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Theorem bnj978 28651
Description: Technical lemma for bnj69 28710. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj978.1  |-  ( th  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
bnj978.2  |-  ( th 
->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )
Assertion
Ref Expression
bnj978  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  TrFo (  trCl ( X ,  A ,  R ) ,  A ,  R ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    y, R, z    y, X, z
Allowed substitution hints:    th( y, z)

Proof of Theorem bnj978
StepHypRef Expression
1 bnj978.1 . . . . . 6  |-  ( th  <->  ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
2 bnj978.2 . . . . . 6  |-  ( th 
->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )
31, 2sylbir 205 . . . . 5  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  -> 
z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )
43gen2 1553 . . . 4  |-  A. y A. z ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e. 
trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  -> 
z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )
5 bnj253 28399 . . . . . . 7  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) ) )
65imbi1i 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )  <->  ( (
( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) )
762albii 1573 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  -> 
z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )  <->  A. y A. z ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) )
8 3impexp 1372 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) ) )
982albii 1573 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )  <->  A. y A. z ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) ) )
10 19.21v 1902 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. z
( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) ) )
11 19.21v 1902 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z ( y  e. 
trCl ( X ,  A ,  R )  ->  ( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) )  <->  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z ( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) ) )
1211imbi2i 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  A. z
( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) ) )
1310, 12bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) ) )
1413albii 1572 . . . . . 6  |-  ( A. y A. z ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) )  <->  A. y
( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z ( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) ) ) )
15 19.21v 1902 . . . . . 6  |-  ( A. y ( ( R 
FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  (
y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y
( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) ) )
16 df-ral 2647 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R
) A. z ( z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
)  <->  A. y ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z ( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) ) )
1716bicomi 194 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( y  e. 
trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z ( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) )  <->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R ) A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) )
1817imbi2i 304 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A
)  ->  A. y
( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R ) A. z ( z  e. 
pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) ) )
1914, 15, 183bitri 263 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  ( y  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  ->  (
z  e.  pred (
y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R ) A. z ( z  e. 
pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) ) )
207, 9, 193bitri 263 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A  /\  y  e.  trCl ( X ,  A ,  R
)  /\  z  e.  pred ( y ,  A ,  R ) )  -> 
z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) )  <->  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R ) A. z ( z  e. 
pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R ) ) ) )
214, 20mpbi 200 . . 3  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R ) A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) )
22 dfss2 3273 . . . 4  |-  (  pred ( y ,  A ,  R )  C_  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) )
2322ralbii 2666 . . 3  |-  ( A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R
)  pred ( y ,  A ,  R ) 
C_  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R ) A. z
( z  e.  pred ( y ,  A ,  R )  ->  z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )
) )
2421, 23sylibr 204 . 2  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R )  pred (
y ,  A ,  R )  C_  trCl ( X ,  A ,  R ) )
25 df-bnj19 28392 . 2  |-  (  TrFo (  trCl ( X ,  A ,  R ) ,  A ,  R )  <->  A. y  e.  trCl  ( X ,  A ,  R )  pred (
y ,  A ,  R )  C_  trCl ( X ,  A ,  R ) )
2624, 25sylibr 204 1  |-  ( ( R  FrSe  A  /\  X  e.  A )  ->  TrFo (  trCl ( X ,  A ,  R ) ,  A ,  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546    e. wcel 1717   A.wral 2642    C_ wss 3256    /\ w-bnj17 28381    predc-bnj14 28383    FrSe w-bnj15 28387    trClc-bnj18 28389    TrFow-bnj19 28391
This theorem is referenced by:  bnj907  28667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-ral 2647  df-in 3263  df-ss 3270  df-bnj17 28382  df-bnj19 28392
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