Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpoly0 Unicode version

Theorem bpoly0 25803
Description: The value of the Bernoulli polynomials at zero. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly0  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )

Proof of Theorem bpoly0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10161 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 bpolyval 25802 . . 3  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 0  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 652 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 exp0 11306 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 0 )  =  1 )
54oveq1d 6028 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
6 risefall0lem 25103 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... ( 0  -  1 ) )  =  (/)
76sumeq1i 12412 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  (/)  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )
8 sum0 12435 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  0
97, 8eqtri 2400 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) )  =  0
109oveq2i 6024 . . . 4  |-  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  -  0 )
11 ax-1cn 8974 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1211subid1i 9297 . . . 4  |-  ( 1  -  0 )  =  1
1310, 12eqtri 2400 . . 3  |-  ( 1  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  1
145, 13syl6eq 2428 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 0 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  -  1 ) ) ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 0  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  1 )
153, 14eqtrd 2412 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3564  (class class class)co 6013   CCcc 8914   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    - cmin 9216    / cdiv 9602   NN0cn0 10146   ...cfz 10968   ^cexp 11302    _C cbc 11513   sum_csu 12399   BernPoly cbp 25799
This theorem is referenced by:  bpoly1  25804  bpolydiflem  25807  bpoly2  25810  bpoly3  25811  bpoly4  25812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-exp 11303  df-hash 11539  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-clim 12202  df-sum 12400  df-pred 25185  df-bpoly 25800
  Copyright terms: Public domain W3C validator