ps )
bnj611.3  |-  G  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnj611  |-  ( ps"  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    i, G, y    f, N    R, f    f, i, y
Allowed substitution hints:    ps( y, f, i)    A( y, i)    R( y, i)    G( f)    N( y, i)    ps"( y, f, i)

Proof of Theorem bnj611
Dummy variable  e is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj611.2 . 2  |-  ( ps"  <->  [. G  / 
f ]. ps )
2 df-ral 2548 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
32bicomi 193 . . . 4  |-  ( A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
4 bnj611.3 . . . 4  |-  G  e. 
_V
53, 4bnj524 28766 . . 3  |-  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  [. G  / 
f ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
6 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ f  i  e.  om
76sbc19.21g 3055 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  ( i  e.  om  ->  [. G  / 
f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) ) )
84, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. G  /  f ]. (
i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
9 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  suc  i  e.  N
109sbc19.21g 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. (
f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
114, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
12 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  suc  i )  =  ( G `  suc  i ) )
13 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  i )  =  ( G `  i ) )
1413bnj1113 28817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  G  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
1512, 14eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
16 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  e  ->  (
f `  suc  i )  =  ( e `  suc  i ) )
17 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  e  ->  (
f `  i )  =  ( e `  i ) )
1817bnj1113 28817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  e  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
1916, 18eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  e  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( e `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( e `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
20 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  G  ->  (
e `  suc  i )  =  ( G `  suc  i ) )
21 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  G  ->  (
e `  i )  =  ( G `  i ) )
2221bnj1113 28817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  G  ->  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
2320, 22eqeq12d 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  G  ->  (
( e `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( e `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
244, 15, 19, 23bnj610 28776 . . . . . . . . 9  |-  ( [. G  /  f ]. (
f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  <-> 
( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )
2524imbi2i 303 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
2611, 25bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
2726imbi2i 303 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  ->  [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
288, 27bitri 240 . . . . 5  |-  ( [. G  /  f ]. (
i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
2928albii 1553 . . . 4  |-  ( A. i [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
30 sbcalg 3039 . . . . 5  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i [. G  / 
f ]. ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) ) )
314, 30ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
32 df-ral 2548 . . . 4  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
3329, 31, 323bitr4ri 269 . . 3  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. G  / 
f ]. A. i ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
34 bnj611.1 . . . 4  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3534, 4bnj524 28766 . . 3  |-  ( [. G  /  f ]. ps  <->  [. G  /  f ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
365, 33, 353bitr4ri 269 . 2  |-  ( [. G  /  f ]. ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
371, 36bitri 240 1  |-  ( ps"  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991   U_ciun 3905   suc csuc 4394   omcom 4656   ` cfv 5255    predc-bnj14 28713
This theorem is referenced by:  bnj600  28951  bnj908  28963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-sbc 2992  df-in 3159  df-ss 3166  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-iota 5219  df-fv 5263
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