Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpolydiflem Unicode version

Theorem bpolydiflem 25348
 Description: Lemma for bpolydif 25349. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpolydiflem.1
bpolydiflem.2
bpolydiflem.3 BernPoly BernPoly
Assertion
Ref Expression
bpolydiflem BernPoly BernPoly
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem bpolydiflem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpolydiflem.1 . . . . 5
21nnnn0d 10110 . . . 4
3 bpolydiflem.2 . . . . 5
4 peano2cn 9074 . . . . 5
53, 4syl 15 . . . 4
6 bpolyval 25343 . . . 4 BernPoly BernPoly
72, 5, 6syl2anc 642 . . 3 BernPoly BernPoly
8 bpolyval 25343 . . . 4 BernPoly BernPoly
92, 3, 8syl2anc 642 . . 3 BernPoly BernPoly
107, 9oveq12d 5963 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
115, 2expcld 11338 . . 3
12 fzfid 11127 . . . 4
13 elfzelz 10890 . . . . . . 7
14 bccl 11427 . . . . . . 7
152, 13, 14syl2an 463 . . . . . 6
1615nn0cnd 10112 . . . . 5
17 elfznn0 10914 . . . . . . 7
18 bpolycl 25346 . . . . . . 7 BernPoly
1917, 5, 18syl2anr 464 . . . . . 6 BernPoly
20 fzssp1 10926 . . . . . . . . . . 11
211nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . 13
22 ax-1cn 8885 . . . . . . . . . . . . 13
23 npcan 9150 . . . . . . . . . . . . 13
2421, 22, 23sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
2524oveq2d 5961 . . . . . . . . . . 11
2620, 25syl5sseq 3302 . . . . . . . . . 10
2726sselda 3256 . . . . . . . . 9
28 fznn0sub 10916 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 15 . . . . . . . 8
30 nn0p1nn 10095 . . . . . . . 8
3129, 30syl 15 . . . . . . 7
3231nncnd 9852 . . . . . 6
3331nnne0d 9880 . . . . . 6
3419, 32, 33divcld 9626 . . . . 5 BernPoly
3516, 34mulcld 8945 . . . 4 BernPoly
3612, 35fsumcl 12303 . . 3 BernPoly
373, 2expcld 11338 . . 3
38 bpolycl 25346 . . . . . . 7 BernPoly
3917, 3, 38syl2anr 464 . . . . . 6 BernPoly
4039, 32, 33divcld 9626 . . . . 5 BernPoly
4116, 40mulcld 8945 . . . 4 BernPoly
4212, 41fsumcl 12303 . . 3 BernPoly
4311, 36, 37, 42sub4d 9296 . 2 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
44 addcom 9088 . . . . . . . . . . 11
453, 22, 44sylancl 643 . . . . . . . . . 10
4645oveq1d 5960 . . . . . . . . 9
47 binom1p 12386 . . . . . . . . . 10
483, 2, 47syl2anc 642 . . . . . . . . 9
4946, 48eqtrd 2390 . . . . . . . 8
50 nn0uz 10354 . . . . . . . . . 10
512, 50syl6eleq 2448 . . . . . . . . 9
52 bccl2 11428 . . . . . . . . . . . 12
5352adantl 452 . . . . . . . . . . 11
5453nncnd 9852 . . . . . . . . . 10
55 elfznn0 10914 . . . . . . . . . . 11
56 expcl 11214 . . . . . . . . . . 11
573, 55, 56syl2an 463 . . . . . . . . . 10
5854, 57mulcld 8945 . . . . . . . . 9
59 oveq2 5953 . . . . . . . . . 10
60 oveq2 5953 . . . . . . . . . 10
6159, 60oveq12d 5963 . . . . . . . . 9
6251, 58, 61fsumm1 12313 . . . . . . . 8
63 bcnn 11417 . . . . . . . . . . . 12
642, 63syl 15 . . . . . . . . . . 11
6564oveq1d 5960 . . . . . . . . . 10
6637mulid2d 8943 . . . . . . . . . 10
6765, 66eqtrd 2390 . . . . . . . . 9
6867oveq2d 5961 . . . . . . . 8
6949, 62, 683eqtrd 2394 . . . . . . 7
7069oveq1d 5960 . . . . . 6
7126sselda 3256 . . . . . . . . 9
7271, 58syldan 456 . . . . . . . 8
7312, 72fsumcl 12303 . . . . . . 7
7473, 37pncand 9248 . . . . . 6
7570, 74eqtrd 2390 . . . . 5
76 nnm1nn0 10097 . . . . . . . 8
771, 76syl 15 . . . . . . 7
7877, 50syl6eleq 2448 . . . . . 6
79 oveq2 5953 . . . . . . 7
80 oveq2 5953 . . . . . . 7
8179, 80oveq12d 5963 . . . . . 6
8278, 72, 81fsumm1 12313 . . . . 5
8322a1i 10 . . . . . . . . . 10
8421, 83, 83subsub4d 9278 . . . . . . . . 9
85 df-2 9894 . . . . . . . . . 10
8685oveq2i 5956 . . . . . . . . 9
8784, 86syl6eqr 2408 . . . . . . . 8
8887oveq2d 5961 . . . . . . 7
8988sumeq1d 12271 . . . . . 6
90 bcnm1 24502 . . . . . . . 8
912, 90syl 15 . . . . . . 7
9291oveq1d 5960 . . . . . 6
9389, 92oveq12d 5963 . . . . 5
9475, 82, 933eqtrd 2394 . . . 4
95 oveq2 5953 . . . . . . . . 9
96 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10 BernPoly BernPoly
97 oveq2 5953 . . . . . . . . . . 11
9897oveq1d 5960 . . . . . . . . . 10
9996, 98oveq12d 5963 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
10095, 99oveq12d 5963 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
10178, 35, 100fsum1p 12315 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
102 bpoly0 25344 . . . . . . . . . . 11 BernPoly
1035, 102syl 15 . . . . . . . . . 10 BernPoly
104103oveq1d 5960 . . . . . . . . 9 BernPoly
105104oveq2d 5961 . . . . . . . 8 BernPoly
106105oveq1d 5960 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
107101, 106eqtrd 2390 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
108 oveq1 5952 . . . . . . . . . 10 BernPoly BernPoly
109108, 98oveq12d 5963 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
11095, 109oveq12d 5963 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
11178, 41, 110fsum1p 12315 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
112 bpoly0 25344 . . . . . . . . . . 11 BernPoly
1133, 112syl 15 . . . . . . . . . 10 BernPoly
114113oveq1d 5960 . . . . . . . . 9 BernPoly
115114oveq2d 5961 . . . . . . . 8 BernPoly
116115oveq1d 5960 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly BernPoly
117111, 116eqtrd 2390 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
118107, 117oveq12d 5963 . . . . 5 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
119 0z 10127 . . . . . . . . 9
120 bccl 11427 . . . . . . . . 9
1212, 119, 120sylancl 643 . . . . . . . 8
122121nn0cnd 10112 . . . . . . 7
12321subid1d 9236 . . . . . . . . . . 11
124123, 1eqeltrd 2432 . . . . . . . . . 10
125124peano2nnd 9853 . . . . . . . . 9
126125nnrecred 9881 . . . . . . . 8
127126recnd 8951 . . . . . . 7
128122, 127mulcld 8945 . . . . . 6
129 fzfid 11127 . . . . . . 7
130 fzp1ss 10929 . . . . . . . . . 10
131119, 130ax-mp 8 . . . . . . . . 9
132131sseli 3252 . . . . . . . 8
133132, 35sylan2 460 . . . . . . 7 BernPoly
134129, 133fsumcl 12303 . . . . . 6 BernPoly
135132, 41sylan2 460 . . . . . . 7 BernPoly
136129, 135fsumcl 12303 . . . . . 6 BernPoly
137128, 134, 136pnpcand 9284 . . . . 5 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
138 1z 10145 . . . . . . . . 9
139138a1i 10 . . . . . . . 8
140119a1i 10 . . . . . . . 8
1411nnzd 10208 . . . . . . . . 9
142 2z 10146 . . . . . . . . 9
143 zsubcl 10153 . . . . . . . . 9
144141, 142, 143sylancl 643 . . . . . . . 8
145 fzssp1 10926 . . . . . . . . . . 11
14685oveq1i 5955 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 pncan 9147 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14822, 22, 147mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15
149146, 148eqtri 2378 . . . . . . . . . . . . . 14
150149oveq2i 5956 . . . . . . . . . . . . 13
151 2cn 9906 . . . . . . . . . . . . . . 15
152151a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
15321, 152, 83subsubd 9275 . . . . . . . . . . . . 13
154150, 153syl5reqr 2405 . . . . . . . . . . . 12
155154oveq2d 5961 . . . . . . . . . . 11
156145, 155syl5sseq 3302 . . . . . . . . . 10
157156sselda 3256 . . . . . . . . 9
158157, 72syldan 456 . . . . . . . 8
159 oveq2 5953 . . . . . . . . 9
160 oveq2 5953 . . . . . . . . 9
161159, 160oveq12d 5963 . . . . . . . 8
162139, 140, 144, 158, 161fsumshft 12339 . . . . . . 7
163154oveq2d 5961 . . . . . . . 8
164163sumeq1d 12271 . . . . . . 7
165162, 164eqtrd 2390 . . . . . 6
166 0p1e1 9929 . . . . . . . . . 10
167166oveq1i 5955 . . . . . . . . 9
168167eleq2i 2422 . . . . . . . 8
169 fzssp1 10926 . . . . . . . . . . . . . 14
17024oveq2d 5961 . . . . . . . . . . . . . 14
171169, 170syl5sseq 3302 . . . . . . . . . . . . 13
172171sselda 3256 . . . . . . . . . . . 12
173 bcm1k 11420 . . . . . . . . . . . 12
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . . 11
1751adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
176175nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . . 14
177 elfznn 10911 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178177adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
179178nncnd 9852 . . . . . . . . . . . . . 14
18022a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
181176, 179, 180subsubd 9275 . . . . . . . . . . . . 13
182181oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . 12
183182oveq2d 5961 . . . . . . . . . . 11
184174, 183eqtrd 2390 . . . . . . . . . 10
185 bpolydiflem.3 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly BernPoly
186185oveq1d 5960 . . . . . . . . . . 11 BernPoly BernPoly
187168, 132sylbir 204 . . . . . . . . . . . . 13
188187, 19sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly
189187, 39sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12 BernPoly
190187, 32sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12
191187, 33sylan2 460 . . . . . . . . . . . 12
192188, 189, 190, 191divsubdird 9665 . . . . . . . . . . 11 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
1933adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
194 nnm1nn0 10097 . . . . . . . . . . . . . 14
195178, 194syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
196193, 195expcld 11338 . . . . . . . . . . . 12
197179, 196, 190, 191div23d 9663 . . . . . . . . . . 11
198186, 192, 1973eqtr3d 2398 . . . . . . . . . 10 BernPoly BernPoly
199184, 198oveq12d 5963 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly
200187, 16sylan2 460 . . . . . . . . . 10
201188, 190, 191divcld 9626 . . . . . . . . . 10 BernPoly
202189, 190, 191divcld 9626 . . . . . . . . . 10 BernPoly
203200, 201, 202subdid 9325 . . . . . . . . 9 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
204175nnnn0d 10110 . . . . . . . . . . . . 13
205195nn0zd 10207 . . . . . . . . . . . . 13
206 bccl 11427 . . . . . . . . . . . . 13
207204, 205, 206syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
208207nn0cnd 10112 . . . . . . . . . . 11
209178nnne0d 9880 . . . . . . . . . . . 12
210190, 179, 209divcld 9626 . . . . . . . . . . 11
211179, 190, 191divcld 9626 . . . . . . . . . . . 12
212211, 196mulcld 8945 . . . . . . . . . . 11
213208, 210, 212mulassd 8948 . . . . . . . . . 10
214190, 179, 191, 209divcan6d 9645 . . . . . . . . . . . . 13
215214oveq1d 5960 . . . . . . . . . . . 12
216210, 211, 196mulassd 8948 . . . . . . . . . . . 12
217196mulid2d 8943 . . . . . . . . . . . 12
218215, 216, 2173eqtr3d 2398 . . . . . . . . . . 11
219218oveq2d 5961 . . . . . . . . . 10
220213, 219eqtrd 2390 . . . . . . . . 9
221199, 203, 2203eqtr3d 2398 . . . . . . . 8 BernPoly BernPoly
222168, 221sylan2b 461 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly
223222sumeq2dv 12273 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
224129, 133, 135fsumsub 12347 . . . . . 6 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
225165, 223, 2243eqtr2rd 2397 . . . . 5 BernPoly BernPoly
226118, 137, 2253eqtrd 2394 . . . 4 BernPoly BernPoly
22794, 226oveq12d 5963 . . 3 BernPoly BernPoly
228 fzfid 11127 . . . . 5
229228, 158fsumcl 12303 . . . 4
2303, 77expcld 11338 . . . . 5
23121, 230mulcld 8945 . . . 4
232229, 231pncan2d 9249 . . 3
233227, 232eqtrd 2390 . 2 BernPoly BernPoly
23410, 43, 2333eqtrd 2394 1 BernPoly BernPoly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1642   wcel 1710   wne 2521   wss 3228  cfv 5337  (class class class)co 5945  cc 8825  cc0 8827  c1 8828   caddc 8830   cmul 8832   cmin 9127   cdiv 9513  cn 9836  c2 9885  cn0 10057  cz 10116  cuz 10322  cfz 10874  cexp 11197   cbc 11408  csu 12255   BernPoly cbp 25340 This theorem is referenced by:  bpolydif  25349 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-clim 12058  df-sum 12256  df-pred 24726  df-bpoly 25341
 Copyright terms: Public domain W3C validator