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Theorem bpolyval 24784
Description: The value of the Bernoulli polynomials. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
bpolyval  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, N    k, X

Proof of Theorem bpolyval
Dummy variables  e 
f  g  m  n  s  x  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( # `  dom  c )  e. 
_V
2 nfcv 2419 . . . . . 6  |-  F/_ n
( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )
3 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  ( X ^ n )  =  ( X ^ ( # `
 dom  c )
) )
4 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
n  _C  m )  =  ( ( # `  dom  c )  _C  m ) )
5 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
n  -  m )  =  ( ( # `  dom  c )  -  m ) )
65oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( n  -  m
)  +  1 )  =  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) )
76oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( c `  m
)  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) )  =  ( ( c `
 m )  / 
( ( ( # `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) )
84, 7oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( n  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  =  ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) )
98sumeq2sdv 12177 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) )
103, 9oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( # `  dom  c )  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c
( ( ( # `  dom  c )  _C  m )  x.  (
( c `  m
)  /  ( ( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )
111, 2, 10csbief 3122 . . . . 5  |-  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )
12 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
n  _C  m )  =  ( n  _C  k ) )
13 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
c `  m )  =  ( c `  k ) )
14 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  k  ->  (
n  -  m )  =  ( n  -  k ) )
1514oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  -  m
)  +  1 )  =  ( ( n  -  k )  +  1 ) )
1613, 15oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  k  ->  (
( c `  m
)  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) )  =  ( ( c `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
1712, 16oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  k  ->  (
( n  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
1817cbvsumv 12169 . . . . . . . 8  |-  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  c ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )
19 dmeq 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  g  ->  dom  c  =  dom  g )
20 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  g  ->  (
c `  k )  =  ( g `  k ) )
2120oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  g  ->  (
( c `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( g `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )
2221oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  g  ->  (
( n  _C  k
)  x.  ( ( c `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2322adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  =  g  /\  k  e.  dom  c )  ->  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) )  =  ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) )
2419, 23sumeq12dv 12179 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  g  ->  sum_ k  e.  dom  c ( ( n  _C  k )  x.  ( ( c `
 k )  / 
( ( n  -  k )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2518, 24syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( c  =  g  ->  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) )  = 
sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )
2625oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ n
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `
 m )  / 
( ( n  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g
( ( n  _C  k )  x.  (
( g `  k
)  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
2726csbeq2dv 3106 . . . . 5  |-  ( c  =  g  ->  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( n  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( n  -  m
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
2811, 27syl5eqr 2329 . . . 4  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
2919fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( c  =  g  ->  ( # `
 dom  c )  =  ( # `  dom  g ) )
3029csbeq1d 3087 . . . 4  |-  ( c  =  g  ->  [_ ( # `
 dom  c )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) )  = 
[_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
3128, 30eqtrd 2315 . . 3  |-  ( c  =  g  ->  (
( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) )  =  [_ ( # `
 dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^ n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k )  x.  ( ( g `  k )  /  (
( n  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
3231cbvmptv 4111 . 2  |-  ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) )  =  ( g  e. 
_V  |->  [_ ( # `  dom  g )  /  n ]_ ( ( X ^
n )  -  sum_ k  e.  dom  g ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( g `  k )  /  ( ( n  -  k )  +  1 ) ) ) ) )
33 fneq2 5334 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
a  Fn  x  <->  a  Fn  s ) )
34 sseq1 3199 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  (
x  C_  NN0  <->  s  C_  NN0 ) )
35 predeq3 24171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  =  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) )
3635sseq1d 3205 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  ( Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  C_  x  <->  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x
) )
3736cbvralv 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x  <->  A. e  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  x
)
38 sseq2 3200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  ( Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x  <->  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  s
) )
3938raleqbi1dv 2744 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  ( A. e  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  x  <->  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
) )
4037, 39syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  ( A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b )  C_  x  <->  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
) )
4134, 40anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  <->  ( s  C_  NN0 
/\  A. e  e.  s 
Pred (  <  ,  NN0 ,  e )  C_  s ) ) )
42 raleq 2736 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  ( A. b  e.  x  ( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. b  e.  s  ( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) )
4333, 41, 423anbi123d 1252 . . . . . 6  |-  ( x  =  s  ->  (
( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  ( a  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) ) )
4443cbvexv 1943 . . . . 5  |-  ( E. x ( a  Fn  x  /\  ( x 
C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) 
C_  x )  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( a  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) )
45 fneq1 5333 . . . . . . 7  |-  ( a  =  f  ->  (
a  Fn  s  <->  f  Fn  s ) )
46 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
a `  b )  =  ( a `  e ) )
4735reseq2d 4955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  e  ->  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) )  =  ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )
4847fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  e  ->  (
( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
4946, 48eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  e  ->  (
( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  ( a `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5049cbvralv 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  s  (
a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. e  e.  s 
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
51 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  (
a `  e )  =  ( f `  e ) )
52 reseq1 4949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  f  ->  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) )  =  ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )
5352fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  f  ->  (
( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) )
5451, 53eqeq12d 2297 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  f  ->  (
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5554ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  f  ->  ( A. e  e.  s 
( a `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5650, 55syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( a  =  f  ->  ( A. b  e.  s 
( a `  b
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) )  <->  A. e  e.  s  ( f `  e
)  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `
 dom  c )
)  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) )
5745, 563anbi13d 1254 . . . . . 6  |-  ( a  =  f  ->  (
( a  Fn  s  /\  ( s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
5857exbidv 1612 . . . . 5  |-  ( a  =  f  ->  ( E. s ( a  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. b  e.  s  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
5944, 58syl5bb 248 . . . 4  |-  ( a  =  f  ->  ( E. x ( a  Fn  x  /\  ( x 
C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) 
C_  x )  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) )  <->  E. s ( f  Fn  s  /\  (
s  C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 , 
e )  C_  s
)  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) ) )
6059cbvabv 2402 . . 3  |-  { a  |  E. x ( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) }  =  { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
6160unieqi 3837 . 2  |-  U. {
a  |  E. x
( a  Fn  x  /\  ( x  C_  NN0  /\  A. b  e.  x  Pred (  <  ,  NN0 , 
b )  C_  x
)  /\  A. b  e.  x  ( a `  b )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^
( # `  dom  c
) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( ( # `  dom  c )  _C  m
)  x.  ( ( c `  m )  /  ( ( (
# `  dom  c )  -  m )  +  1 ) ) ) ) ) `  (
a  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  b ) ) ) ) }  =  U. { f  |  E. s ( f  Fn  s  /\  ( s 
C_  NN0  /\  A. e  e.  s  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) 
C_  s )  /\  A. e  e.  s  ( f `  e )  =  ( ( c  e.  _V  |->  ( ( X ^ ( # `  dom  c ) )  -  sum_ m  e.  dom  c ( ( (
# `  dom  c )  _C  m )  x.  ( ( c `  m )  /  (
( ( # `  dom  c )  -  m
)  +  1 ) ) ) ) ) `
 ( f  |`  Pred (  <  ,  NN0 ,  e ) ) ) ) }
6232, 61bpolylem 24783 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  X  e.  CC )  ->  ( N BernPoly  X )  =  ( ( X ^ N )  -  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( k BernPoly  X )  /  (
( N  -  k
)  +  1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081    C_ wss 3152   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   dom cdm 4689    |` cres 4691    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037    / cdiv 9423   NN0cn0 9965   ...cfz 10782   ^cexp 11104    _C cbc 11315   #chash 11337   sum_csu 12158   Predcpred 24167   BernPoly cbp 24781
This theorem is referenced by:  bpoly0  24785  bpoly1  24786  bpolycl  24787  bpolysum  24788  bpolydiflem  24789  bpoly2  24792  bpoly3  24793  bpoly4  24794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-hash 11338  df-sum 12159  df-pred 24168  df-bpoly 24782
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