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Theorem bposlem3 20525
Description: Lemma for bpos 20532. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range  ( 2 N  / 
3 ,  N ] or  ( 2 N ,  +oo ) by bposlem2 20524 and prmfac1 12797, respectively, and it does not have any in the range  ( N , 
2 N ] by hypothesis, the product of the primes up through  2 N  / 
3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
3 5nn 9880 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
73, 4, 6sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnnn0d 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
9 fzctr 10854 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
10 bccl2 11335 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1211adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
132, 12pccld 12903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1413ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
1514adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
16 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
17 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 7, 18sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
21 3nn 9878 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
22 nndivre 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
2423flcld 10930 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
2516, 24syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
26 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  RR
2726a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
28 5re 9821 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  RR
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
307nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
31 3lt5 9893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  <  5
3226, 28, 31ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_  5
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  5 )
34 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
354, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
3627, 29, 30, 33, 35letrd 8973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  N )
37 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
38 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
40 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 3  <_  N 
<->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4126, 39, 40mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  <->  ( 2  x.  3 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
4230, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  N  <->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4336, 42mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) )
44 3pos 9830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  3
4526, 44pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
46 lemuldiv 9635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
4737, 45, 46mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (
( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
4820, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  3 )  <_  (
2  x.  N )  <->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) ) )
4943, 48mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
50 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
51 flge 10937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) ) )
5223, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) ) )
5349, 52mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
5453, 16syl6breqr 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  K )
5550eluz1i 10237 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  2  <_  K ) )
5625, 54, 55sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
57 eluz2b2 10290 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
5857simplbi 446 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
5956, 58syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
6059adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  NN )
61 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
62 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
631, 15, 60, 61, 62pcmpt 12940 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K ) )  =  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
64 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( p  <_  K  ->  if ( p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
6564adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
66 iffalse 3572 . . . . . . 7  |-  ( -.  p  <_  K  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
6766adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
6825zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
69 prmz 12762 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
7069zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
71 ltnle 8902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( K  <  p  <->  -.  p  <_  K )
)
7268, 70, 71syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( K  <  p  <->  -.  p  <_  K ) )
7372biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  K  <  p )
747ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  N  e.  NN )
75 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  Prime )
7637a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  e.  RR )
7768ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  K  e.  RR )
7869ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  ZZ )
7978zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  RR )
8054ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  <_  K )
81 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  K  <  p )
8276, 77, 79, 80, 81lelttrd 8974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  <  p )
8316, 81syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <  p )
8423ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
85 fllt 10938 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  p  <->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )  <  p ) )
8684, 78, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  p  <->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )  <  p ) )
8783, 86mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  p )
88 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  <_  N )
8974, 75, 82, 87, 88bposlem2 20524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
9089expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  <_  N  ->  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
91 rspe 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9291adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
93 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9493ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  -.  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9592, 94pm2.65i 165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  (
( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )
9695pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
9796expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  (
p  <_  ( 2  x.  N )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 ) )
9811nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ )
99 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
1008, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
101100, 100nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
102101nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  ZZ )
103 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  ||  (
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  x.  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
10498, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( (
( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
105 bcctr 20514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
1068, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
107106oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ( ( ! `  (
2  x.  N ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N ) ) )  x.  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
10819nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
109 faccl 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  e.  NN )
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
111110nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
112101nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  CC )
113101nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  =/=  0 )
114111, 112, 113divcan1d 9537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  / 
( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
) )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) )
115107, 114eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) )
116104, 115breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) )
117116adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) )
11869adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
11998adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ )
120110nnzd 10116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  ZZ )
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
122 dvdstr 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  /\  ( (
2  x.  N )  _C  N )  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ) )
123118, 119, 121, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  ||  ( (
2  x.  N )  _C  N )  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) ) )
124117, 123mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ) )
125 prmfac1 12797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ! `  (
2  x.  N ) ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N
) )
1261253expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
127108, 126sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ! `  (
2  x.  N ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
128124, 127syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
129128con3d 125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  ->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
130 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
131 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
132130, 11, 131syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
133129, 132sylibrd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
134133adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 ) )
13597, 134pm2.61d 150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 )
136135ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( N  <  p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  =  0 ) )
137136adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  ( N  <  p  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
138 lelttric 8927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( p  <_  N  \/  N  <  p ) )
13970, 30, 138syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  <_  N  \/  N  < 
p ) )
140139adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  <_  N  \/  N  <  p ) )
14190, 137, 140mpjaod 370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 )
14273, 141syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
14367, 142eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
14465, 143pm2.61dan 766 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
14563, 144eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
146145ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
) )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
1471, 14pcmptcl 12939 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
148147simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
149 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  K  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  e.  NN )
150148, 59, 149syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
151150nnnn0d 10018 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e. 
NN0 )
15211nnnn0d 10018 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN0 )
153 pc11 12932 . . 3  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e. 
NN0  /\  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e. 
NN0 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
) )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
154151, 152, 153syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )  =  ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
155146, 154mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   5c5 9798   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   |_cfl 10924    seq cseq 11046   ^cexp 11104   !cfa 11288    _C cbc 11315    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889
This theorem is referenced by:  bposlem6  20528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890
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