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Theorem bpolydiflem 24789
Description: Lemma for bpolydif 24790. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bpolydiflem.2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
bpolydiflem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10018 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 bpolydiflem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 peano2cn 8984 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
53, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
6 bpolyval 24784 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
8 bpolyval 24784 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
107, 9oveq12d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) )
115, 2expcld 11245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  e.  CC )
12 fzfid 11035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
13 elfzelz 10798 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
14 bccl 11334 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
152, 13, 14syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1615nn0cnd 10020 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
17 elfznn0 10822 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 bpolycl 24787 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
1917, 5, 18syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
20 fzssp1 10834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
211nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
23 npcan 9060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2524oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
2620, 25syl5sseq 3226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
2726sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
28 fznn0sub 10824 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
2927, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
30 nn0p1nn 10003 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  k )  +  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  NN )
3231nncnd 9762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
3331nnne0d 9790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
3419, 32, 33divcld 9536 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 8855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
3612, 35fsumcl 12206 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
373, 2expcld 11245 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ N
)  e.  CC )
38 bpolycl 24787 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC )
3917, 3, 38syl2anr 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
4039, 32, 33divcld 9536 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
4116, 40mulcld 8855 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
4212, 41fsumcl 12206 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
4311, 36, 37, 42sub4d 9206 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
44 addcom 8998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
453, 22, 44sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
4645oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( ( 1  +  X ) ^ N ) )
47 binom1p 12289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
483, 2, 47syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
4946, 48eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
50 nn0uz 10262 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
512, 50syl6eleq 2373 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 bccl2 11335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5352adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5453nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  CC )
55 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  NN0 )
56 expcl 11121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( X ^ m
)  e.  CC )
573, 55, 56syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
5854, 57mulcld 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
59 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  N
) )
60 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ N
) )
6159, 60oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )
6251, 58, 61fsumm1 12216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... N ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  N
)  x.  ( X ^ N ) ) ) )
63 bcnn 11324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
642, 63syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  _C  N
)  =  1 )
6564oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ N
) ) )
6637mulid2d 8853 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6765, 66eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6867oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( X ^ N ) ) )
6949, 62, 683eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) ) )
7069oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) )  -  ( X ^ N ) ) )
7126sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N
) )
7271, 58syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7312, 72fsumcl 12206 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7473, 37pncand 9158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( X ^ N ) )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
7570, 74eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
76 nnm1nn0 10005 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
771, 76syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
7877, 50syl6eleq 2373 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
79 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  ( N  -  1 ) ) )
80 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ ( N  -  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
8278, 72, 81fsumm1 12216 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  ( N  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
8322a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8421, 83, 83subsub4d 9188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
85 df-2 9804 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8685oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( N  -  2 )  =  ( N  -  (
1  +  1 ) )
8784, 86syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
8887oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
2 ) ) )
8988sumeq1d 12174 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
90 bcnm1 24096 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  =  N )
912, 90syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  -  1 ) )  =  N )
9291oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  -  1
) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9389, 92oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
9475, 82, 933eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
95 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  0
) )
96 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( 0 BernPoly  ( X  + 
1 ) ) )
97 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( N  -  k )  =  ( N  - 
0 ) )
9897oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )
9996, 98oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
10095, 99oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
10178, 35, 100fsum1p 12218 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1
) )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
102 bpoly0 24785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  1 )  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
1035, 102syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
104103oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
105104oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
106105oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
107101, 106eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
108 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
109108, 98oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
11095, 109oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0
)  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
11178, 41, 110fsum1p 12218 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
112 bpoly0 24785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
1133, 112syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  1 )
114113oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
115114oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
116115oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
117111, 116eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
118107, 117oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
119 0z 10035 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
120 bccl 11334 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
1212, 119, 120sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
122121nn0cnd 10020 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  CC )
12321subid1d 9146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
124123, 1eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  e.  NN )
125124peano2nnd 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
0 )  +  1 )  e.  NN )
126125nnrecred 9791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  RR )
127126recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
128122, 127mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
129 fzfid 11035 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
130 fzp1ss 10837 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
131119, 130ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
132131sseli 3176 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
133132, 35sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
134129, 133fsumcl 12206 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
135132, 41sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
136129, 135fsumcl 12206 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
137128, 134, 136pnpcand 9194 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( ( N  _C  0
)  x.  ( 1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
138 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
139138a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
140119a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1411nnzd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
142 2z 10054 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
143 zsubcl 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
144141, 142, 143sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
145 fzssp1 10834 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
2 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )
14685oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  -  1 )  =  ( ( 1  +  1 )  -  1 )
147 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1 )
14822, 22, 147mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  +  1 )  -  1 )  =  1
149146, 148eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  1
150149oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  -  1 )
151 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
152151a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
15321, 152, 83subsubd 9185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
2  -  1 ) )  =  ( ( N  -  2 )  +  1 ) )
154150, 153syl5reqr 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  1 )  =  ( N  -  1 ) )
155154oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
156145, 155syl5sseq 3226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  C_  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
157156sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
158157, 72syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
159 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
160 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ (
k  -  1 ) ) )
161159, 160oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
162139, 140, 144, 158, 161fsumshft 12242 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
163154oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
164163sumeq1d 12174 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
165162, 164eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
166 0p1e1 9839 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
167166oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
168167eleq2i 2347 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  <->  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
169 fzssp1 10834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
17024oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
171169, 170syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 1 ... N ) )
172171sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
173 bcm1k 11327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
1751adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
176175nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
177 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
178177adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
179178nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
18022a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
181176, 179, 180subsubd 9185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
182181oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k ) )
183182oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( k  -  1 ) )  /  k ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
) ) )
184174, 183eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) ) )
185 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
186185oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
187168, 132sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
188187, 19sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
189187, 39sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
190187, 32sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
191187, 33sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
192188, 189, 190, 191divsubdird 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1933adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  X  e.  CC )
194 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
195178, 194syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
196193, 195expcld 11245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( X ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
197179, 196, 190, 191div23d 9573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
198186, 192, 1973eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
199184, 198oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
200187, 16sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
201188, 190, 191divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
202189, 190, 191divcld 9536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
203200, 201, 202subdid 9235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
204175nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
205195nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
206 bccl 11334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
207204, 205, 206syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
208207nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
209178nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
210190, 179, 209divcld 9536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  e.  CC )
211179, 190, 191divcld 9536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
212211, 196mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
213208, 210, 212mulassd 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
214190, 179, 191, 209divcan6d 9555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
215214oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
216210, 211, 196mulassd 8858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  k
)  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
217196mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
218215, 216, 2173eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
219218oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
220213, 219eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
221199, 203, 2203eqtr3d 2323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
222168, 221sylan2b 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
223222sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
224129, 133, 135fsumsub 12250 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
225165, 223, 2243eqtr2rd 2322 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
226118, 137, 2253eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
22794, 226oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) ) )
228 fzfid 11035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  e.  Fin )
229228, 158fsumcl 12206 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
2303, 77expcld 11245 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
23121, 230mulcld 8855 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
232229, 231pncan2d 9159 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
233227, 232eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
23410, 43, 2333eqtrd 2319 1  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104    _C cbc 11315   sum_csu 12158   BernPoly cbp 24781
This theorem is referenced by:  bpolydif  24790
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-pred 24168  df-bpoly 24782
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