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Theorem bposlem2 20524
Description: There are no odd primes in the range  ( 2 N  /  3 ,  N ] dividing the  N-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem2.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
bposlem2.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
bposlem2.3  |-  ( ph  ->  2  <  P )
bposlem2.4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
bposlem2.5  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
Assertion
Ref Expression
bposlem2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )

Proof of Theorem bposlem2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bposlem2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 bposlem2.2 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 pcbcctr 20515 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) ( ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
5 elfznn 10819 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  k  e.  NN )
6 elnn1uz2 10294 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  <->  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
75, 6sylib 188 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
8 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  ( P ^ k )  =  ( P ^ 1 ) )
9 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
102, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1211exp1d 11240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
138, 12sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( P ^ k )  =  P )
1413oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  =  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )
1514fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) ) )
16 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
1716mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1811mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  =  P )
19 bposlem2.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  <_  N )
2018, 19eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  P
)  <_  N )
21 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
2221a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
231nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
2410nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2510nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  P )
26 lemuldiv 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2722, 23, 24, 25, 26syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  x.  P )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  P ) ) )
2820, 27mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  <_  ( N  /  P ) )
2923, 10nndivred 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  e.  RR )
30 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
31 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
3230, 31pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
33 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3421, 32, 33mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3529, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  ( N  /  P )  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  ( N  /  P ) ) ) )
3628, 35mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
3717, 36syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
3816a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
391nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
4010nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
4138, 39, 11, 40divassd 9571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  =  ( 2  x.  ( N  /  P ) ) )
4237, 41breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  P ) )
43 bposlem2.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  P )
44 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN
45 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4644, 1, 45sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
4746nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
48 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
49 3pos 9830 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
5048, 49pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
51 ltdiv23 9647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )  /\  ( P  e.  RR  /\  0  < 
P ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5250, 51mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <  P  <->  ( (
2  x.  N )  /  P )  <  3 ) )
5347, 24, 25, 52syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( ( 2  x.  N
)  /  P )  <  3 ) )
5443, 53mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  3 )
55 df-3 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =  ( 2  +  1 )
5654, 55syl6breq 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  <  ( 2  +  1 ) )
5747, 10nndivred 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR )
58 2z 10054 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
59 flbi 10946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
6057, 58, 59sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P
) )  =  2  <-> 
( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  P )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  P )  <  (
2  +  1 ) ) ) )
6142, 56, 60mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  P ) )  =  2 )
6261adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  P ) )  =  2 )
6315, 62eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  2 )
6413oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  =  ( N  /  P
) )
6564fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  P ) ) )
66 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( N  /  P
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  e.  RR )
6730, 29, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  e.  RR )
6848a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
69 4re 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  4  e.  RR
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
7141, 54eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  3 )
72 3lt4 9889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  3  <  4
7372a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  3  <  4 )
7467, 68, 70, 71, 73lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  4 )
75 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
7674, 75syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) )
77 ltmul2 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P
) )  <  (
2  x.  2 ) ) )
7830, 32, 77mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  /  P )  e.  RR  ->  (
( N  /  P
)  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  < 
( 2  x.  2 ) ) )
7929, 78syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( N  /  P )  <  2  <->  ( 2  x.  ( N  /  P ) )  <  ( 2  x.  2 ) ) )
8076, 79mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  2 )
81 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =  ( 1  +  1 )
8280, 81syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) )
83 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  ZZ
84 flbi 10946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  /  P
)  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8529, 83, 84sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( N  /  P
) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  P )  /\  ( N  /  P
)  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
8628, 82, 85mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8786adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  /  P ) )  =  1 )
8865, 87eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  1 )
8988oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( 2  x.  1 ) )
9089, 17syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
2  x.  ( |_
`  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  2 )
9163, 90oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  ( 2  -  2 ) )
9216subidi 9117 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  2 )  =  0
9391, 92syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  = 
1 )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
9446nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
96 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
97 eluznn0 10288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
k  e.  NN0 )
9896, 97mpan 651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN0 )
99 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( P ^ k
)  e.  NN )
10010, 98, 99syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  NN )
101100nnrpd 10389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR+ )
10295, 101rpdivcld 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
103102rpge0d 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )
10447adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
105 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
10648, 24, 105sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  e.  RR )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  e.  RR )
108100nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  RR )
109 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  /  3 )  < 
P  <->  ( 2  x.  N )  <  (
3  x.  P ) ) )
11050, 109mp3an3 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
11147, 24, 110syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  P  <->  ( 2  x.  N )  <  ( 3  x.  P ) ) )
11243, 111mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  <  ( 3  x.  P ) )
113112adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( 3  x.  P
) )
11424, 24remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  x.  P
)  e.  RR )
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  e.  RR )
116 bposlem2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2  <  P )
117 nnltp1le 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
11844, 10, 117sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2  <  P  <->  ( 2  +  1 )  <_  P ) )
119116, 118mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  +  1 )  <_  P )
12055, 119syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  3  <_  P )
121 lemul1 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  -> 
( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
12248, 121mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  RR  /\  ( P  e.  RR  /\  0  <  P ) )  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) ) )
12324, 24, 25, 122syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  P  <->  ( 3  x.  P )  <_  ( P  x.  P ) ) )
124120, 123mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  P
)  <_  ( P  x.  P ) )
125124adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P  x.  P
) )
12611sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
127126adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P
) )
12824adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  P  e.  RR )
12910nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <_  P )
130129adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <_  P )
131 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
132128, 130, 131leexp2ad 11277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ 2 )  <_ 
( P ^ k
) )
133127, 132eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P  x.  P )  <_  ( P ^ k ) )
134107, 115, 108, 125, 133letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 3  x.  P )  <_ 
( P ^ k
) )
135104, 107, 108, 113, 134ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( P ^ k
) )
136100nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( P ^ k )  e.  CC )
137136mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( P ^ k )  x.  1 )  =  ( P ^ k ) )
138135, 137breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) )
13921a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  e.  RR )
140104, 139, 101ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) )  <  1  <->  ( 2  x.  N )  < 
( ( P ^
k )  x.  1 ) ) )
141138, 140mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
142 1e0p1 10152 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0  +  1 )
143141, 142syl6breq 4062 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
144102rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
145 0z 10035 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
146 flbi 10946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  =  0  <->  (
0  <_  ( (
2  x.  N )  /  ( P ^
k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
147144, 145, 146sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
148103, 143, 147mpbir2and 888 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
1491nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR+ )
150149adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR+ )
151150, 101rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR+ )
152151rpge0d 10394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  0  <_  ( N  /  ( P ^ k ) ) )
15323adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  e.  RR )
15423, 149ltaddrpd 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  N ) )
155392timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  =  ( N  +  N ) )
156154, 155breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
157156adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( 2  x.  N ) )
158153, 104, 108, 157, 135lttrd 8977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( P ^ k ) )
159158, 137breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  N  <  ( ( P ^ k
)  x.  1 ) )
160153, 139, 101ltdivmuld 10437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1  <->  N  <  ( ( P ^ k )  x.  1 ) ) )
161159, 160mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  <  1 )
162161, 142syl6breq 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) )
163151rpred 10390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( N  /  ( P ^
k ) )  e.  RR )
164 flbi 10946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  ( P ^ k ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  =  0  <->  ( 0  <_  ( N  / 
( P ^ k
) )  /\  ( N  /  ( P ^
k ) )  < 
( 0  +  1 ) ) ) )
165163, 145, 164sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) )  =  0  <->  ( 0  <_ 
( N  /  ( P ^ k ) )  /\  ( N  / 
( P ^ k
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
166152, 162, 165mpbir2and 888 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  =  0 )
167166oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  ( 2  x.  0 ) )
16816mul01i 9002 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
169167, 168syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )  =  0 )
170148, 169oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  ( 0  -  0 ) )
171 0cn 8831 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
172171subidi 9117 . . . . . . 7  |-  ( 0  -  0 )  =  0
173170, 172syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
( P ^ k
) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  / 
( P ^ k
) ) ) ) )  =  0 )
17493, 173jaodan 760 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  =  1  \/  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1757, 174sylan2 460 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) )  ->  (
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
176175sumeq2dv 12176 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0 )
177 fzfid 11035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
2  x.  N ) )  e.  Fin )
178 sumz 12195 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... (
2  x.  N ) )  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... ( 2  x.  N ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
179178olcs 384 . . . 4  |-  ( ( 1 ... ( 2  x.  N ) )  e.  Fin  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... (
2  x.  N ) ) 0  =  0 )
180177, 179syl 15 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) 0  =  0 )
181176, 180eqtrd 2315 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( 2  x.  N ) ) ( ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( 2  x.  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) ) )  =  0 )
1824, 181eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924   ^cexp 11104    _C cbc 11315   sum_csu 12158   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889
This theorem is referenced by:  bposlem3  20525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890
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