Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpoly1 Structured version   Unicode version

Theorem bpoly1 26097
 Description: The value of the Bernoulli polynomials at one. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpoly1 BernPoly

Proof of Theorem bpoly1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 10237 . . 3
2 bpolyval 26095 . . 3 BernPoly BernPoly
31, 2mpan 652 . 2 BernPoly BernPoly
4 exp1 11387 . . 3
5 1m1e0 10068 . . . . . 6
65oveq2i 6092 . . . . 5
76sumeq1i 12492 . . . 4 BernPoly BernPoly
8 0z 10293 . . . . . 6
9 bpoly0 26096 . . . . . . . . . 10 BernPoly
109oveq1d 6096 . . . . . . . . 9 BernPoly
1110oveq2d 6097 . . . . . . . 8 BernPoly
12 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . 10
13 halfcl 10193 . . . . . . . . . 10
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . 9
1514mulid2i 9093 . . . . . . . 8
1611, 15syl6eq 2484 . . . . . . 7 BernPoly
1716, 14syl6eqel 2524 . . . . . 6 BernPoly
18 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
19 bcn0 11601 . . . . . . . . . 10
201, 19ax-mp 8 . . . . . . . . 9
2118, 20syl6eq 2484 . . . . . . . 8
22 oveq1 6088 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
23 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12
2412subid1i 9372 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11
2625oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10
27 df-2 10058 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl6eqr 2486 . . . . . . . . 9
2922, 28oveq12d 6099 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
3021, 29oveq12d 6099 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly
3130fsum1 12535 . . . . . 6 BernPoly BernPoly BernPoly
328, 17, 31sylancr 645 . . . . 5 BernPoly BernPoly
3332, 16eqtrd 2468 . . . 4 BernPoly
347, 33syl5eq 2480 . . 3 BernPoly
354, 34oveq12d 6099 . 2 BernPoly
363, 35eqtrd 2468 1 BernPoly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   caddc 8993   cmul 8995   cmin 9291   cdiv 9677  c2 10049  cn0 10221  cz 10282  cfz 11043  cexp 11382   cbc 11593  csu 12479   BernPoly cbp 26092 This theorem is referenced by:  bpoly2  26103  bpoly3  26104  bpoly4  26105 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-pred 25439  df-wrecs 25531  df-bpoly 26093
 Copyright terms: Public domain W3C validator