MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bnsscmcl Unicode version

Theorem bnsscmcl 21463
Description: A subspace of a Banach space is a Banach space iff it is closed in the norm-induced metric of the parent space. (Contributed by NM, 1-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnsscmcl.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
bnsscmcl.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
bnsscmcl.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bnsscmcl.h  |-  H  =  ( SubSp `  U )
bnsscmcl.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
Assertion
Ref Expression
bnsscmcl  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( W  e.  CBan  <->  Y  e.  ( Clsd `  J )
) )

Proof of Theorem bnsscmcl
StepHypRef Expression
1 bnnv 21461 . . . 4  |-  ( U  e.  CBan  ->  U  e.  NrmCVec )
2 bnsscmcl.h . . . . 5  |-  H  =  ( SubSp `  U )
32sspnv 21318 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
41, 3sylan 457 . . 3  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  W  e.  NrmCVec )
5 bnsscmcl.y . . . . 5  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
6 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( IndMet `  W )  =  (
IndMet `  W )
75, 6iscbn 21459 . . . 4  |-  ( W  e.  CBan  <->  ( W  e.  NrmCVec 
/\  ( IndMet `  W
)  e.  ( CMet `  Y ) ) )
87baib 871 . . 3  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( W  e. 
CBan 
<->  ( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  Y
) ) )
94, 8syl 15 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( W  e.  CBan  <->  ( IndMet `  W )  e.  (
CMet `  Y )
) )
10 bnsscmcl.d . . . . 5  |-  D  =  ( IndMet `  U )
115, 10, 6, 2sspims 21333 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  H )  ->  ( IndMet `
 W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
121, 11sylan 457 . . 3  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( IndMet `
 W )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
1312eleq1d 2362 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  (
( IndMet `  W )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
) )
14 bnsscmcl.x . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
1514, 10cbncms 21460 . . . 4  |-  ( U  e.  CBan  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
1615adantr 451 . . 3  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
17 bnsscmcl.j . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
1817cmetss 18756 . . 3  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
1916, 18syl 15 . 2  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  (
( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
209, 13, 193bitrd 270 1  |-  ( ( U  e.  CBan  /\  W  e.  H )  ->  ( W  e.  CBan  <->  Y  e.  ( Clsd `  J )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    X. cxp 4703    |` cres 4707   ` cfv 5271   MetOpencmopn 16388   Clsdccld 16769   CMetcms 18696   NrmCVeccnv 21156   BaseSetcba 21158   IndMetcims 21163   SubSpcss 21313   CBanccbn 21457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ico 10678  df-icc 10679  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-flim 17650  df-cfil 18697  df-cmet 18699  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-ssp 21314  df-cbn 21458
  Copyright terms: Public domain W3C validator