MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Unicode version

Theorem bpos1lem 20933
Description: Lemma for bpos1 20934. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ph )
bpos1.2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  P
)  ->  ph )
bpos1.3  |-  P  e. 
Prime
bpos1.4  |-  A  e. 
NN0
bpos1.5  |-  ( A  x.  2 )  =  B
bpos1.6  |-  A  < 
P
bpos1.7  |-  ( P  <  B  \/  P  =  B )
Assertion
Ref Expression
bpos1lem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ph )
Distinct variable groups:    N, p    P, p
Allowed substitution hints:    ph( p)    A( p)    B( p)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6  |-  P  e. 
Prime
2 prmnn 13009 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  P  e.  NN
43nnzi 10237 . . . 4  |-  P  e.  ZZ
5 eluzelz 10428 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  N  e.  ZZ )
6 eluz 10431 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  P )  <->  P  <_  N ) )
74, 5, 6sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  P )  <->  P  <_  N ) )
8 bpos1.2 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  P
)  ->  ph )
97, 8syl6bir 221 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( P  <_  N  ->  ph ) )
103nnrei 9941 . . . . . . . 8  |-  P  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  P  e.  RR )
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  2 )  =  B
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
NN0
1413nn0rei 10164 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  RR
15 2re 10001 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
1614, 15remulcli 9037 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  2 )  e.  RR
1712, 16eqeltrri 2458 . . . . . . . 8  |-  B  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  RR )
19 eluzelre 10429 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  N  e.  RR )
20 remulcl 9008 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
2115, 19, 20sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( P  <  B  \/  P  =  B )
2310, 17leloei 9121 . . . . . . . . 9  |-  ( P  <_  B  <->  ( P  <  B  \/  P  =  B ) )
2422, 23mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  P  <_  B
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  P  <_  B )
2613nn0cni 10165 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  CC
27 2cn 10002 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2826, 27, 12mulcomli 9030 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  A )  =  B
29 eluzle 10430 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  <_  N )
30 2pos 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
3115, 30pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
32 lemul2 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  <_  N 
<->  ( 2  x.  A
)  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3314, 31, 32mp3an13 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( A  <_  N  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  <_  N  <->  ( 2  x.  A )  <_  (
2  x.  N ) ) )
3529, 34mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 2  x.  A )  <_ 
( 2  x.  N
) )
3628, 35syl5eqbrr 4187 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  <_  ( 2  x.  N ) )
3711, 18, 21, 25, 36letrd 9159 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  P  <_  ( 2  x.  N ) )
3837anim2i 553 . . . . 5  |-  ( ( N  <  P  /\  N  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( N  <  P  /\  P  <_  ( 2  x.  N ) ) )
39 breq2 4157 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( N  <  p  <->  N  <  P ) )
40 breq1 4156 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
p  <_  ( 2  x.  N )  <->  P  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4139, 40anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) )  <-> 
( N  <  P  /\  P  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
4241rspcev 2995 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  <  P  /\  P  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
431, 38, 42sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  <  P  /\  N  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
44 bpos1.1 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ph )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( N  <  P  /\  N  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  ph )
4645expcom 425 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( N  <  P  ->  ph ) )
47 lelttric 9113 . . 3  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( P  <_  N  \/  N  <  P ) )
4810, 19, 47sylancr 645 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( P  <_  N  \/  N  < 
P ) )
499, 46, 48mpjaod 371 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   Primecprime 13006
This theorem is referenced by:  bpos1  20934
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-prm 13007
  Copyright terms: Public domain W3C validator