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Theorem bpolyval 24856
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, X

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables  e 
f  g  m  n  s  x  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( # `  dom  c )  e. 
_V
2 nfcv 2432 . . . . . 6  |-  F/_ n
( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )
3 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ ( # `
 dom  c )
) )
4 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
n  _C  m )  =  ( ( # `  dom  c )  _C  m ) )
5 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
n  -  m )  =  ( ( # `  dom  c )  -  m ) )
65oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( n  -  m
)  +  1 )  =  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) )
76oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( c `  m
)  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) )  =  ( ( c `
 m )  / 
( ( ( # `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) )
84, 7oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( n  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) )
98sumeq2sdv 12193 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) )
103, 9oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c
( ( ( # `  dom  c )  _C  m )  x.  (
( c `  m
)  /  ( ( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )
111, 2, 10csbief 3135 . . . . 5  |-  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )
12 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  k ) )
13 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
c `  m )  =  ( c `  k ) )
14 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  k ) )
1514oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  -  m
)  +  1 )  =  ( ( n  -  k )  +  1 ) )
1613, 15oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( c `  m
)  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) )  =  ( ( c `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
1712, 16oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1817cbvsumv 12185 . . . . . . . 8  |-  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  c ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )
19 dmeq 4895 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  g  ->  dom  c  =  dom  g )
20 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  g  ->  (
c `  k )  =  ( g `  k ) )
2120oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  g  ->  (
( c `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
2221oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  g  ->  (
( n  _C  k
)  x.  ( ( c `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2322adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  g  /\  k  e.  dom  c )  ->  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )
2419, 23sumeq12dv 12195 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  g  ->  sum_ k  e.  dom  c ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2518, 24syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( c  =  g  ->  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2625oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g
( ( n  _C  k )  x.  (
( g `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
2726csbeq2dv 3119 . . . . 5  |-  ( c  =  g  ->  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
2811, 27syl5eqr 2342 . . . 4  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
2919fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( c  =  g  ->  ( # `
 dom  c )  =  ( # `  dom  g ) )
3029csbeq1d 3100 . . . 4  |-  ( c  =  g  ->  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
3128, 30eqtrd 2328 . . 3  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
3231cbvmptv 4127 . 2  |-  ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( g  e. 
_V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
33 fneq2 5350 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
a  Fn  x  <->  a  Fn  s ) )
34 sseq1 3212 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  (
x  C_  NN0  <->  s  C_  NN0 ) )
35 predeq3 24242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  =  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) )
3635sseq1d 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  ( Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  C_  x  <->  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x
) )
3736cbvralv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x  <->  A. e  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  x
)
38 sseq2 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  ( Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x  <->  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  s
) )
3938raleqbi1dv 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  ( A. e  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x  <->  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
) )
4037, 39syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  ( A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  C_  x  <->  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
) )
4134, 40anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  <->  ( s  C_  NN0 
/\  A. e  e.  s 
Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  s ) ) )
42 raleq 2749 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  ( A. b  e.  x  ( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. b  e.  s  ( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) )
4333, 41, 423anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( x  =  s  ->  (
( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  ( a  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) ) )
4443cbvexv 1956 . . . . 5  |-  ( E. x ( a  Fn  x  /\  ( x 
C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) 
C_  x )  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( a  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) )
45 fneq1 5349 . . . . . . 7  |-  ( a  =  f  ->  (
a  Fn  s  <->  f  Fn  s ) )
46 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
a `  b )  =  ( a `  e ) )
4735reseq2d 4971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) )  =  ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )
4847fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
4946, 48eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  e  ->  (
( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  ( a `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5049cbvralv 2777 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  s  (
a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. e  e.  s 
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
51 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  (
a `  e )  =  ( f `  e ) )
52 reseq1 4965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  f  ->  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) )  =  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )
5352fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  (
( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
5451, 53eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  f  ->  (
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5554ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  f  ->  ( A. e  e.  s 
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5650, 55syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( a  =  f  ->  ( A. b  e.  s 
( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5745, 563anbi13d 1254 . . . . . 6  |-  ( a  =  f  ->  (
( a  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
5857exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( a  =  f  ->  ( E. s ( a  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
5944, 58syl5bb 248 . . . 4  |-  ( a  =  f  ->  ( E. x ( a  Fn  x  /\  ( x 
C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) 
C_  x )  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
6059cbvabv 2415 . . 3  |-  { a  |  E. x ( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) }  =  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
6160unieqi 3853 . 2  |-  U. {
a  |  E. x
( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
6232, 61bpolylem 24855 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094    C_ wss 3165   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   dom cdm 4705    |` cres 4707    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053    / cdiv 9439   NN0cn0 9981   ...cfz 10798   ^cexp 11120    _C cbc 11331   #chash 11353   sum_csu 12174   Predcpred 24238   BernPoly cbp 24853
This theorem is referenced by:  bpoly0  24857  bpoly1  24858  bpolycl  24859  bpolysum  24860  bpolydiflem  24861  bpoly2  24864  bpoly3  24865  bpoly4  24866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-hash 11354  df-sum 12175  df-pred 24239  df-bpoly 24854
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