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Theorem boxriin 6858
Description: A rectangular subset of a rectangular set can be recovered as the relative intersection of single-axis restrictions. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
boxriin  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  X_ x  e.  I  A  =  (
X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, B    x, I, y
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem boxriin
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  z  Fn  I
)
2 ssel 3174 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( z `  x
)  e.  A  -> 
( z `  x
)  e.  B ) )
32ral2imi 2619 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  A  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B
) )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  z  Fn  I )  ->  ( A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B ) )
54impr 602 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )
6 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  (
( z `  x
)  e.  A  <->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
7 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  (
( z `  x
)  e.  B  <->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
8 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  /\  x  =  y )  ->  ( z `  x )  e.  A
)
9 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  ->  ( z `  x )  e.  B
)
109adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
z `  x )  e.  B )
116, 7, 8, 10ifbothda 3595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  B  /\  ( z `  x
)  e.  A )  ->  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
1211ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( z `  x
)  e.  A  -> 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1312ral2imi 2619 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  A  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1413adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  z  Fn  I )  ->  ( A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1514impr 602 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
161, 15jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
1716ralrimivw 2627 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
181, 5, 17jca31 520 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A ) )  ->  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
19 simprll 738 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  -> 
z  Fn  I )
20 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
2120ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. y  e.  I  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
22 ralcom 2700 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  I  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <->  A. x  e.  I  A. y  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )
23 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  A ,  B )  =  A )
2423equcoms 1651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  if ( x  =  y ,  A ,  B )  =  A )
2524eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <-> 
( z `  x
)  e.  A ) )
2625rspcva 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  I  /\  A. y  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  -> 
( z `  x
)  e.  A )
2726ralimiaa 2617 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A
)
2822, 27sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  I  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B )  ->  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A
)
2921, 28syl 15 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A )
3029ad2antll 709 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  ->  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A )
3119, 30jca 518 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  I  A  C_  B  /\  (
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )  -> 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A ) )
3218, 31impbida 805 . . 3  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  A )  <->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) ) )
33 vex 2791 . . . 4  |-  z  e. 
_V
3433elixp 6823 . . 3  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  A 
<->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  A ) )
35 elin 3358 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  <->  ( z  e.  X_ x  e.  I  B  /\  z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  A ,  B ) ) )
3633elixp 6823 . . . . 5  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  B 
<->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  B ) )
37 eliin 3910 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B )  <->  A. y  e.  I  z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
3833, 37ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
z  e.  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  A ,  B ) )
3933elixp 6823 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4039ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  I  z  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4138, 40bitri 240 . . . . 5  |-  ( z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
)  <->  A. y  e.  I 
( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I 
( z `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) )
4236, 41anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X_ x  e.  I  B  /\  z  e.  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) )  <->  ( (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
4335, 42bitri 240 . . 3  |-  ( z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B ) )  <->  ( ( z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  (
z `  x )  e.  B )  /\  A. y  e.  I  (
z  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( z `  x )  e.  if ( x  =  y ,  A ,  B ) ) ) )
4432, 34, 433bitr4g 279 . 2  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  ( z  e.  X_ x  e.  I  A 
<->  z  e.  ( X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) ) )
4544eqrdv 2281 1  |-  ( A. x  e.  I  A  C_  B  ->  X_ x  e.  I  A  =  (
X_ x  e.  I  B  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  A ,  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ifcif 3565   |^|_ciin 3906    Fn wfn 5250   ` cfv 5255   X_cixp 6817
This theorem is referenced by:  ptcld  17307  kelac1  27161
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ixp 6818
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