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Theorem bpolydiflem 26004
Description: Lemma for bpolydif 26005. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bpolydiflem.2  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
bpolydiflem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    ph, k    k, X

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
21nnnn0d 10230 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
3 bpolydiflem.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4 peano2cn 9194 . . . . 5  |-  ( X  e.  CC  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  e.  CC )
6 bpolyval 25999 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
72, 5, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
8 bpolyval 25999 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
92, 3, 8syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
107, 9oveq12d 6058 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) )
115, 2expcld 11478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  e.  CC )
12 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
13 elfzelz 11015 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
14 bccl 11568 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
152, 13, 14syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1615nn0cnd 10232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
17 elfznn0 11039 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 bpolycl 26002 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  ( X  +  1
)  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
1917, 5, 18syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
20 fzssp1 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
211nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
23 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2524oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
2620, 25syl5sseq 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 0 ... N ) )
2726sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... N
) )
28 fznn0sub 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
30 nn0p1nn 10215 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  k )  +  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  NN )
3231nncnd 9972 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
3331nnne0d 10000 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
3419, 32, 33divcld 9746 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
3516, 34mulcld 9064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
3612, 35fsumcl 12482 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
373, 2expcld 11478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ^ N
)  e.  CC )
38 bpolycl 26002 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  X )  e.  CC )
3917, 3, 38syl2anr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
4039, 32, 33divcld 9746 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
4116, 40mulcld 9064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
4212, 41fsumcl 12482 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
4311, 36, 37, 42sub4d 9416 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
44 addcom 9208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
453, 22, 44sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  1 )  =  ( 1  +  X ) )
4645oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( ( 1  +  X ) ^ N ) )
47 binom1p 12565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
483, 2, 47syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  X ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
4946, 48eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  sum_ m  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
50 nn0uz 10476 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
512, 50syl6eleq 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
52 bccl2 11569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  NN )
5453nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  m )  e.  CC )
55 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  NN0 )
56 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( X ^ m
)  e.  CC )
573, 55, 56syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
5854, 57mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
59 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  N
) )
60 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ N
) )
6159, 60oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )
6251, 58, 61fsumm1 12492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... N ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  N
)  x.  ( X ^ N ) ) ) )
63 bcnn 11558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  N )  =  1 )
642, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  _C  N
)  =  1 )
6564oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ N
) ) )
6637mulid2d 9062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6765, 66eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N ) )  =  ( X ^ N ) )
6867oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  N )  x.  ( X ^ N
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( X ^ N ) ) )
6949, 62, 683eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  + 
1 ) ^ N
)  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) ) )
7069oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( X ^ N
) )  -  ( X ^ N ) ) )
7126sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N
) )
7271, 58syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7312, 72fsumcl 12482 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
7473, 37pncand 9368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( X ^ N ) )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
7570, 74eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
76 nnm1nn0 10217 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
771, 76syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
7877, 50syl6eleq 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
79 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  ( N  -  1 ) ) )
80 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ ( N  -  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( N  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
8278, 72, 81fsumm1 12492 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( ( N  _C  ( N  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
8322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
8421, 83, 83subsub4d 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  ( 1  +  1 ) ) )
85 df-2 10014 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8685oveq2i 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( N  -  2 )  =  ( N  -  (
1  +  1 ) )
8784, 86syl6eqr 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  -  1 )  =  ( N  -  2 ) )
8887oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  1 )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
2 ) ) )
8988sumeq1d 12450 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( ( N  -  1 )  - 
1 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) ) )
90 bcnm1 25154 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  =  N )
912, 90syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  -  1 ) )  =  N )
9291oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  -  1
) )  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9389, 92oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( ( N  -  1 )  -  1 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( ( N  _C  ( N  - 
1 ) )  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
9475, 82, 933eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
95 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  0
) )
96 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  ( 0 BernPoly  ( X  + 
1 ) ) )
97 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  ( N  -  k )  =  ( N  - 
0 ) )
9897oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )
9996, 98oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
10095, 99oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
10178, 35, 100fsum1p 12494 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1
) )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
102 bpoly0 26000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  +  1 )  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
1035, 102syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  =  1 )
104103oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
105104oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
106105oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
107101, 106eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
108 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k BernPoly  X )  =  ( 0 BernPoly  X ) )
109108, 98oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )
11095, 109oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0
)  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
11178, 41, 110fsum1p 12494 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X )  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
112 bpoly0 26000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  CC  ->  (
0 BernPoly  X )  =  1 )
1133, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 BernPoly  X )  =  1 )
114113oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) )  =  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )
115114oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
( 0 BernPoly  X )  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) ) ) )
116115oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( ( 0 BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
117111, 116eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
118107, 117oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  (
( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
119 0z 10249 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
120 bccl 11568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
1212, 119, 120sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  NN0 )
122121nn0cnd 10232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  _C  0
)  e.  CC )
12321subid1d 9356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  =  N )
124123, 1eqeltrd 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  -  0 )  e.  NN )
125124peano2nnd 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
0 )  +  1 )  e.  NN )
126125nnrecred 10001 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  RR )
127126recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
( N  -  0 )  +  1 ) )  e.  CC )
128122, 127mulcld 9064 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  0 )  x.  (
1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  e.  CC )
129 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
130 fzp1ss 11054 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
131119, 130ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
132131sseli 3304 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
133132, 35sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
134129, 133fsumcl 12482 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
135132, 41sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  e.  CC )
136129, 135fsumcl 12482 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
137128, 134, 136pnpcand 9404 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N  _C  0 )  x.  ( 1  / 
( ( N  - 
0 )  +  1 ) ) )  + 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  -  ( ( ( N  _C  0
)  x.  ( 1  /  ( ( N  -  0 )  +  1 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
138 1z 10267 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
140119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1411nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
142 2z 10268 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
143 zsubcl 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
144141, 142, 143sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  -  2 )  e.  ZZ )
145 fzssp1 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 ... ( N  - 
2 ) )  C_  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )
146 2m1e1 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  -  1 )  =  1
147146oveq2i 6051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( N  -  1 )
148 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
15021, 149, 83subsubd 9395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  (
2  -  1 ) )  =  ( ( N  -  2 )  +  1 ) )
151147, 150syl5reqr 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
2 )  +  1 )  =  ( N  -  1 ) )
152151oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0 ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
153145, 152syl5sseq 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  C_  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
154153sselda 3308 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
155154, 72syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
156 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  m )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
157 oveq2 6048 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  ( X ^ m )  =  ( X ^ (
k  -  1 ) ) )
158156, 157oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
159139, 140, 144, 155, 158fsumshft 12518 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
160151oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... (
( N  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) )
161160sumeq1d 12450 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( ( N  -  2 )  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
162159, 161eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
163 0p1e1 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  +  1 )  =  1
164163oveq1i 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  -  1 ) )
165164eleq2i 2468 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) )  <->  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )
166 fzssp1 11051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( N  - 
1 ) )  C_  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )
16724oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... N ) )
168166, 167syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  C_  ( 1 ... N ) )
169168sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... N
) )
170 bcm1k 11561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k ) ) )
1721adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
173172nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
174 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
175174adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
176175nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
17722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
178173, 176, 177subsubd 9395 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
179178oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  (
k  -  1 ) )  /  k )  =  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k ) )
180179oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( N  -  ( k  -  1 ) )  /  k ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
) ) )
181171, 180eqtrd 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) ) )
182 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X
) )  =  ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
183182oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
184165, 132sylbir 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
185184, 19sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  ( X  +  1 ) )  e.  CC )
186184, 39sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k BernPoly  X )  e.  CC )
187184, 32sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  e.  CC )
188184, 33sylan2 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  -  k
)  +  1 )  =/=  0 )
189185, 186, 187, 188divsubdird 9785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( k BernPoly  X ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1903adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  X  e.  CC )
191 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
192175, 191syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
193190, 192expcld 11478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( X ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
194176, 193, 187, 188div23d 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
195183, 189, 1943eqtr3d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
196181, 195oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) ) )
197184, 16sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
198185, 187, 188divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
199186, 187, 188divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
200197, 198, 199subdid 9445 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  -  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
201172nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
202192nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
203 bccl 11568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
204201, 202, 203syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
205204nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
206175nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  =/=  0 )
207187, 176, 206divcld 9746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  e.  CC )
208176, 187, 188divcld 9746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  e.  CC )
209208, 193mulcld 9064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
210205, 207, 209mulassd 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
( k  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) ) )
211187, 176, 188, 206divcan6d 9765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  1 )
212211oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
213207, 208, 193mulassd 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  / 
k )  x.  (
k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  -  k
)  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
214193mulid2d 9062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
1  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
215212, 213, 2143eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k
)  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( X ^
( k  -  1 ) ) )
216215oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( ( N  -  k )  +  1 )  /  k )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
217210, 216eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( ( N  -  k )  +  1 )  /  k ) )  x.  ( ( k  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  x.  ( X ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( X ^ (
k  -  1 ) ) ) )
218196, 200, 2173eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
219165, 218sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
220219sumeq2dv 12452 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( X ^ ( k  - 
1 ) ) ) )
221129, 133, 135fsumsub 12526 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
222162, 220, 2213eqtr2rd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
223118, 137, 2223eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  ( X  +  1 ) )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )
22494, 223oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^
m ) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) ) )
225 fzfid 11267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  2 ) )  e.  Fin )
226225, 155fsumcl 12482 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0 ... ( N  - 
2 ) ) ( ( N  _C  m
)  x.  ( X ^ m ) )  e.  CC )
2273, 77expcld 11478 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
22821, 227mulcld 9064 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  CC )
229226, 228pncan2d 9369 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) )  +  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 0 ... ( N  -  2 ) ) ( ( N  _C  m )  x.  ( X ^ m
) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
230224, 229eqtrd 2436 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  1 ) ^ N )  -  ( X ^ N ) )  -  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  ( X  + 
1 ) )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  -  1 ) ) ) )
23110, 43, 2303eqtrd 2440 1  |-  ( ph  ->  ( ( N BernPoly  ( X  +  1 ) )  -  ( N BernPoly  X ) )  =  ( N  x.  ( X ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    C_ wss 3280   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   ^cexp 11337    _C cbc 11548   sum_csu 12434   BernPoly cbp 25996
This theorem is referenced by:  bpolydif  26005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-pred 25382  df-bpoly 25997
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