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Theorem bpoly3 26104
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 10239 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 bpolyval 26095 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 652 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 3m1e2 10096 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
5 df-2 10058 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
64, 5eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
76oveq2i 6092 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
1  +  1 ) )
87sumeq1i 12492 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
9 1nn0 10237 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
10 nn0uz 10520 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10eleqtri 2508 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
13 0z 10293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
14 fzpr 11101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
1513, 14ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
16 0p1e1 10093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1716oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
1816preq2i 3887 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
1915, 17, 183eqtr3ri 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
205sneqi 3826 . . . . . . . . . . 11  |-  { 2 }  =  { ( 1  +  1 ) }
2119, 20uneq12i 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  { ( 1  +  1 ) } )
22 df-tp 3822 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )
23 fzsuc 11096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } ) )
2411, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } )
2521, 22, 243eqtr4ri 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
2625eleq2i 2500 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
27 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
2827eltp 3853 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  <-> 
( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
2926, 28bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
30 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  0 ) )
31 bcn0 11601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  0 )  =  1 )
321, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  0 )  =  1
3330, 32syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  1 )
34 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
35 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  0 ) )
3635oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  0 )  +  1 ) )
37 3cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
3837subid1i 9372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  0 )  =  3
3938oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  ( 3  +  1 )
40 df-4 10060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4139, 40eqtr4i 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  4
4236, 41syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  4 )
4334, 42oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  4 ) )
4433, 43oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
45 bpoly0 26096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
4645oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 )  =  ( 1  /  4
) )
4746oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  4 ) ) )
48 4cn 10074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
49 4re 10073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  RR
50 4pos 10086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  4
5149, 50gt0ne0ii 9563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5248, 51reccli 9744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
5352mulid2i 9093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
5447, 53syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  /  4 ) )
5544, 54sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
5655, 52syl6eqel 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
57 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  1 ) )
58 bcn1 11604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  1 )  =  3 )
591, 58ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  1 )  =  3
6057, 59syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
61 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 1 BernPoly  X ) )
62 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  1 ) )
6362oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  1 )  +  1 ) )
64 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
65 npcan 9314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3 )
6637, 64, 65mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3
6763, 66syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  3 )
6861, 67oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1 BernPoly  X
)  /  3 ) )
6960, 68oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
70 bpoly1 26097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1 BernPoly  X )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
7170oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1 BernPoly  X )  /  3 )  =  ( ( X  -  ( 1  /  2
) )  /  3
) )
7271oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( 3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) ) )
73 halfcl 10193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
7464, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
75 subcl 9305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
7674, 75mpan2 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
77 3ne0 10085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
78 divcan2 9686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
7937, 77, 78mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
8076, 79syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
8172, 80eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
8269, 81sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )
8376adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
8482, 83eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
85 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  2 ) )
86 bcn2 11610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
) )
871, 86ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
)
884oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  =  ( 3  x.  2 )
8988oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( 3  x.  2 )  /  2
)
90 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
91 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9237, 90, 91divcan4i 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  2 )  /  2 )  =  3
9389, 92eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  3
9487, 93eqtri 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  2 )  =  3
9585, 94syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
96 oveq1 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 2 BernPoly  X ) )
97 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  2  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  2 ) )
9897oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  2 )  +  1 ) )
99 2p1e3 10103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
10037, 90, 64, 99subaddrii 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  2 )  =  1
101100oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  ( 1  +  1 )
102101, 5eqtr4i 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  2
10398, 102syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  2 )
10496, 103oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X
)  /  2 ) )
10595, 104oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
106 2nn0 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
107 bpolycl 26098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC )
108106, 107mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  e.  CC )
10990, 91pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
110 div12 9700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
11137, 109, 110mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  ->  ( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
112108, 111syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
11337, 90, 91divcli 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
114 mulcom 9076 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  (
3  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 2 BernPoly  X
)  x.  ( 3  /  2 ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
115108, 113, 114sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  /  2
) )  =  ( ( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
116 bpoly2 26103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) )
117116oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
118 sqcl 11444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
119 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  X  e.  CC )
120 6re 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  RR
121120recni 9102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  CC
122 6pos 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  6
123120, 122gt0ne0ii 9563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  =/=  0
124121, 123reccli 9744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
125 subsub 9331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
126124, 125mp3an3 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
127118, 119, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6
) ) )
128127oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
129 subcl 9305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  6
) )  e.  CC )
130124, 129mpan2 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
131 subdi 9467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
132113, 131mp3an1 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
133118, 130, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
134117, 128, 1333eqtr2d 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) )
135112, 115, 1343eqtrd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
136105, 135sylan9eqr 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
137 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
138113, 118, 137sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
139 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) )  e.  CC )
140113, 130, 139sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  e.  CC )
141138, 140subcld 9411 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
142141adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
143136, 142eqeltrd 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
14456, 84, 1433jaodan 1250 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
14529, 144sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
1465eqeq2i 2446 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  <->  k  =  ( 1  +  1 ) )
147146, 105sylbir 205 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
14812, 145, 147fsump1 12540 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) ) )
149135oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) ) )
15017sumeq1i 12492 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
151 0nn0 10236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
152151, 10eleqtri 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
153152a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15415, 18eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 }
155154eleq2i 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 } )
15627elpr 3832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
157155, 156bitri 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
15856, 84jaodan 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
159157, 158sylan2b 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
16016eqeq2i 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  <->  k  = 
1 )
161160, 69sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
162153, 159, 161fsump1 12540 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) ) )
16354, 52syl6eqel 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  e.  CC )
16444fsum1 12535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
16513, 163, 164sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
166165, 54eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
167166, 81oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) ) )
168162, 167eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
169150, 168syl5eqr 2482 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
170169oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
171 addcl 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  e.  CC )
17252, 76, 171sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  e.  CC )
173172, 138, 140addsub12d 9434 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
174170, 173eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
175140, 172negsubdi2d 9427 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
176 subdi 9467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
177113, 124, 176mp3an13 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
178 addsub12 9318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) ) ) )
17952, 74, 178mp3an13 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
180177, 179oveq12d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
181 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
182113, 181mpan 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
183113, 124mulcli 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  e.  CC
184 negsub 9349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC  /\  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  + 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) ) )
185182, 183, 184sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  +  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
186185oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) )  -  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) ) )
18774, 52negsubdi2i 9386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) )
18890, 37, 90mul12i 9261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  (
2  x.  2 ) )
189 3t2e6 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
190189oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  6 )
191 2t2e4 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
192191oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  4 )
193188, 190, 1923eqtr3i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  x.  6 )  =  ( 3  x.  4 )
194193oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )
19548, 51pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
19637, 77pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
197 divcan5 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4 ) )
19864, 195, 196, 197mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4
)
199194, 198eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( 1  /  4
)
20037, 90, 64, 121, 91, 123divmuldivi 9774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
2  x.  6 ) )
20190mulid1i 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
202201, 5eqtri 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
203202, 191oveq12i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  /  4
)
204 divcan5 9716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
20564, 109, 109, 204mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
20664, 64, 48, 51divdiri 9771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
207203, 205, 2063eqtr3ri 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
20874, 52, 52, 207subaddrii 9389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
209199, 200, 2083eqtr4ri 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )
210209negeqi 9299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
211187, 210eqtr3i 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
21252, 74subcli 9376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
213183negcli 9368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC
214212, 213subeq0i 9380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) )  -  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  0  <->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
215211, 214mpbir 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  0
216215oveq2i 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  -  ( ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  -  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X )  -  0 )
217212a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
218213a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
219182, 119, 217, 218subadd4d 9459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  +  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
220 subdir 9468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
221113, 64, 220mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
222 divsubdir 9710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  2 )  / 
2 )  =  ( ( 3  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
22337, 90, 109, 222mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  (
2  /  2 ) )
224100oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
22590, 91dividi 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  /  2 )  =  1
226225oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  1 )
227223, 224, 2263eqtr3ri 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  /  2 )  -  1 )  =  ( 1  /  2
)
228227oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 3  /  2
)  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
230 mulid2 9089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  X )  =  X )
231230oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X ) )
232221, 229, 2313eqtr3rd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
233232oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  X )  - 
0 ) )
234 mulcl 9074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
23574, 234mpan 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
236235subid1d 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
237233, 236eqtrd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
238216, 219, 2373eqtr3a 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
239180, 186, 2383eqtr2d 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
240239negeqd 9300 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
241175, 240eqtr3d 2470 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
242241oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
243138, 235negsubd 9417 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 1  /  2
)  x.  X ) ) )
244174, 242, 2433eqtrd 2472 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
245148, 149, 2443eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
2468, 245syl5eq 2480 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
247246oveq2d 6097 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) ) )
248 expcl 11399 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
2491, 248mpan2 653 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
250249, 138, 235subsubd 9439 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
2513, 247, 2503eqtrd 2472 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    u. cun 3318   {csn 3814   {cpr 3815   {ctp 3816   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   6c6 10053   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   ^cexp 11382    _C cbc 11593   sum_csu 12479   BernPoly cbp 26092
This theorem is referenced by:  bpoly4  26105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-pred 25439  df-wrecs 25531  df-bpoly 26093
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