MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Unicode version

Theorem bposlem4 21032
Description: Lemma for bpos 21038. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 10097 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2 5nn 10100 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10485 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnmulcl 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
81, 6, 7sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
98nnred 9979 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
108nnrpd 10611 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
1110rpge0d 10616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
129, 11resqrcld 12183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
1312flcld 11170 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
14 sqr9 12042 . . . . . 6  |-  ( sqr `  9 )  =  3
15 9re 10043 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
17 10re 10044 . . . . . . . . 9  |-  10  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
19 lep1 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
2015, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
21 df-10 10030 . . . . . . . . . 10  |-  10  =  ( 9  +  1 )
2220, 21breqtrri 4205 . . . . . . . . 9  |-  9  <_  10
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
242nncni 9974 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  CC
25 2cn 10034 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
26 5t2e10 10095 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
2724, 25, 26mulcomli 9061 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
28 eluzle 10462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
306nnred 9979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
31 5re 10039 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  RR
32 2re 10033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
33 2pos 10046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
3432, 33pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
35 lemul2 9827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3631, 34, 35mp3an13 1270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3829, 37mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
3927, 38syl5eqbrr 4214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
4016, 18, 9, 23, 39letrd 9191 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
41 0re 9055 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
42 9pos 10055 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  9
4341, 15, 42ltleii 9160 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  9
4415, 43pm3.2i 442 . . . . . . . 8  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
4510rprege0d 10619 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
46 sqrle 12029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4744, 45, 46sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4840, 47mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
4914, 48syl5eqbrr 4214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
50 3nn 10098 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
5150nnzi 10269 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
52 flge 11177 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5312, 51, 52sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5449, 53mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
5551eluz1i 10459 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
5613, 54, 55sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
57 nndivre 9999 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
589, 50, 57sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
59 3re 10035 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
6110sqrgt0d 12178 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
62 lemul2 9827 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )  -> 
( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6360, 12, 12, 61, 62syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6449, 63mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) )
65 remsqsqr 12025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
669, 11, 65syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
6764, 66breqtrd 4204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) )
68 3pos 10048 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
6959, 68pm3.2i 442 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
71 lemuldiv 9853 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7212, 9, 70, 71syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7367, 72mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
74 flword2 11183 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  -> 
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
7512, 58, 73, 74syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
76 elfzuzb 11017 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )  <-> 
( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
7756, 75, 76sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) ) )
78 bpos.5 . 2  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
79 bpos.4 . . 3  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
8079oveq2i 6059 . 2  |-  ( 3 ... K )  =  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
8177, 78, 803eltr4g 2495 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   3c3 10014   5c5 10016   9c9 10020   10c10 10021   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   |_cfl 11164   ^cexp 11345    _C cbc 11556   sqrcsqr 12001   Primecprime 13042    pCnt cpc 13173
This theorem is referenced by:  bposlem6  21034
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003
  Copyright terms: Public domain W3C validator