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Theorem bosser 26270
 Description: "Being on the same side of " is an equivalence relation among points that are not on . (Contributed by FL, 10-Aug-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
isside.1 PPoints
isside.2 PLines
isside.3 ss
isside.4 Ibg
isside.5
Assertion
Ref Expression
bosser

Proof of Theorem bosser
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relopab 4828 . . . 4
21a1i 10 . . 3
3 isside.1 . . . . 5 PPoints
4 isside.2 . . . . 5 PLines
5 isside.3 . . . . 5 ss
6 isside.4 . . . . 5 Ibg
7 isside.5 . . . . 5
8 eqid 2296 . . . . 5
93, 4, 5, 6, 7, 8isside0 26267 . . . 4
109releqd 4789 . . 3
112, 10mpbird 223 . 2
129dmeqd 4897 . . 3
13 3anass 938 . . . . . 6
1413opabbii 4099 . . . . 5
1514a1i 10 . . . 4
1615dmeqd 4897 . . 3
17 simpr 447 . . . . . 6
186adantr 451 . . . . . . . . 9 Ibg
19 eldifi 3311 . . . . . . . . . 10
2019adantl 452 . . . . . . . . 9
213, 8, 18, 20sgplpte22 26241 . . . . . . . 8
2221ineq1d 3382 . . . . . . 7
23 incom 3374 . . . . . . . 8
2423a1i 10 . . . . . . 7
25 eldifn 3312 . . . . . . . . 9
2625adantl 452 . . . . . . . 8
27 disjsn 3706 . . . . . . . 8
2826, 27sylibr 203 . . . . . . 7
2922, 24, 283eqtrd 2332 . . . . . 6
30 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10
3130ineq1d 3382 . . . . . . . . 9
3231eqeq1d 2304 . . . . . . . 8
3332rspcev 2897 . . . . . . 7
34 df-rex 2562 . . . . . . 7
3533, 34sylib 188 . . . . . 6
3617, 29, 35syl2anc 642 . . . . 5
3736ralrimiva 2639 . . . 4
38 dmopab3 4907 . . . 4
3937, 38sylib 188 . . 3
4012, 16, 393eqtrd 2332 . 2
41 simpr2 962 . . . . . . . . 9
42 simpr1 961 . . . . . . . . 9
4363ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ibg
44193ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46453ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
473, 8, 43, 44, 46xsyysx 26248 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4847ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . 14
5049biimpd 198 . . . . . . . . . . . . 13
51503exp 1150 . . . . . . . . . . . 12
5251com34 77 . . . . . . . . . . 11
53523imp 1145 . . . . . . . . . 10
5453impcom 419 . . . . . . . . 9
5541, 42, 543jca 1132 . . . . . . . 8
5655ex 423 . . . . . . 7
57 df-br 4040 . . . . . . . . 9
58 opabid 4287 . . . . . . . . 9
5957, 58bitri 240 . . . . . . . 8
6059a1i 10 . . . . . . 7
61 vex 2804 . . . . . . . . 9
62 vex 2804 . . . . . . . . 9
63 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10
64 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12
6564ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11
6665eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10
6763, 663anbi13d 1254 . . . . . . . . 9
68 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10
69 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
7069ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11
7170eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10
7268, 713anbi23d 1255 . . . . . . . . 9
73 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12
7473adantr 451 . . . . . . . . . . 11
75 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12
7675adantl 452 . . . . . . . . . . 11
77 oveq12 5883 . . . . . . . . . . . . 13
7877ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . 12
7978eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
8074, 76, 793anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10
8180cbvopabv 4104 . . . . . . . . 9
8261, 62, 67, 72, 81brab 4303 . . . . . . . 8
8382a1i 10 . . . . . . 7
8456, 60, 833imtr4d 259 . . . . . 6
859breqd 4050 . . . . . 6
869breqd 4050 . . . . . 6
8784, 85, 863imtr4d 259 . . . . 5
88 simprl1 1000 . . . . . . . . 9
89 simprr2 1004 . . . . . . . . 9
906adantr 451 . . . . . . . . . 10 Ibg
917adantr 451 . . . . . . . . . 10
92 simprl2 1001 . . . . . . . . . 10
93 simprl3 1002 . . . . . . . . . 10
94 simprr3 1005 . . . . . . . . . 10
953, 4, 8, 90, 91, 88, 92, 89, 93, 94bsstrs 26249 . . . . . . . . 9
9688, 89, 953jca 1132 . . . . . . . 8
9796ex 423 . . . . . . 7
9881a1i 10 . . . . . . . . . 10
9998breqd 4050 . . . . . . . . 9
100 vex 2804 . . . . . . . . . 10
101 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11
102 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13
103102ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . 12
104103eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
105101, 1043anbi23d 1255 . . . . . . . . . 10
106 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
10761, 100, 67, 105, 106brab 4303 . . . . . . . . 9
10899, 107syl6bb 252 . . . . . . . 8
10960, 108anbi12d 691 . . . . . . 7
11098breqd 4050 . . . . . . . 8
111 eleq1 2356 . . . . . . . . . 10
112 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12
113112ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11
114113eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10
115111, 1143anbi13d 1254 . . . . . . . . 9
116 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
117116ineq1d 3382 . . . . . . . . . . 11
118117eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10
119101, 1183anbi23d 1255 . . . . . . . . 9
12062, 100, 115, 119, 106brab 4303 . . . . . . . 8
121110, 120syl6bb 252 . . . . . . 7
12297, 109, 1213imtr4d 259 . . . . . 6
1239breqd 4050 . . . . . . 7
12485, 123anbi12d 691 . . . . . 6
1259breqd 4050 . . . . . 6
126122, 124, 1253imtr4d 259 . . . . 5
12787, 126jca 518 . . . 4
128127alrimiv 1621 . . 3
129128alrimivv 1622 . 2
130 dfer2 6677 . 2
13111, 40, 129, 130syl3anbrc 1136 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1530  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557   cdif 3162   cin 3164  c0 3468  csn 3653  cop 3656   class class class wbr 4039  copab 4092   cdm 4705   wrel 4710  cfv 5271  (class class class)co 5874   wer 6673  PPointscpoints 26159  PLinescplines 26161  Ibgcibg 26210  cseg 26233  sscsas 26265 This theorem is referenced by:  pdiveql  26271 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-er 6676  df-ig2 26164  df-ibg2 26212  df-seg2 26234  df-sside 26266
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