MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bpos1lem Structured version   Unicode version

Theorem bpos1lem 21058
Description: Lemma for bpos1 21059. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos1.1  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ph )
bpos1.2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  P
)  ->  ph )
bpos1.3  |-  P  e. 
Prime
bpos1.4  |-  A  e. 
NN0
bpos1.5  |-  ( A  x.  2 )  =  B
bpos1.6  |-  A  < 
P
bpos1.7  |-  ( P  <  B  \/  P  =  B )
Assertion
Ref Expression
bpos1lem  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ph )
Distinct variable groups:    N, p    P, p
Allowed substitution hints:    ph( p)    A( p)    B( p)

Proof of Theorem bpos1lem
StepHypRef Expression
1 bpos1.3 . . . . . 6  |-  P  e. 
Prime
2 prmnn 13074 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  P  e.  NN
43nnzi 10297 . . . 4  |-  P  e.  ZZ
5 eluzelz 10488 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  N  e.  ZZ )
6 eluz 10491 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  P )  <->  P  <_  N ) )
74, 5, 6sylancr 645 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  P )  <->  P  <_  N ) )
8 bpos1.2 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  P
)  ->  ph )
97, 8syl6bir 221 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( P  <_  N  ->  ph ) )
103nnrei 10001 . . . . . . . 8  |-  P  e.  RR
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  P  e.  RR )
12 bpos1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  2 )  =  B
13 bpos1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
NN0
1413nn0rei 10224 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  RR
15 2re 10061 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
1614, 15remulcli 9096 . . . . . . . . 9  |-  ( A  x.  2 )  e.  RR
1712, 16eqeltrri 2506 . . . . . . . 8  |-  B  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  RR )
19 eluzelre 10489 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  N  e.  RR )
20 remulcl 9067 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
2115, 19, 20sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
22 bpos1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( P  <  B  \/  P  =  B )
2310, 17leloei 9182 . . . . . . . . 9  |-  ( P  <_  B  <->  ( P  <  B  \/  P  =  B ) )
2422, 23mpbir 201 . . . . . . . 8  |-  P  <_  B
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  P  <_  B )
2613nn0cni 10225 . . . . . . . . 9  |-  A  e.  CC
27 2cn 10062 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
2826, 27, 12mulcomli 9089 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  A )  =  B
29 eluzle 10490 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  <_  N )
30 2pos 10074 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
3115, 30pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
32 lemul2 9855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  <_  N 
<->  ( 2  x.  A
)  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3314, 31, 32mp3an13 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  ( A  <_  N  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
3419, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  <_  N  <->  ( 2  x.  A )  <_  (
2  x.  N ) ) )
3529, 34mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( 2  x.  A )  <_ 
( 2  x.  N
) )
3628, 35syl5eqbrr 4238 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  <_  ( 2  x.  N ) )
3711, 18, 21, 25, 36letrd 9219 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  P  <_  ( 2  x.  N ) )
3837anim2i 553 . . . . 5  |-  ( ( N  <  P  /\  N  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
( N  <  P  /\  P  <_  ( 2  x.  N ) ) )
39 breq2 4208 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  ( N  <  p  <->  N  <  P ) )
40 breq1 4207 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
p  <_  ( 2  x.  N )  <->  P  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4139, 40anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( p  =  P  ->  (
( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) )  <-> 
( N  <  P  /\  P  <_  ( 2  x.  N ) ) ) )
4241rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( N  <  P  /\  P  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
431, 38, 42sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( N  <  P  /\  N  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
44 bpos1.1 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) )  ->  ph )
4543, 44syl 16 . . 3  |-  ( ( N  <  P  /\  N  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  ph )
4645expcom 425 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( N  <  P  ->  ph ) )
47 lelttric 9172 . . 3  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( P  <_  N  \/  N  <  P ) )
4810, 19, 47sylancr 645 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( P  <_  N  \/  N  < 
P ) )
499, 46, 48mpjaod 371 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   Primecprime 13071
This theorem is referenced by:  bpos1  21059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-prm 13072
  Copyright terms: Public domain W3C validator