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Theorem bnj916 28965
Description: Technical lemma for bnj69 29040. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj916.1  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
bnj916.2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj916.3  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
bnj916.4  |-  B  =  { f  |  E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) }
bnj916.5  |-  ( ch  <->  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
Assertion
Ref Expression
bnj916  |-  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
i, n, y    D, i    R, f, i, n, y    f, X, i, n, y    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( y, f, n)    ps( y, f, i, n)    ch( y, f, i, n)    B( y, f, i, n)    D( y, f, n)

Proof of Theorem bnj916
StepHypRef Expression
1 bnj256 28731 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( ( n  e.  D  /\  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )  /\  ( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
212exbii 1570 . . . . 5  |-  ( E. n E. i ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  E. n E. i
( ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\ 
ps ) )  /\  ( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
3 19.41v 1842 . . . . . 6  |-  ( E. n ( ( n  e.  D  /\  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  y  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\ 
ps ) )  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  y  e.  ( f `  i
) ) ) )
4 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ i  n  e.  D
5 bnj916.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
6 bnj916.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
75, 6bnj911 28964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  ->  A. i
( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)
87nfi 1538 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
94, 8nfan 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)
10919.42 1816 . . . . . . 7  |-  ( E. i ( ( n  e.  D  /\  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )  /\  ( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )  <->  ( (
n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
1110exbii 1569 . . . . . 6  |-  ( E. n E. i ( ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)  /\  ( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i
) ) )  <->  E. n
( ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\ 
ps ) )  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  y  e.  ( f `  i
) ) ) )
12 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  <->  E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
13 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  dom  f 
y  e.  ( f `
 i )  <->  E. i
( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
1412, 13anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  (
f `  i )
)  <->  ( E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
153, 11, 143bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( E. n E. i ( ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)  /\  ( i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i ) ) )
162, 15bitri 240 . . . 4  |-  ( E. n E. i ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) ) )
1716exbii 1569 . . 3  |-  ( E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\ 
ps )  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i
) )  <->  E. f
( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) ) )
18 bnj916.5 . . . . . . 7  |-  ( ch  <->  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
19183anbi2i 1143 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f )  <->  ( n  e.  D  /\  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  /\  i  e.  dom  f ) )
2019anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e. 
dom  f )  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( (
n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  i  e.  dom  f )  /\  y  e.  ( f `  i
) ) )
21 df-bnj17 28712 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f
)  /\  y  e.  ( f `  i
) ) )
22 df-bnj17 28712 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( ( n  e.  D  /\  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  /\  i  e.  dom  f )  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
2320, 21, 223bitr4i 268 . . . 4  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\ 
ps )  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i
) ) )
24233exbii 1571 . . 3  |-  ( E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
25 bnj916.3 . . . . . . 7  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
26 bnj916.4 . . . . . . 7  |-  B  =  { f  |  E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) }
275, 6, 25, 26bnj882 28958 . . . . . 6  |-  trCl ( X ,  A ,  R )  =  U_ f  e.  B  U_ i  e.  dom  f ( f `
 i )
2827eleq2i 2347 . . . . 5  |-  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  y  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i ) )
29 eliun 3909 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. f  e.  B  y  e.  U_ i  e.  dom  f
( f `  i
) )
30 eliun 3909 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) )
3130rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. f  e.  B  y  e.  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) )
3228, 29, 313bitri 262 . . . 4  |-  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i ) )
33 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i )  <->  E. f
( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  (
f `  i )
) )
3426abeq2i 2390 . . . . . 6  |-  ( f  e.  B  <->  E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )
3534anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f 
y  e.  ( f `
 i ) )  <-> 
( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) ) )
3635exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. f ( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) )  <->  E. f
( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) ) )
3732, 33, 363bitri 262 . . 3  |-  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  y  e.  ( f `  i
) ) )
3817, 24, 373bitr4ri 269 . 2  |-  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
39 bnj643 28778 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  ->  ch )
4018bnj564 28773 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  dom  f  =  n )
4140eleq2d 2350 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  ( i  e.  dom  f 
<->  i  e.  n ) )
42 anbi1 687 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  dom  f  <->  i  e.  n )  -> 
( ( i  e. 
dom  f  /\  (
n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )  <->  ( i  e.  n  /\  (
n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) ) )
43 bnj334 28738 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( i  e. 
dom  f  /\  n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
44 bnj252 28728 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  dom  f  /\  n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i
) )  <->  ( i  e.  dom  f  /\  (
n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
4543, 44bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( i  e. 
dom  f  /\  (
n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
46 bnj334 28738 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  (
f `  i )
)  <->  ( i  e.  n  /\  n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
47 bnj252 28728 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  n  /\  n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( i  e.  n  /\  ( n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `
 i ) ) ) )
4846, 47bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  (
f `  i )
)  <->  ( i  e.  n  /\  ( n  e.  D  /\  ch  /\  y  e.  ( f `
 i ) ) ) )
4942, 45, 483bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  dom  f  <->  i  e.  n )  -> 
( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
5039, 41, 493syl 18 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  ->  ( (
n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  <->  ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) ) ) )
5150ibi 232 . . . 4  |-  ( ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  ->  ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
52512eximi 1564 . . 3  |-  ( E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  ->  E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
5352eximi 1563 . 2  |-  ( E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  dom  f  /\  y  e.  ( f `  i ) )  ->  E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
5438, 53sylbi 187 1  |-  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  E. f E. n E. i ( n  e.  D  /\  ch  /\  i  e.  n  /\  y  e.  ( f `  i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    \ cdif 3149   (/)c0 3455   {csn 3640   U_ciun 3905   suc csuc 4394   omcom 4656   dom cdm 4689    Fn wfn 5250   ` cfv 5255    /\ w-bnj17 28711    predc-bnj14 28713    trClc-bnj18 28719
This theorem is referenced by:  bnj917  28966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-v 2790  df-iun 3907  df-fn 5258  df-bnj17 28712  df-bnj18 28720
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