MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem3 Structured version   Unicode version

Theorem bposlem3 21070
Description: Lemma for bpos 21077. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range  ( 2 N  / 
3 ,  N ] or  ( 2 N ,  +oo ) by bposlem2 21069 and prmfac1 13118, respectively, and it does not have any in the range  ( N , 
2 N ] by hypothesis, the product of the primes up through  2 N  / 
3 must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  n  e.  Prime )
3 5nn 10136 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
73, 4, 6sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnnn0d 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
9 fzctr 11117 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
10 bccl2 11614 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1211adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
132, 12pccld 13224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1413ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
1514adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
16 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
17 2nn 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 10023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 7, 18sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnred 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
21 3nn 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
22 nndivre 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
2423flcld 11207 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
2516, 24syl5eqel 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
26 3re 10071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
28 5re 10075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  5  e.  RR
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
307nnred 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
31 3lt5 10149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  <  5
3226, 28, 31ltleii 9196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  <_  5
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  5 )
34 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
354, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
3627, 29, 30, 33, 35letrd 9227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  N )
37 2re 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
38 2pos 10082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <  2
3937, 38pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
40 lemul2 9863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 3  <_  N 
<->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4126, 39, 40mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  RR  ->  (
3  <_  N  <->  ( 2  x.  3 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
4230, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  N  <->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
4336, 42mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) )
44 3pos 10084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  3
4526, 44pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
46 lemuldiv 9889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
4737, 45, 46mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (
( 2  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  2  <_  ( ( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
4820, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  3 )  <_  (
2  x.  N )  <->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) ) )
4943, 48mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
50 2z 10312 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
51 flge 11214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) ) )
5223, 50, 51sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) ) )
5349, 52mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  <_  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
5453, 16syl6breqr 4252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  <_  K )
5550eluz1i 10495 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  2  <_  K ) )
5625, 54, 55sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
57 eluz2b2 10548 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
5857simplbi 447 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
5956, 58syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
6059adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  NN )
61 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
62 oveq1 6088 . . . . 5  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
631, 15, 60, 61, 62pcmpt 13261 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K ) )  =  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
64 iftrue 3745 . . . . . 6  |-  ( p  <_  K  ->  if ( p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
6564adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
66 iffalse 3746 . . . . . . 7  |-  ( -.  p  <_  K  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
6766adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
6825zred 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
69 prmz 13083 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
7069zred 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
71 ltnle 9155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( K  <  p  <->  -.  p  <_  K )
)
7268, 70, 71syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( K  <  p  <->  -.  p  <_  K ) )
7372biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  K  <  p )
747ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  N  e.  NN )
75 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  Prime )
7637a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  e.  RR )
7768ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  K  e.  RR )
7869ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  ZZ )
7978zred 10375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  e.  RR )
8054ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  <_  K )
81 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  K  <  p )
8276, 77, 79, 80, 81lelttrd 9228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
2  <  p )
8316, 81syl5eqbrr 4246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <  p )
8423ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
85 fllt 11215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  p  <->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )  <  p ) )
8684, 78, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  / 
3 )  <  p  <->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) )  <  p ) )
8783, 86mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  /  3
)  <  p )
88 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  ->  p  <_  N )
8974, 75, 82, 87, 88bposlem2 21069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( K  <  p  /\  p  <_  N ) )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
9089expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  <_  N  ->  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
91 rspe 2767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9291adantll 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
93 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9493ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  ->  -.  E. p  e.  Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
9592, 94pm2.21dd 101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N
) ) )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
9695expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  (
p  <_  ( 2  x.  N )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 ) )
9711nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ )
98 faccl 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
998, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  N
)  e.  NN )
10099, 99nnmulcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
101100nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  ZZ )
102 dvdsmul1 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  ||  (
( ( 2  x.  N )  _C  N
)  x.  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N ) ) ) )
10397, 101, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( (
( 2  x.  N
)  _C  N )  x.  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
104 bcctr 21059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N
) )  /  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) ) )
1058, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  =  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) )  /  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
106105oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ( ( ! `  (
2  x.  N ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N ) ) )  x.  ( ( ! `
 N )  x.  ( ! `  N
) ) ) )
10719nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN0 )
108 faccl 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  e.  NN )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
110109nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  CC )
111100nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  e.  CC )
112100nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
)  =/=  0 )
113110, 111, 112divcan1d 9791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) )  / 
( ( ! `  N )  x.  ( ! `  N )
) )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) )
114106, 113eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  _C  N )  x.  (
( ! `  N
)  x.  ( ! `
 N ) ) )  =  ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) )
115103, 114breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) )
116115adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) )
11769adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  ZZ )
11897adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ )
119109nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ! `  (
2  x.  N ) )  e.  ZZ )
120119adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
121 dvdstr 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  /\  ( (
2  x.  N )  _C  N )  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ) )
122117, 118, 120, 121syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  ||  ( (
2  x.  N )  _C  N )  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) )  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N
) ) ) )
123116, 122mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ->  p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ) )
124 prmfac1 13118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ! `  (
2  x.  N ) ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N
) )
1251243expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN0  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  ( ! `  ( 2  x.  N ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
126107, 125sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ! `  (
2  x.  N ) )  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
127123, 126syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  ->  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
128127con3d 127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  ->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
129 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
130 pceq0 13244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
131129, 11, 130syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0  <->  -.  p  ||  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
132128, 131sylibrd 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
133132adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  ( -.  p  <_  ( 2  x.  N )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 ) )
13496, 133pm2.61d 152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  N  <  p )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 )
135134ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( N  <  p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  =  0 ) )
136135adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  ( N  <  p  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
137 lelttric 9180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( p  <_  N  \/  N  <  p ) )
13870, 30, 137syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  <_  N  \/  N  < 
p ) )
139138adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  <_  N  \/  N  <  p ) )
14090, 136, 139mpjaod 371 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  K  <  p )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 )
14173, 140syldan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  =  0 )
14267, 141eqtr4d 2471 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  K )  ->  if ( p  <_  K ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
14365, 142pm2.61dan 767 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
p  <_  K , 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
14463, 143eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
145144ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
) )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
1461, 14pcmptcl 13260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
147146simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
148147, 59ffvelrnd 5871 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
149148nnnn0d 10274 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e. 
NN0 )
15011nnnn0d 10274 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN0 )
151 pc11 13253 . . 3  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e. 
NN0  /\  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e. 
NN0 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
) )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
152149, 150, 151syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )  =  ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
153145, 152mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   5c5 10052   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   |_cfl 11201    seq cseq 11323   ^cexp 11382   !cfa 11566    _C cbc 11593    || cdivides 12852   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210
This theorem is referenced by:  bposlem6  21073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211
  Copyright terms: Public domain W3C validator