Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj893 Structured version   Unicode version

Theorem bnj893 29236
Description: Property of  trCl. Under certain conditions, the transitive closure of  X in  A by  R is a set. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bnj893  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  trCl ( X ,  A ,  R )  e.  _V )

Proof of Theorem bnj893
Dummy variables  f 
g  i  n  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 228 . . 3  |-  ( ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
2 biid 228 . . 3  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } )  =  ( om  \  { (/)
} )
4 eqid 2435 . . 3  |-  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  =  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }
51, 2, 3, 4bnj882 29234 . 2  |-  trCl ( X ,  A ,  R )  =  U_ f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )
6 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
7 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  (/) )  =  ( g `  (/) ) )
87eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
) )
96, 8sbcie 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. g  /  f ]. (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
109bicomi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  [. g  /  f ]. ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
11 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  suc  i )  =  ( g `  suc  i ) )
12 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  i )  =  ( g `  i ) )
1312iuneq1d 4108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  U_ y  e.  ( f `  i
)  pred ( y ,  A ,  R )  =  U_ y  e.  ( g `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) )
1411, 13eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R )  <->  ( g `  suc  i )  = 
U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
1514imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i
)  =  U_ y  e.  ( g `  i
)  pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
1615ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) ) )
176, 16sbcie 3187 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. g  /  f ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
1817bicomi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. g  / 
f ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
194, 10, 18bnj873 29232 . . . . . . . 8  |-  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  =  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }
2019eleq2i 2499 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  <->  f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } )
2120anbi1i 677 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  /\  w  e. 
U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) )  <->  ( f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  /\  w  e. 
U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) ) )
2221rexbii2 2726 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i )  <->  E. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) )
2322abbii 2547 . . . 4  |-  { w  |  E. f  e.  {
f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }  =  { w  |  E. f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }
24 df-iun 4087 . . . 4  |-  U_ f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  =  { w  |  E. f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }
25 df-iun 4087 . . . 4  |-  U_ f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  =  { w  |  E. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `
 (/) )  =  pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } w  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i ) }
2623, 24, 253eqtr4i 2465 . . 3  |-  U_ f  e.  { f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( f  Fn  n  /\  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  = 
U_ f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )
27 biid 228 . . . . 5  |-  ( ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
28 biid 228 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
29 eqid 2435 . . . . 5  |-  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  =  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }
30 biid 228 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  ( om  \  { (/) } ) )  <-> 
( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  n  e.  ( om  \  { (/) } ) ) )
31 biid 228 . . . . 5  |-  ( ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <-> 
( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
32 biid 228 . . . . 5  |-  ( [. z  /  g ]. (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  <->  [. z  /  g ]. ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
33 biid 228 . . . . 5  |-  ( [. z  /  g ]. A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) )  <->  [. z  / 
g ]. A. i  e. 
om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `
 suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i ) 
pred ( y ,  A ,  R ) ) )
34 biid 228 . . . . 5  |-  ( [. z  /  g ]. (
g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )  <->  [. z  /  g ]. ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) )
35 biid 228 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )
)
3627, 28, 3, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35bnj849 29233 . . . 4  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  e.  _V )
37 vex 2951 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
3837dmex 5124 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
39 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( f `
 i )  e. 
_V
4038, 39iunex 5983 . . . . 5  |-  U_ i  e.  dom  f ( f `
 i )  e. 
_V
4140rgenw 2765 . . . 4  |-  A. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V
42 iunexg 5979 . . . 4  |-  ( ( { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) }  e.  _V  /\  A. f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )  ->  U_ f  e.  { g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/) } ) ( g  Fn  n  /\  ( g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )
4336, 41, 42sylancl 644 . . 3  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  U_ f  e.  {
g  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( g  Fn  n  /\  (
g `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( g `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( g `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )
4426, 43syl5eqel 2519 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  U_ f  e.  {
f  |  E. n  e.  ( om  \  { (/)
} ) ( f  Fn  n  /\  (
f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )  /\  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) ) } U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  e. 
_V )
455, 44syl5eqel 2519 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  trCl ( X ,  A ,  R )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153    \ cdif 3309   (/)c0 3620   {csn 3806   U_ciun 4085   suc csuc 4575   omcom 4837   dom cdm 4870    Fn wfn 5441   ` cfv 5446    predc-bnj14 28989    FrSe w-bnj15 28993    trClc-bnj18 28995
This theorem is referenced by:  bnj1125  29298  bnj1136  29303  bnj1177  29312  bnj1413  29341  bnj1452  29358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-bnj17 28988  df-bnj14 28990  df-bnj13 28992  df-bnj15 28994  df-bnj18 28996
  Copyright terms: Public domain W3C validator