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Theorem bpoly3 24793
Description: The Bernoulli polynomials at three. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
bpoly3  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )

Proof of Theorem bpoly3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3nn0 9983 . . 3  |-  3  e.  NN0
2 bpolyval 24784 . . 3  |-  ( ( 3  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( 3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
31, 2mpan 651 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
4 df-3 9805 . . . . . . . . 9  |-  3  =  ( 2  +  1 )
54oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( 3  -  1 )  =  ( ( 2  +  1 )  -  1 )
6 2cn 9816 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
7 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8 pncan 9057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2 )
96, 7, 8mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  +  1 )  -  1 )  =  2
105, 9eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( 3  -  1 )  =  2
11 df-2 9804 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1210, 11eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( 3  -  1 )  =  ( 1  +  1 )
1312oveq2i 5869 . . . . 5  |-  ( 0 ... ( 3  -  1 ) )  =  ( 0 ... (
1  +  1 ) )
1413sumeq1i 12171 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
15 1nn0 9981 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
16 nn0uz 10262 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1715, 16eleqtri 2355 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
1817a1i 10 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
19 0z 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
20 fzpr 10840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) } )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }
227addid2i 9000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2322oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  ( 0 ... 1
)
2422preq2i 3710 . . . . . . . . . . . 12  |-  { 0 ,  ( 0  +  1 ) }  =  { 0 ,  1 }
2521, 23, 243eqtr3ri 2312 . . . . . . . . . . 11  |-  { 0 ,  1 }  =  ( 0 ... 1
)
2611sneqi 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  { 2 }  =  { ( 1  +  1 ) }
2725, 26uneq12i 3327 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  { ( 1  +  1 ) } )
28 df-tp 3648 . . . . . . . . . 10  |-  { 0 ,  1 ,  2 }  =  ( { 0 ,  1 }  u.  { 2 } )
29 fzsuc 10835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } ) )
3017, 29ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 0 ... 1 )  u.  {
( 1  +  1 ) } )
3127, 28, 303eqtr4ri 2314 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 ,  2 }
3231eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 ,  2 } )
33 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  k  e. 
_V
3433eltp 3678 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 ,  2 }  <-> 
( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
3532, 34bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )
36 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  0 ) )
37 bcn0 11323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  0 )  =  1 )
381, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  0 )  =  1
3936, 38syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
3  _C  k )  =  1 )
40 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
41 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  0  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  0 ) )
4241oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  0 )  +  1 ) )
43 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
4443subid1i 9118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  0 )  =  3
4544oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  ( 3  +  1 )
46 df-4 9806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  =  ( 3  +  1 )
4745, 46eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  0 )  +  1 )  =  4
4842, 47syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  4 )
4940, 48oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  4 ) )
5039, 49oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
51 bpoly0 24785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
5251oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 )  =  ( 1  /  4
) )
5352oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  4 ) ) )
54 4re 9819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  4  e.  RR
5554recni 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  e.  CC
56 4pos 9832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  4
5754, 56gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  =/=  0
5855, 57reccli 9490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  4 )  e.  CC
5958mulid2i 8840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
6053, 59syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  =  ( 1  /  4 ) )
6150, 60sylan9eqr 2337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
6261, 58syl6eqel 2371 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  0 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
63 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  1 ) )
64 bcn1 11325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  1 )  =  3 )
651, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  1 )  =  3
6663, 65syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
67 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 1 BernPoly  X ) )
68 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  1 ) )
6968oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  1 )  +  1 ) )
70 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3 )
7143, 7, 70mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  1 )  +  1 )  =  3
7269, 71syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  3 )
7367, 72oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1 BernPoly  X
)  /  3 ) )
7466, 73oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  1  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
75 bpoly1 24786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1 BernPoly  X )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
7675oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1 BernPoly  X )  /  3 )  =  ( ( X  -  ( 1  /  2
) )  /  3
) )
7776oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( 3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) ) )
78 halfcl 9937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
797, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
80 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
8179, 80mpan2 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
82 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
83 divcan2 9432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
8443, 82, 83mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
8581, 84syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( X  -  ( 1  /  2 ) )  /  3 ) )  =  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )
8677, 85eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) )  =  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )
8774, 86sylan9eqr 2337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )
8881adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( X  -  ( 1  /  2
) )  e.  CC )
8987, 88eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  1 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
90 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  ( 3  _C  2 ) )
91 bcn2 11331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
) )
921, 91ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  _C  2 )  =  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2
)
9310oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  =  ( 3  x.  2 )
9493oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  ( ( 3  x.  2 )  /  2
)
95 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9643, 6, 95divcan4i 9507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  x.  2 )  /  2 )  =  3
9794, 96eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  x.  ( 3  -  1 ) )  /  2 )  =  3
9892, 97eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  _C  2 )  =  3
9990, 98syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
3  _C  k )  =  3 )
100 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 2 BernPoly  X ) )
101 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  2  ->  (
3  -  k )  =  ( 3  -  2 ) )
102101oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  ( ( 3  -  2 )  +  1 ) )
103 2p1e3 9847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
10443, 6, 7, 103subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  -  2 )  =  1
105104oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  ( 1  +  1 )
106105, 11eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  -  2 )  +  1 )  =  2
107102, 106syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  -  k
)  +  1 )  =  2 )
108100, 107oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X
)  /  2 ) )
10999, 108oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
110 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
111 bpolycl 24787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC )
112110, 111mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  e.  CC )
1136, 95pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
114 div12 9446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
11543, 113, 114mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  ->  ( 3  x.  (
( 2 BernPoly  X )  /  2 ) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  (
3  /  2 ) ) )
116112, 115syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  / 
2 ) ) )
11743, 6, 95divcli 9502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  2 )  e.  CC
118 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 BernPoly  X )  e.  CC  /\  (
3  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 2 BernPoly  X
)  x.  ( 3  /  2 ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
119112, 117, 118sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 2 BernPoly  X )  x.  ( 3  /  2
) )  =  ( ( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) ) )
120 bpoly2 24792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
2 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) )
121120oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
( ( X ^
2 )  -  X
)  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
122 sqcl 11166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
123 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  X  e.  CC )
124 6re 9822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  6  e.  RR
125124recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  e.  CC
126 6pos 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  6
127124, 126gt0ne0ii 9309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  6  =/=  0
128125, 127reccli 9490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  /  6 )  e.  CC
129 subsub 9077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
130128, 129mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  / 
6 ) ) )
131122, 123, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6
) ) )
132131oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( ( X ^ 2 )  -  X )  +  ( 1  /  6 ) ) ) )
133 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( 1  /  6
)  e.  CC )  ->  ( X  -  ( 1  /  6
) )  e.  CC )
134128, 133mpan2 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
135 subdi 9213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  (
( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
136117, 135mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X ^ 2 )  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( ( X ^
2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
137122, 134, 136syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( ( X ^ 2 )  -  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
138121, 132, 1373eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( 2 BernPoly  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) )
139116, 119, 1383eqtrd 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
140109, 139sylan9eqr 2337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )
141 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
142117, 122, 141sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC )
143 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) )  e.  CC )
144117, 134, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  e.  CC )
145 subcl 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) )  e.  CC )
146142, 144, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
147146adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) )  e.  CC )
148140, 147eqeltrd 2357 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  =  2 )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
14962, 89, 1483jaodan 1248 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1  \/  k  =  2 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
15035, 149sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 1  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
15111eqeq2i 2293 . . . . . . 7  |-  ( k  =  2  <->  k  =  ( 1  +  1 ) )
152151, 109sylbir 204 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( 1  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )
15318, 150, 152fsump1 12219 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) ) )
154139oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 2 BernPoly  X )  /  2
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) ) )
15523sumeq1i 12171 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )
156 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
157156, 16eleqtri 2355 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
158157a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  0  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15921, 24eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  =  { 0 ,  1 }
160159eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  k  e.  { 0 ,  1 } )
16133elpr 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { 0 ,  1 }  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
162160, 161bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) )  <->  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )
16362, 89jaodan 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( k  =  0  \/  k  =  1 ) )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
164162, 163sylan2b 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  k  e.  ( 0 ... ( 0  +  1 ) ) )  ->  ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
16522eqeq2i 2293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  <->  k  = 
1 )
166165, 74sylbi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( 0  +  1 )  ->  (
( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )
167158, 164, 166fsump1 12219 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) ) )
16860, 58syl6eqel 2371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) )  e.  CC )
16950fsum1 12214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  4 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
17019, 168, 169sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  4
) ) )
171170, 60eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 0
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  4 ) )
172171, 86oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 0 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( 1 BernPoly  X )  /  3
) ) )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) ) )
173167, 172eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
0  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
174155, 173syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 1
) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )
175174oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  +  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
176 addcl 8819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  ( X  -  (
1  /  2 ) )  e.  CC )  ->  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  e.  CC )
17758, 81, 176sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  e.  CC )
178 addsub12 9064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
179177, 142, 144, 178syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  +  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
180175, 179eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  (
1  /  2 ) ) )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) ) ) ) )
181 negsubdi2 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  e.  CC )  ->  -u ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6
) ) )  -  ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) ) )
182144, 177, 181syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )
183 subdi 9213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  6 )  e.  CC )  -> 
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
184117, 128, 183mp3an13 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  ( X  -  ( 1  / 
6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )
185 addsub12 9064 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  4
)  e.  CC  /\  X  e.  CC  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) ) ) )
18658, 79, 185mp3an13 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  +  ( X  -  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) )
187184, 186oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
188 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
189117, 188mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 3  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
190117, 128mulcli 8842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  e.  CC
191 negsub 9095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC  /\  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  + 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) ) )
192189, 190, 191sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  +  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )
193192oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) ) )  -  ( X  +  ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) ) ) ) )
19458, 79subcli 9122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC
195194a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  e.  CC )
196190negcli 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC
197196a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC )
198 subadd4 9091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  e.  CC  /\  X  e.  CC )  /\  ( ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  e.  CC  /\  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) )  e.  CC ) )  ->  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  -  X )  -  ( ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) )  -  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) ) )
199189, 123, 195, 197, 198syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2
)  x.  X )  +  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  -  ( X  +  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
20079, 58negsubdi2i 9132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  /  2
) )
2016, 43, 6mul12i 9007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  (
2  x.  2 ) )
202 3t2e6 9872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
203202oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 2  x.  6 )
204 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
205204oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 3  x.  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 3  x.  4 )
206201, 203, 2053eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  6 )  =  ( 3  x.  4 )
207206oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )
20855, 57pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )
20943, 82pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
210 divcan5 9462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  x.  1 )  /  (
3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4 ) )
2117, 208, 209, 210mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 3  x.  4 ) )  =  ( 1  /  4
)
212207, 211eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  x.  1 )  /  ( 2  x.  6 ) )  =  ( 1  /  4
)
21343, 6, 7, 125, 95, 127divmuldivi 9520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  / 
6 ) )  =  ( ( 3  x.  1 )  /  (
2  x.  6 ) )
2146mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
215214, 11eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  1 )  =  ( 1  +  1 )
216215, 204oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( ( 1  +  1 )  /  4
)
217 divcan5 9462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  1 )  /  (
2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
2187, 113, 113, 217mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  1 )  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( 1  /  2
)
2197, 7, 55, 57divdiri 9517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  +  1 )  /  4 )  =  ( ( 1  / 
4 )  +  ( 1  /  4 ) )
220216, 218, 2193eqtr3ri 2312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  /  4 )  +  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  2
)
22179, 58, 58, 220subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( 1  /  4
)
222212, 213, 2213eqtr4ri 2314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  2 )  -  ( 1  / 
4 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) )
223222negeqi 9045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u (
( 1  /  2
)  -  ( 1  /  4 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
224200, 223eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) )
225194, 196subeq0i 9126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( 1  / 
4 )  -  (
1  /  2 ) )  -  -u (
( 3  /  2
)  x.  ( 1  /  6 ) ) )  =  0  <->  (
( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )
226224, 225mpbir 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) )  =  0
227226oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  -  ( ( ( 1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) )  -  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X )  -  0 )
228 subdir 9214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 3  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
229117, 7, 228mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  ( 1  x.  X
) ) )
230 divsubdir 9456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( 3  -  2 )  / 
2 )  =  ( ( 3  /  2
)  -  ( 2  /  2 ) ) )
23143, 6, 113, 230mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  (
2  /  2 ) )
232104oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  -  2 )  /  2 )  =  ( 1  /  2
)
2336, 95dividi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  /  2 )  =  1
234233oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  /  2 )  -  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( 3  / 
2 )  -  1 )
235231, 232, 2343eqtr3ri 2312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  /  2 )  -  1 )  =  ( 1  /  2
)
236235oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 3  /  2
)  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)
237236a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  -  1 )  x.  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
238 mulid2 8836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  CC  ->  (
1  x.  X )  =  X )
239238oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  ( 1  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X ) )
240229, 237, 2393eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  X
)  -  X )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
241240oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  X )  - 
0 ) )
242 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  e.  CC )
24379, 242mpan 651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC )
244 subid1 9068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
245243, 244syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
246241, 245eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  0 )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
247227, 246syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  -  X
)  -  ( ( ( 1  /  4
)  -  ( 1  /  2 ) )  -  -u ( ( 3  /  2 )  x.  ( 1  /  6
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
248199, 247eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( ( 3  /  2 )  x.  X )  +  -u ( ( 3  / 
2 )  x.  (
1  /  6 ) ) )  -  ( X  +  ( (
1  /  4 )  -  ( 1  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
249187, 193, 2483eqtr2d 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
250249negeqd 9046 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  CC  ->  -u (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) )  -  ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
251182, 250eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 1  / 
4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2 ) ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6
) ) ) )  =  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )
252251oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  ( ( ( 1  /  4 )  +  ( X  -  ( 1  /  2
) ) )  -  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X  -  ( 1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
253 negsub 9095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC )  -> 
( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) )  =  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
254142, 243, 253syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  +  -u ( ( 1  /  2 )  x.  X ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  (
( 1  /  2
)  x.  X ) ) )
255180, 252, 2543eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... 1 ) ( ( 3  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( 3  -  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X  -  (
1  /  6 ) ) ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^
2 ) )  -  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
256153, 154, 2553eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
1  +  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
25714, 256syl5eq 2327 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
258257oveq2d 5874 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... (
3  -  1 ) ) ( ( 3  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( 3  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) ) )
259 expcl 11121 . . . 4  |-  ( ( X  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( X ^ 3 )  e.  CC )
2601, 259mpan2 652 . . 3  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X ^ 3 )  e.  CC )
261 subsub 9077 . . 3  |-  ( ( ( X ^ 3 )  e.  CC  /\  ( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  e.  CC  /\  (
( 1  /  2
)  x.  X )  e.  CC )  -> 
( ( X ^
3 )  -  (
( ( 3  / 
2 )  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
262260, 142, 243, 261syl3anc 1182 . 2  |-  ( X  e.  CC  ->  (
( X ^ 3 )  -  ( ( ( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) )  -  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )  =  ( ( ( X ^ 3 )  -  ( ( 3  /  2 )  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  / 
2 )  x.  X
) ) )
2633, 258, 2623eqtrd 2319 1  |-  ( X  e.  CC  ->  (
3 BernPoly  X )  =  ( ( ( X ^
3 )  -  (
( 3  /  2
)  x.  ( X ^ 2 ) ) )  +  ( ( 1  /  2 )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    u. cun 3150   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   6c6 9799   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104    _C cbc 11315   sum_csu 12158   BernPoly cbp 24781
This theorem is referenced by:  bpoly4  24794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-pred 24168  df-bpoly 24782
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