Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj611 Structured version   Unicode version

Theorem bnj611 29290
Description: Technical lemma for bnj852 29293. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj611.1  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj611.2  |-  ( ps"  <->  [. G  / 
f ]. ps )
bnj611.3  |-  G  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
bnj611  |-  ( ps"  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
Distinct variable groups:    A, f    i, G, y    f, N    R, f    f, i, y
Allowed substitution hints:    ps( y, f, i)    A( y, i)    R( y, i)    G( f)    N( y, i)    ps"( y, f, i)

Proof of Theorem bnj611
Dummy variable  e is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bnj611.2 . 2  |-  ( ps"  <->  [. G  / 
f ]. ps )
2 df-ral 2711 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
32bicomi 195 . . . 4  |-  ( A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
43sbcbii 3217 . . 3  |-  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  [. G  / 
f ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
5 bnj611.3 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
6 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ f  i  e.  om
76sbc19.21g 3226 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  ( i  e.  om  ->  [. G  / 
f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) ) )
85, 7ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. G  /  f ]. (
i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
9 nfv 1630 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  suc  i  e.  N
109sbc19.21g 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  _V  ->  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. (
f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
115, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
12 fveq1 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  suc  i )  =  ( G `  suc  i ) )
13 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  G  ->  (
f `  i )  =  ( G `  i ) )
1413bnj1113 29157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  G  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
1512, 14eqeq12d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  G  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
16 fveq1 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  e  ->  (
f `  suc  i )  =  ( e `  suc  i ) )
17 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  e  ->  (
f `  i )  =  ( e `  i ) )
1817bnj1113 29157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  e  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
1916, 18eqeq12d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  e  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( e `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( e `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
20 fveq1 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  G  ->  (
e `  suc  i )  =  ( G `  suc  i ) )
21 fveq1 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  G  ->  (
e `  i )  =  ( G `  i ) )
2221bnj1113 29157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  G  ->  U_ y  e.  ( e `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
2320, 22eqeq12d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  G  ->  (
( e `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( e `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
245, 15, 19, 23bnj610 29116 . . . . . . . . 9  |-  ( [. G  /  f ]. (
f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  <-> 
( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )
2524imbi2i 305 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  i  e.  N  ->  [. G  /  f ]. ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
2611, 25bitri 242 . . . . . . 7  |-  ( [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( G `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
2726imbi2i 305 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  om  ->  [. G  /  f ]. ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
288, 27bitri 242 . . . . 5  |-  ( [. G  /  f ]. (
i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
2928albii 1576 . . . 4  |-  ( A. i [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
30 sbcal 3209 . . . 4  |-  ( [. G  /  f ]. A. i ( i  e. 
om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )  <->  A. i [. G  /  f ]. ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
31 df-ral 2711 . . . 4  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i
( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
3229, 30, 313bitr4ri 271 . . 3  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. G  / 
f ]. A. i ( i  e.  om  ->  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
33 bnj611.1 . . . 4  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3433sbcbii 3217 . . 3  |-  ( [. G  /  f ]. ps  <->  [. G  /  f ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
354, 32, 343bitr4ri 271 . 2  |-  ( [. G  /  f ]. ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
361, 35bitri 242 1  |-  ( ps"  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  N  ->  ( G `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( G `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   _Vcvv 2957   [.wsbc 3162   U_ciun 4094   suc csuc 4584   omcom 4846   ` cfv 5455    predc-bnj14 29053
This theorem is referenced by:  bnj600  29291  bnj908  29303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ral 2711  df-rex 2712  df-v 2959  df-sbc 3163  df-in 3328  df-ss 3335  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-iota 5419  df-fv 5463
  Copyright terms: Public domain W3C validator