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Theorem boxriin 7033
Description: A rectangular subset of a rectangular set can be recovered as the relative intersection of single-axis restrictions. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
boxriin  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  X_ x  e.  I  A  =  (
X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, I, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem boxriin
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  z  Fn  I
)
2 ssel 3278 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( z `  x
)  e.  A  -> 
( z `  x
)  e.  B ) )
32ral2imi 2718 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  A  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B
) )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  z  Fn  I )  ->  ( A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B ) )
54impr 603 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )
6 eleq2 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  (
( z `  x
)  e.  A  <->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
7 eleq2 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  (
( z `  x
)  e.  B  <->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
8 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  /\  x  =  y )  ->  ( z `  x )  e.  A
)
9 ssel2 3279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  ->  ( z `  x )  e.  B
)
109adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
z `  x )  e.  B )
116, 7, 8, 10ifbothda 3705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  ->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
1211ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( z `  x
)  e.  A  -> 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1312ral2imi 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  A  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  z  Fn  I )  ->  ( A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1514impr 603 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
161, 15jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1716ralrimivw 2726 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
181, 5, 17jca31 521 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
19 simprll 739 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  -> 
z  Fn  I )
20 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
2120ralimi 2717 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. y  e.  I  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
22 ralcom 2804 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  I  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
23 iftrue 3681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  A ,  B )  =  A )
2423equcoms 1688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( x  =  y ,  A ,  B )  =  A )
2524eleq2d 2447 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <-> 
( z `  x
)  e.  A ) )
2625rspcva 2986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  -> 
( z `  x
)  e.  A )
2726ralimiaa 2716 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A
)
2822, 27sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  I  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A
)
2921, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A )
3029ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A )
3119, 30jca 519 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  -> 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A ) )
3218, 31impbida 806 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A )  <->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) ) )
33 vex 2895 . . . 4  |-  z  e. 
_V
3433elixp 6998 . . 3  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  A 
<->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A ) )
35 elin 3466 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  <->  ( z  e.  X_ x  e.  I  B  /\  z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  A ,  B ) ) )
3633elixp 6998 . . . . 5  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  B 
<->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B ) )
37 eliin 4033 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <->  A. y  e.  I  z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
3833, 37ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
z  e.  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  A ,  B ) )
3933elixp 6998 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4039ralbii 2666 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  I  z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4138, 40bitri 241 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4236, 41anbi12i 679 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X_ x  e.  I  B  /\  z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) )  <->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
4335, 42bitri 241 . . 3  |-  ( z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  <->  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
4432, 34, 433bitr4g 280 . 2  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( z  e.  X_ x  e.  I  A 
<->  z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) ) )
4544eqrdv 2378 1  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  X_ x  e.  I  A  =  (
X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    i^i cin 3255    C_ wss 3256   ifcif 3675   |^|_ciin 4029    Fn wfn 5382   ` cfv 5387   X_cixp 6992
This theorem is referenced by:  ptcld  17559  kelac1  26823
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-fv 5395  df-ixp 6993
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