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Theorem bposlem3 20541
 Description: Lemma for bpos 20548. Since the binomial coefficient does not have any primes in the range or by bposlem2 20540 and prmfac1 12813, respectively, and it does not have any in the range by hypothesis, the product of the primes up through must be sufficient to compose the whole binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1
bpos.2
bpos.3
bpos.4
Assertion
Ref Expression
bposlem3
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem bposlem3
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . 5
2 simpr 447 . . . . . . . 8
3 5nn 9896 . . . . . . . . . . . 12
4 bpos.1 . . . . . . . . . . . 12
5 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . 13
65uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . 12
73, 4, 6sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
87nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10
9 fzctr 10870 . . . . . . . . . 10
10 bccl2 11351 . . . . . . . . . 10
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9
1211adantr 451 . . . . . . . 8
132, 12pccld 12919 . . . . . . 7
1413ralrimiva 2639 . . . . . 6
1514adantr 451 . . . . 5
16 bpos.4 . . . . . . . . 9
17 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . 13
18 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 7, 18sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
2019nnred 9777 . . . . . . . . . . 11
21 3nn 9894 . . . . . . . . . . 11
22 nndivre 9797 . . . . . . . . . . 11
2320, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . . 10
2423flcld 10946 . . . . . . . . 9
2516, 24syl5eqel 2380 . . . . . . . 8
26 3re 9833 . . . . . . . . . . . . . 14
2726a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
28 5re 9837 . . . . . . . . . . . . . 14
2928a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
307nnred 9777 . . . . . . . . . . . . 13
31 3lt5 9909 . . . . . . . . . . . . . . 15
3226, 28, 31ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . 14
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
34 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . 14
354, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
3627, 29, 30, 33, 35letrd 8989 . . . . . . . . . . . 12
37 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . 15
3937, 38pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14
40 lemul2 9625 . . . . . . . . . . . . . 14
4126, 39, 40mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . 13
4230, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12
4336, 42mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
44 3pos 9846 . . . . . . . . . . . . . 14
4526, 44pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13
46 lemuldiv 9651 . . . . . . . . . . . . 13
4737, 45, 46mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12
4820, 47syl 15 . . . . . . . . . . 11
4943, 48mpbid 201 . . . . . . . . . 10
50 2z 10070 . . . . . . . . . . 11
51 flge 10953 . . . . . . . . . . 11
5223, 50, 51sylancl 643 . . . . . . . . . 10
5349, 52mpbid 201 . . . . . . . . 9
5453, 16syl6breqr 4079 . . . . . . . 8
5550eluz1i 10253 . . . . . . . 8
5625, 54, 55sylanbrc 645 . . . . . . 7
57 eluz2b2 10306 . . . . . . . 8
5857simplbi 446 . . . . . . 7
5956, 58syl 15 . . . . . 6
6059adantr 451 . . . . 5
61 simpr 447 . . . . 5
62 oveq1 5881 . . . . 5
631, 15, 60, 61, 62pcmpt 12956 . . . 4
64 iftrue 3584 . . . . . 6
6564adantl 452 . . . . 5
66 iffalse 3585 . . . . . . 7
6766adantl 452 . . . . . 6
6825zred 10133 . . . . . . . . 9
69 prmz 12778 . . . . . . . . . 10
7069zred 10133 . . . . . . . . 9
71 ltnle 8918 . . . . . . . . 9
7268, 70, 71syl2an 463 . . . . . . . 8
7372biimpar 471 . . . . . . 7
747ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
75 simplr 731 . . . . . . . . . 10
7637a1i 10 . . . . . . . . . . 11
7768ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
7869ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12
7978zred 10133 . . . . . . . . . . 11
8054ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
81 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
8276, 77, 79, 80, 81lelttrd 8990 . . . . . . . . . 10
8316, 81syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . 11
8423ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
85 fllt 10954 . . . . . . . . . . . 12
8684, 78, 85syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
8783, 86mpbird 223 . . . . . . . . . 10
88 simprr 733 . . . . . . . . . 10
8974, 75, 82, 87, 88bposlem2 20540 . . . . . . . . 9
9089expr 598 . . . . . . . 8
91 rspe 2617 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291adantll 694 . . . . . . . . . . . . . 14
93 bpos.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
9592, 94pm2.65i 165 . . . . . . . . . . . . 13
9695pm2.21i 123 . . . . . . . . . . . 12
9796expr 598 . . . . . . . . . . 11
9811nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1008, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
101100, 100nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102101nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10498, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 bcctr 20530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1068, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107106oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10819nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110108, 109syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111110nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112101nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113101nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114111, 112, 113divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115107, 114eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116104, 115breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117116adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11869adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11998adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120110nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122 dvdstr 12578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123118, 119, 121, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124117, 123mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . 15
125 prmfac1 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1261253expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127108, 126sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15
128124, 127syld 40 . . . . . . . . . . . . . 14
129128con3d 125 . . . . . . . . . . . . 13
130 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14
131 pceq0 12939 . . . . . . . . . . . . . 14
132130, 11, 131syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . 13
133129, 132sylibrd 225 . . . . . . . . . . . 12
134133adantr 451 . . . . . . . . . . 11
13597, 134pm2.61d 150 . . . . . . . . . 10
136135ex 423 . . . . . . . . 9
137136adantr 451 . . . . . . . 8
138 lelttric 8943 . . . . . . . . . 10
13970, 30, 138syl2anr 464 . . . . . . . . 9
140139adantr 451 . . . . . . . 8
14190, 137, 140mpjaod 370 . . . . . . 7
14273, 141syldan 456 . . . . . 6
14367, 142eqtr4d 2331 . . . . 5
14465, 143pm2.61dan 766 . . . 4
14563, 144eqtrd 2328 . . 3
146145ralrimiva 2639 . 2
1471, 14pcmptcl 12955 . . . . . 6
148147simprd 449 . . . . 5
149 ffvelrn 5679 . . . . 5
150148, 59, 149syl2anc 642 . . . 4
151150nnnn0d 10034 . . 3
15211nnnn0d 10034 . . 3
153 pc11 12948 . . 3
154151, 152, 153syl2anc 642 . 2
155146, 154mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  wral 2556  wrex 2557  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  c3 9812  c5 9814  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  cfz 10798  cfl 10940   cseq 11062  cexp 11120  cfa 11304   cbc 11331   cdivides 12547  cprime 12774   cpc 12905 This theorem is referenced by:  bposlem6  20544 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906
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