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Theorem bpolylem 24783
Description: Lemma for bpolyval 24784. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1  |-  G  =  ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
bpoly.2  |-  F  = 
U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
bpolylem  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, k, n, s, F    e, N, g, k, n    e, X, f, g, k, n, s    e, G, f, s
Allowed substitution hints:    G( g, k, n)    N( f, s)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ n )  =  ( X ^
n ) )
21oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
( x ^ n
)  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g
( ( n  _C  k )  x.  (
( g `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
32csbeq2dv 3106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
43mpteq2dv 4107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
5 bpoly.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
64, 5syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  G )
76fveq1d 5527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
87eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  e
)  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
98ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( A. e  e.  s 
( f `  e
)  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
1093anbi3d 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )  <->  ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
1110exbidv 1612 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
1211abbidv 2397 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } )
1312unieqd 3838 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  U. {
f  |  E. s
( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } )
14 bpoly.2 . . . . . 6  |-  F  = 
U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
1513, 14syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  U. {
f  |  E. s
( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  F )
1615fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m
)  =  ( F `
 m ) )
17 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  ( F `  m )  =  ( F `  N ) )
1816, 17sylan9eqr 2337 . . 3  |-  ( ( m  =  N  /\  x  =  X )  ->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m )  =  ( F `  N ) )
19 df-bpoly 24782 . . 3  |- BernPoly  =  ( m  e.  NN0 ,  x  e.  CC  |->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m
) )
20 fvex 5539 . . 3  |-  ( F `
 N )  e. 
_V
2118, 19, 20ovmpt2a 5978 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( F `  N ) )
22 ltweuz 11024 . . . . 5  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
23 nn0uz 10262 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
24 weeq2 4382 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  < 
We  NN0  <->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) )
2622, 25mpbir 200 . . . 4  |-  <  We  NN0
27 nn0ex 9971 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
28 exse 4357 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  _V  ->  < Se  NN0 )
2927, 28ax-mp 8 . . . 4  |-  < Se  NN0
30 eqid 2283 . . . 4  |-  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
3126, 29, 30, 14wfr2c 24274 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( F `
 N )  =  ( G `  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) ) )
3231adantr 451 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( F `  N
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) ) )
33 prednn0 24202 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Pred (  <  ,  NN0 ,  N
)  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
3433adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  Pred (  <  ,  NN0 ,  N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
3534reseq2d 4955 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N
) )  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3635fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) )  =  ( G `
 ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) ) )
3726, 29, 30, 14wfr1 24272 . . . . . . 7  |-  F  Fn  NN0
38 fnfun 5341 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN0  ->  Fun  F
)
3937, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  F
40 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V
41 resfunexg 5737 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V )  ->  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  e. 
_V )
4239, 40, 41mp2an 653 . . . . 5  |-  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  e.  _V
43 dmeq 4879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  dom  g  =  dom  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
44 elfznn0 10822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
4544ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  NN0
46 fnssres 5357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  NN0 )  -> 
( F  |`  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  Fn  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
4737, 45, 46mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  Fn  (
0 ... ( N  - 
1 ) )
48 fndm 5343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  Fn  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  dom  ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
5043, 49syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  dom  g  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
51 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
g `  k )  =  ( ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) `  k
) )
52 fvres 5542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( F  |`  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
5351, 52sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
g `  k )  =  ( F `  k ) )
5453oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( g `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
5554oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
5650, 55sumeq12rdv 12180 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
5857csbeq2dv 3106 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
5950fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( # `
 dom  g )  =  ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
6059csbeq1d 3087 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
6158, 60eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
62 fvex 5539 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  e.  _V
63 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6462, 63csbex 3092 . . . . . 6  |-  [_ ( # `
 ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6561, 5, 64fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  e.  _V  ->  ( G `  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
6642, 65ax-mp 8 . . . 4  |-  ( G `
 ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
67 nfcvd 2420 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  F/_ n
( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
68 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ N
) )
69 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
n  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
70 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  k )  =  ( N  -  k ) )
7170oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  (
( n  -  k
)  +  1 )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
7271oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
7369, 72oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )
7473sumeq2sdv 12177 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )
7568, 74oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
7667, 75csbiegf 3121 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  [_ N  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
7776adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  [_ N  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
78 nn0z 10046 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
79 fz01en 10818 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )
8078, 79syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )
81 fzfi 11034 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
82 fzfi 11034 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
83 hashen 11346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 0 ... ( N  -  1 ) )  ~~  ( 1 ... N ) ) )
8481, 82, 83mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 0 ... ( N  -  1 ) )  ~~  ( 1 ... N ) )
8580, 84sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... N ) ) )
86 hashfz1 11345 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
8785, 86eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  N )
8887adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  N )
8988csbeq1d 3087 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  [_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ N  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
90 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  X  e.  CC )
91 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9216, 91sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  k  /\  x  =  X )  ->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m )  =  ( F `  k ) )
93 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
9492, 19, 93ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  X )  =  ( F `  k ) )
9544, 90, 94syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k BernPoly  X )  =  ( F `
 k ) )
9695oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  =  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
9796oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( F `
 k )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )
9897sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )
9998oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
10077, 89, 993eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  [_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
10166, 100syl5eq 2327 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
10236, 101eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
10321, 32, 1023eqtrd 2319 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Se wse 4350    We wwe 4351   dom cdm 4689    |` cres 4691   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104    _C cbc 11315   #chash 11337   sum_csu 12158   Predcpred 24167   BernPoly cbp 24781
This theorem is referenced by:  bpolyval  24784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-hash 11338  df-sum 12159  df-pred 24168  df-bpoly 24782
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