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Theorem bpolylem 26006
Description: Lemma for bpolyval 26007. (Contributed by Scott Fenton, 22-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpoly.1  |-  G  =  ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
bpoly.2  |-  F  = 
U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
bpolylem  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    e, f,
g, k, n, s, F    e, N, g, k, n    e, X, f, g, k, n, s    e, G, f, s
Allowed substitution hints:    G( g, k, n)    N( f, s)

Proof of Theorem bpolylem
Dummy variables  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  X  ->  (
x ^ n )  =  ( X ^
n ) )
21oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  X  ->  (
( x ^ n
)  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g
( ( n  _C  k )  x.  (
( g `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
32csbeq2dv 3244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
43mpteq2dv 4264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) )
5 bpoly.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
64, 5syl6eqr 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )  =  G )
76fveq1d 5697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
87eqeq2d 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( f `  e
)  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
98ralbidv 2694 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( A. e  e.  s 
( f `  e
)  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g
)  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( G `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
1093anbi3d 1260 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )  <->  ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
1110exbidv 1633 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
1211abbidv 2526 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } )
1312unieqd 3994 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  U. {
f  |  E. s
( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } )
14 bpoly.2 . . . . . 6  |-  F  = 
U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
1513, 14syl6eqr 2462 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  U. {
f  |  E. s
( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  F )
1615fveq1d 5697 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m
)  =  ( F `
 m ) )
17 fveq2 5695 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  ( F `  m )  =  ( F `  N ) )
1816, 17sylan9eqr 2466 . . 3  |-  ( ( m  =  N  /\  x  =  X )  ->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m )  =  ( F `  N ) )
19 df-bpoly 26005 . . 3  |- BernPoly  =  ( m  e.  NN0 ,  x  e.  CC  |->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m
) )
20 fvex 5709 . . 3  |-  ( F `
 N )  e. 
_V
2118, 19, 20ovmpt2a 6171 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( F `  N ) )
22 ltweuz 11264 . . . . 5  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
23 nn0uz 10484 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
24 weeq2 4539 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  < 
We  NN0  <->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) )
2622, 25mpbir 201 . . . 4  |-  <  We  NN0
27 nn0ex 10191 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
28 exse 4514 . . . . 5  |-  ( NN0 
e.  _V  ->  < Se  NN0 )
2927, 28ax-mp 8 . . . 4  |-  < Se  NN0
30 eqid 2412 . . . 4  |-  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }  =  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( G `  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
3126, 29, 30, 14wfr2c 25496 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( F `
 N )  =  ( G `  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) ) )
3231adantr 452 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( F `  N
)  =  ( G `
 ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) ) )
33 prednn0 25424 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Pred (  <  ,  NN0 ,  N
)  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
3433adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  Pred (  <  ,  NN0 ,  N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
3534reseq2d 5113 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N
) )  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
3635fveq2d 5699 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) )  =  ( G `
 ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) ) )
3726, 29, 30, 14wfr1 25494 . . . . . . 7  |-  F  Fn  NN0
38 fnfun 5509 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN0  ->  Fun  F
)
3937, 38ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  F
40 ovex 6073 . . . . . 6  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V
41 resfunexg 5924 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
_V )  ->  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  e. 
_V )
4239, 40, 41mp2an 654 . . . . 5  |-  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  e.  _V
43 dmeq 5037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  dom  g  =  dom  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
44 elfznn0 11047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
4544ssriv 3320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  C_  NN0
46 fnssres 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  C_  NN0 )  -> 
( F  |`  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  Fn  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
4737, 45, 46mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  Fn  (
0 ... ( N  - 
1 ) )
48 fndm 5511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  Fn  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  dom  ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
4947, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) )
5043, 49syl6eq 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  dom  g  =  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
51 fveq1 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
g `  k )  =  ( ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) `  k
) )
52 fvres 5712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( F  |`  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ) `
 k )  =  ( F `  k
) )
5351, 52sylan9eq 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
g `  k )  =  ( F `  k ) )
5453oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( g `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
5554oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
5650, 55sumeq12rdv 12464 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )
5756oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
5857csbeq2dv 3244 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
5950fveq2d 5699 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( # `
 dom  g )  =  ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) ) )
6059csbeq1d 3225 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
6158, 60eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
62 fvex 5709 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  e.  _V
63 ovex 6073 . . . . . . 7  |-  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6462, 63csbex 3230 . . . . . 6  |-  [_ ( # `
 ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6561, 5, 64fvmpt 5773 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  e.  _V  ->  ( G `  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
6642, 65ax-mp 8 . . . 4  |-  ( G `
 ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
67 nfcvd 2549 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  F/_ n
( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
68 oveq2 6056 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ N
) )
69 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
n  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
70 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  (
n  -  k )  =  ( N  -  k ) )
7170oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  (
( n  -  k
)  +  1 )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
7271oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( F `
 k )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
7369, 72oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  (
( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )
7473sumeq2sdv 12461 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )
7568, 74oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( n  =  N  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
7667, 75csbiegf 3259 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  [_ N  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
7776adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  [_ N  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
78 nn0z 10268 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
79 fz01en 11043 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  ~~  ( 1 ... N
) )
81 fzfi 11274 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  e. 
Fin
82 fzfi 11274 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
83 hashen 11594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 0 ... ( N  -  1 ) )  ~~  ( 1 ... N ) ) )
8481, 82, 83mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  ( # `  (
1 ... N ) )  <-> 
( 0 ... ( N  -  1 ) )  ~~  ( 1 ... N ) )
8580, 84sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  (
# `  ( 1 ... N ) ) )
86 hashfz1 11593 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
8785, 86eqtrd 2444 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  =  N )
8887adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  =  N )
8988csbeq1d 3225 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  [_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ N  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
90 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  X  e.  CC )
91 fveq2 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  ( F `  m )  =  ( F `  k ) )
9216, 91sylan9eqr 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  k  /\  x  =  X )  ->  ( U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( g  e.  _V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( x ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) } `  m )  =  ( F `  k ) )
93 fvex 5709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
9492, 19, 93ovmpt2a 6171 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( k BernPoly  X )  =  ( F `  k ) )
9544, 90, 94syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( k BernPoly  X )  =  ( F `
 k ) )
9695oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( (
k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) )  =  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
9796oveq2d 6064 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( k BernPoly  X
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( F `
 k )  / 
( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )
9897sumeq2dv 12460 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( F `  k
)  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) )
9998oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( F `  k )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
10077, 89, 993eqtr4d 2454 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  [_ ( # `  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  /  n ]_ (
( X ^ n
)  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( F `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
10166, 100syl5eq 2456 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  ( F  |`  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
10236, 101eqtrd 2444 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( G `  ( F  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  N ) ) )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( k BernPoly  X )  /  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
10321, 32, 1023eqtrd 2448 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2398   A.wral 2674   _Vcvv 2924   [_csb 3219    C_ wss 3288   U.cuni 3983   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   Se wse 4507    We wwe 4508   dom cdm 4845    |` cres 4847   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    ~~ cen 7073   Fincfn 7076   CCcc 8952   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    - cmin 9255    / cdiv 9641   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   ^cexp 11345    _C cbc 11556   #chash 11581   sum_csu 12442   Predcpred 25389   BernPoly cbp 26004
This theorem is referenced by:  bpolyval  26007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-seq 11287  df-hash 11582  df-sum 12443  df-pred 25390  df-bpoly 26005
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