Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bpolylem Structured version   Unicode version

Theorem bpolylem 26125
 Description: Lemma for bpolyval 26126. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1
bpoly.2 wrecs
Assertion
Ref Expression
bpolylem BernPoly BernPoly
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6117 . . . . . . . . . . 11
21oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10
32csbeq2dv 3662 . . . . . . . . 9
43mpteq2dv 4321 . . . . . . . 8
5 bpoly.1 . . . . . . . 8
64, 5syl6eqr 2492 . . . . . . 7
7 wrecseq3 25567 . . . . . . 7 wrecs wrecs
86, 7syl 16 . . . . . 6 wrecs wrecs
9 bpoly.2 . . . . . 6 wrecs
108, 9syl6eqr 2492 . . . . 5 wrecs
1110fveq1d 5759 . . . 4 wrecs
12 fveq2 5757 . . . 4
1311, 12sylan9eqr 2496 . . 3 wrecs
14 df-bpoly 26124 . . 3 BernPoly wrecs
15 fvex 5771 . . 3
1613, 14, 15ovmpt2a 6233 . 2 BernPoly
17 ltweuz 11332 . . . . 5
18 nn0uz 10551 . . . . . 6
19 weeq2 4600 . . . . . 6
2018, 19ax-mp 5 . . . . 5
2117, 20mpbir 202 . . . 4
22 nn0ex 10258 . . . . 5
23 exse 4575 . . . . 5 Se
2422, 23ax-mp 5 . . . 4 Se
2521, 24, 9wfr2 25586 . . 3
27 prednn0 25508 . . . . . 6
2827adantr 453 . . . . 5
2928reseq2d 5175 . . . 4
3029fveq2d 5761 . . 3
3121, 24, 9wfr1 25585 . . . . . . 7
32 fnfun 5571 . . . . . . 7
3331, 32ax-mp 5 . . . . . 6
34 ovex 6135 . . . . . 6
35 resfunexg 5986 . . . . . 6
3633, 34, 35mp2an 655 . . . . 5
37 dmeq 5099 . . . . . . . . . . 11
38 elfznn0 11114 . . . . . . . . . . . . . 14
3938ssriv 3338 . . . . . . . . . . . . 13
40 fnssres 5587 . . . . . . . . . . . . 13
4131, 39, 40mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12
42 fndm 5573 . . . . . . . . . . . 12
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
4437, 43syl6eq 2490 . . . . . . . . . 10
45 fveq1 5756 . . . . . . . . . . . . 13
46 fvres 5774 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46sylan9eq 2494 . . . . . . . . . . . 12
4847oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11
4948oveq2d 6126 . . . . . . . . . 10
5044, 49sumeq12rdv 12532 . . . . . . . . 9
5150oveq2d 6126 . . . . . . . 8
5251csbeq2dv 3662 . . . . . . 7
5344fveq2d 5761 . . . . . . . 8
5453csbeq1d 3273 . . . . . . 7
5552, 54eqtrd 2474 . . . . . 6
56 fvex 5771 . . . . . . 7
57 ovex 6135 . . . . . . 7
5856, 57csbexOLD 4368 . . . . . 6
5955, 5, 58fvmpt 5835 . . . . 5
6036, 59ax-mp 5 . . . 4
61 nfcvd 2579 . . . . . . 7
62 oveq2 6118 . . . . . . . 8
63 oveq1 6117 . . . . . . . . . 10
64 oveq1 6117 . . . . . . . . . . . 12
6564oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11
6665oveq2d 6126 . . . . . . . . . 10
6763, 66oveq12d 6128 . . . . . . . . 9
6867sumeq2sdv 12529 . . . . . . . 8
6962, 68oveq12d 6128 . . . . . . 7
7061, 69csbiegf 3290 . . . . . 6
7170adantr 453 . . . . 5
72 nn0z 10335 . . . . . . . . . 10
73 fz01en 11110 . . . . . . . . . 10
7472, 73syl 16 . . . . . . . . 9
75 fzfi 11342 . . . . . . . . . 10
76 fzfi 11342 . . . . . . . . . 10
77 hashen 11662 . . . . . . . . . 10
7875, 76, 77mp2an 655 . . . . . . . . 9
7974, 78sylibr 205 . . . . . . . 8
80 hashfz1 11661 . . . . . . . 8
8179, 80eqtrd 2474 . . . . . . 7
8281adantr 453 . . . . . 6
8382csbeq1d 3273 . . . . 5
84 axia2 2409 . . . . . . . . . 10
85 fveq2 5757 . . . . . . . . . . . 12
8611, 85sylan9eqr 2496 . . . . . . . . . . 11 wrecs
87 fvex 5771 . . . . . . . . . . 11
8886, 14, 87ovmpt2a 6233 . . . . . . . . . 10 BernPoly
8938, 84, 88syl2anr 466 . . . . . . . . 9 BernPoly
9089oveq1d 6125 . . . . . . . 8 BernPoly
9190oveq2d 6126 . . . . . . 7 BernPoly
9291sumeq2dv 12528 . . . . . 6 BernPoly
9392oveq2d 6126 . . . . 5 BernPoly
9471, 83, 933eqtr4d 2484 . . . 4 BernPoly
9560, 94syl5eq 2486 . . 3 BernPoly
9630, 95eqtrd 2474 . 2 BernPoly
9716, 26, 963eqtrd 2478 1 BernPoly BernPoly
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  cvv 2962  csb 3267   wss 3306   class class class wbr 4237   cmpt 4291   Se wse 4568   wwe 4569   cdm 4907   cres 4909   wfun 5477   wfn 5478  cfv 5483  (class class class)co 6110   cen 7135  cfn 7138  cc 9019  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026   clt 9151   cmin 9322   cdiv 9708  cn0 10252  cz 10313  cuz 10519  cfz 11074  cexp 11413   cbc 11624  chash 11649  csu 12510  cpred 25469  wrecscwrecs 25561   BernPoly cbp 26123 This theorem is referenced by:  bpolyval  26126 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-seq 11355  df-hash 11650  df-sum 12511  df-pred 25470  df-wrecs 25562  df-bpoly 26124
 Copyright terms: Public domain W3C validator