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Theorem bnj983 29299
Description: Technical lemma for bnj69 29356. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj983.1  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
bnj983.2  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
bnj983.3  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
bnj983.4  |-  B  =  { f  |  E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) }
bnj983.5  |-  ( ch  <->  ( n  e.  D  /\  f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
Assertion
Ref Expression
bnj983  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
Distinct variable groups:    A, f,
i, n, y    D, i    R, f, i, n, y    f, X, i, n, y    f, Z, i, n    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( y, f, n)    ps( y, f, i, n)    ch( y, f, i, n)    B( y, f, i, n)    D( y, f, n)    Z( y)

Proof of Theorem bnj983
StepHypRef Expression
1 bnj983.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  <->  ( f `  (/) )  = 
pred ( X ,  A ,  R )
)
2 bnj983.2 . . . . . . . 8  |-  ( ps  <->  A. i  e.  om  ( suc  i  e.  n  ->  ( f `  suc  i )  =  U_ y  e.  ( f `  i )  pred (
y ,  A ,  R ) ) )
3 bnj983.3 . . . . . . . 8  |-  D  =  ( om  \  { (/)
} )
4 bnj983.4 . . . . . . . 8  |-  B  =  { f  |  E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) }
51, 2, 3, 4bnj882 29274 . . . . . . 7  |-  trCl ( X ,  A ,  R )  =  U_ f  e.  B  U_ i  e.  dom  f ( f `
 i )
65eleq2i 2360 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  Z  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i ) )
7 eliun 3925 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. f  e.  B  Z  e.  U_ i  e.  dom  f
( f `  i
) )
8 eliun 3925 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )
98rexbii 2581 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  B  Z  e.  U_ i  e.  dom  f ( f `  i )  <->  E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )
107, 9bitri 240 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  U_ f  e.  B  U_ i  e. 
dom  f ( f `
 i )  <->  E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )
11 df-rex 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i )  <->  E. f
( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  (
f `  i )
) )
124abeq2i 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  B  <->  E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps ) )
1312anbi1i 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  ( E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i ) ) )
1413exbii 1572 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f  e.  B  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  E. f
( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) ) )
1511, 14bitri 240 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  B  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i )  <->  E. f
( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) ) )
166, 10, 153bitri 262 . . . . 5  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i
) ) )
17 bnj983.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ch  <->  ( n  e.  D  /\  f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) )
18 bnj252 29044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  D  /\  f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  <->  ( n  e.  D  /\  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps ) ) )
1917, 18bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ch  <->  ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
2019exbii 1572 . . . . . . 7  |-  ( E. n ch  <->  E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
2120anbi1i 676 . . . . . 6  |-  ( ( E. n ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n ( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\ 
ps ) )  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) ) )
22 df-rex 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  <->  E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
) )
23 df-rex 2562 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i )  <->  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
2422, 23anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( E. n  e.  D  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  (
f `  i )
)  <->  ( E. n
( n  e.  D  /\  ( f  Fn  n  /\  ph  /\  ps )
)  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
2521, 24bitr4i 243 . . . . 5  |-  ( ( E. n ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n  e.  D  (
f  Fn  n  /\  ph 
/\  ps )  /\  E. i  e.  dom  f  Z  e.  ( f `  i ) ) )
2616, 25bnj133 29069 . . . 4  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f ( E. n ch  /\  E. i ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  (
f `  i )
) ) )
27 19.41v 1854 . . . 4  |-  ( E. n ( ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )  <->  ( E. n ch  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
2826, 27bnj133 29069 . . 3  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n ( ch  /\  E. i
( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
292bnj1095 29129 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  A. i ps )
3029, 17bnj1096 29130 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  A. i ch )
3130nfi 1541 . . . . 5  |-  F/ i ch
323119.42 1828 . . . 4  |-  ( E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )  <->  ( ch  /\ 
E. i ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
33322exbii 1573 . . 3  |-  ( E. f E. n E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )  <->  E. f E. n ( ch  /\  E. i ( i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) ) )
3428, 33bitr4i 243 . 2  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
35 3anass 938 . . 3  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
36353exbii 1574 . 2  |-  ( E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  ( i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
37 fndm 5359 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  n  ->  dom  f  =  n )
3817, 37bnj770 29109 . . . . . . 7  |-  ( ch 
->  dom  f  =  n )
39 eleq2 2357 . . . . . . . 8  |-  ( dom  f  =  n  -> 
( i  e.  dom  f 
<->  i  e.  n ) )
40393anbi2d 1257 . . . . . . 7  |-  ( dom  f  =  n  -> 
( ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
4138, 40syl 15 . . . . . 6  |-  ( ch 
->  ( ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
42413ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  (
( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
4342ibi 232 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  (
f `  i )
) )
44413ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  (
( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) ) )
4544ibir 233 . . . 4  |-  ( ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  ->  ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
4643, 45impbii 180 . . 3  |-  ( ( ch  /\  i  e. 
dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i
) )  <->  ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
47463exbii 1574 . 2  |-  ( E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  dom  f  /\  Z  e.  ( f `  i ) )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i
) ) )
4834, 36, 473bitr2i 264 1  |-  ( Z  e.  trCl ( X ,  A ,  R )  <->  E. f E. n E. i ( ch  /\  i  e.  n  /\  Z  e.  ( f `  i ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162   (/)c0 3468   {csn 3653   U_ciun 3921   suc csuc 4410   omcom 4672   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   ` cfv 5271    /\ w-bnj17 29027    predc-bnj14 29029    trClc-bnj18 29035
This theorem is referenced by:  bnj1033  29315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562  df-v 2803  df-iun 3923  df-fn 5274  df-bnj17 29028  df-bnj18 29036
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