MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Structured version   Unicode version

Theorem bposlem4 21072
Description: Lemma for bpos 21078. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 10134 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2 5nn 10137 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10522 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnmulcl 10024 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
81, 6, 7sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
98nnred 10016 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
108nnrpd 10648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
1110rpge0d 10653 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
129, 11resqrcld 12221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
1312flcld 11208 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
14 sqr9 12080 . . . . . 6  |-  ( sqr `  9 )  =  3
15 9re 10080 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
17 10re 10081 . . . . . . . . 9  |-  10  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
19 lep1 9850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
2015, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
21 df-10 10067 . . . . . . . . . 10  |-  10  =  ( 9  +  1 )
2220, 21breqtrri 4238 . . . . . . . . 9  |-  9  <_  10
2322a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
242nncni 10011 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  CC
25 2cn 10071 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
26 5t2e10 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
2724, 25, 26mulcomli 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
28 eluzle 10499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
306nnred 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
31 5re 10076 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  RR
32 2re 10070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
33 2pos 10083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
3432, 33pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
35 lemul2 9864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3631, 34, 35mp3an13 1271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3829, 37mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
3927, 38syl5eqbrr 4247 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
4016, 18, 9, 23, 39letrd 9228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
41 0re 9092 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
42 9pos 10092 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  9
4341, 15, 42ltleii 9197 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  9
4415, 43pm3.2i 443 . . . . . . . 8  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
4510rprege0d 10656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
46 sqrle 12067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4744, 45, 46sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4840, 47mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
4914, 48syl5eqbrr 4247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
50 3nn 10135 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
5150nnzi 10306 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
52 flge 11215 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5312, 51, 52sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5449, 53mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
5551eluz1i 10496 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
5613, 54, 55sylanbrc 647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
57 nndivre 10036 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
589, 50, 57sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
59 3re 10072 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
6110sqrgt0d 12216 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
62 lemul2 9864 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )  -> 
( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6360, 12, 12, 61, 62syl112anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6449, 63mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) )
65 remsqsqr 12063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
669, 11, 65syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
6764, 66breqtrd 4237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) )
68 3pos 10085 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
6959, 68pm3.2i 443 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
71 lemuldiv 9890 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7212, 9, 70, 71syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7367, 72mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
74 flword2 11221 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  -> 
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
7512, 58, 73, 74syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
76 elfzuzb 11054 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )  <-> 
( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
7756, 75, 76sylanbrc 647 . 2  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) ) )
78 bpos.5 . 2  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
79 bpos.4 . . 3  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
8079oveq2i 6093 . 2  |-  ( 3 ... K )  =  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
8177, 78, 803eltr4g 2520 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707   ifcif 3740   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    <_ cle 9122    / cdiv 9678   NNcn 10001   2c2 10050   3c3 10051   5c5 10053   9c9 10057   10c10 10058   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044   |_cfl 11202   ^cexp 11383    _C cbc 11594   sqrcsqr 12039   Primecprime 13080    pCnt cpc 13211
This theorem is referenced by:  bposlem6  21074
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041
  Copyright terms: Public domain W3C validator