MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Unicode version

Theorem bposlem4 20940
Description: Lemma for bpos 20946. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 10067 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2 5nn 10070 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10455 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnmulcl 9957 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
81, 6, 7sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
98nnred 9949 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
108nnrpd 10581 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
1110rpge0d 10586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
129, 11resqrcld 12149 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
1312flcld 11136 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
14 sqr9 12008 . . . . . 6  |-  ( sqr `  9 )  =  3
15 9re 10013 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
17 10re 10014 . . . . . . . . 9  |-  10  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
19 lep1 9783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
2015, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
21 df-10 10000 . . . . . . . . . 10  |-  10  =  ( 9  +  1 )
2220, 21breqtrri 4180 . . . . . . . . 9  |-  9  <_  10
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
242nncni 9944 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  CC
25 2cn 10004 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
26 5t2e10 10065 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
2724, 25, 26mulcomli 9032 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
28 eluzle 10432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
306nnred 9949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
31 5re 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  RR
32 2re 10003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
33 2pos 10016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
3432, 33pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
35 lemul2 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3631, 34, 35mp3an13 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3829, 37mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
3927, 38syl5eqbrr 4189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
4016, 18, 9, 23, 39letrd 9161 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
41 0re 9026 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
42 9pos 10025 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  9
4341, 15, 42ltleii 9129 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  9
4415, 43pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
4510rprege0d 10589 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
46 sqrle 11995 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4744, 45, 46sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4840, 47mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
4914, 48syl5eqbrr 4189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
50 3nn 10068 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
5150nnzi 10239 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
52 flge 11143 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5312, 51, 52sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5449, 53mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
5551eluz1i 10429 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
5613, 54, 55sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
57 nndivre 9969 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
589, 50, 57sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
59 3re 10005 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
6110sqrgt0d 12144 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
62 lemul2 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )  -> 
( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6360, 12, 12, 61, 62syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6449, 63mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) )
65 remsqsqr 11991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
669, 11, 65syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
6764, 66breqtrd 4179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) )
68 3pos 10018 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
6959, 68pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
71 lemuldiv 9823 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7212, 9, 70, 71syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7367, 72mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
74 flword2 11149 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  -> 
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
7512, 58, 73, 74syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
76 elfzuzb 10987 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )  <-> 
( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
7756, 75, 76sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) ) )
78 bpos.5 . 2  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
79 bpos.4 . . 3  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
8079oveq2i 6033 . 2  |-  ( 3 ... K )  =  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
8177, 78, 803eltr4g 2472 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   ifcif 3684   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   3c3 9984   5c5 9986   9c9 9990   10c10 9991   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   ...cfz 10977   |_cfl 11130   ^cexp 11311    _C cbc 11522   sqrcsqr 11967   Primecprime 13008    pCnt cpc 13139
This theorem is referenced by:  bposlem6  20942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-sup 7383  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fl 11131  df-seq 11253  df-exp 11312  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969
  Copyright terms: Public domain W3C validator