MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bnsscmcl Unicode version

Theorem bnsscmcl 21447
Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnsscmcl.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
bnsscmcl.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
bnsscmcl.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bnsscmcl.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
bnsscmcl.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
Assertion
Ref Expression
bnsscmcl  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( W  e.  CBan  <->  Y  e.  ( Clsd `  J )
) )

Proof of Theorem bnsscmcl
StepHypRef Expression
1 bnnv 21445 . . . 4  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
2 bnsscmcl.h . . . . 5  |-  H  =  ( SubSp `  U )
32sspnv 21302 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
41, 3sylan 457 . . 3  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
5 bnsscmcl.y . . . . 5  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
6 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
75, 6iscbn 21443 . . . 4  |-  ( W  e.  CBan  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( IndMet `  W
)  e.  ( CMet `  Y ) ) )
87baib 871 . . 3  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( W  e. 
CBan 
<->  ( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  Y
) ) )
94, 8syl 15 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( W  e.  CBan  <->  ( IndMet `  W )  e.  (
CMet `  Y )
) )
10 bnsscmcl.d . . . . 5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
115, 10, 6, 2sspims 21317 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( IndMet `
 W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
121, 11sylan 457 . . 3  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( IndMet `
 W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
1312eleq1d 2349 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  (
( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
) )
14 bnsscmcl.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
1514, 10cbncms 21444 . . . 4  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
1615adantr 451 . . 3  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
17 bnsscmcl.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1817cmetss 18740 . . 3  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1916, 18syl 15 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  (
( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
209, 13, 193bitrd 270 1  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( W  e.  CBan  <->  Y  e.  ( Clsd `  J )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255   MetOpencmopn 16372   Clsdccld 16753   CMetcms 18680   NrmCVeccnv 21140   BaseSetcba 21142   IndMetcims 21147   SubSpcss 21297   CBanccbn 21441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-icc 10663  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-flim 17634  df-cfil 18681  df-cmet 18683  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860  df-gdiv 20861  df-ablo 20949  df-vc 21102  df-nv 21148  df-va 21151  df-ba 21152  df-sm 21153  df-0v 21154  df-vs 21155  df-nmcv 21156  df-ims 21157  df-ssp 21298  df-cbn 21442
  Copyright terms: Public domain W3C validator