MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem4 Unicode version

Theorem bposlem4 20542
Description: Lemma for bpos 20548. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem4
StepHypRef Expression
1 2nn 9893 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
2 5nn 9896 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10279 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10261 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 nnmulcl 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
81, 6, 7sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
98nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
108nnrpd 10405 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
1110rpge0d 10410 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
129, 11resqrcld 11916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
1312flcld 10946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
14 sqr9 11775 . . . . . 6  |-  ( sqr `  9 )  =  3
15 9re 9841 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  RR
1615a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
17 10re 9842 . . . . . . . . 9  |-  10  e.  RR
1817a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
19 lep1 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
2015, 19ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
21 df-10 9828 . . . . . . . . . 10  |-  10  =  ( 9  +  1 )
2220, 21breqtrri 4064 . . . . . . . . 9  |-  9  <_  10
2322a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
242nncni 9772 . . . . . . . . . 10  |-  5  e.  CC
25 2cn 9832 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
26 5t2e10 9891 . . . . . . . . . 10  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
2724, 25, 26mulcomli 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
28 eluzle 10256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
293, 28syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
306nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
31 5re 9837 . . . . . . . . . . . 12  |-  5  e.  RR
32 2re 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
33 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
3432, 33pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
35 lemul2 9625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3631, 34, 35mp3an13 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
3730, 36syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
3829, 37mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
3927, 38syl5eqbrr 4073 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
4016, 18, 9, 23, 39letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
41 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
42 9pos 9853 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  9
4341, 15, 42ltleii 8957 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  9
4415, 43pm3.2i 441 . . . . . . . 8  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
4510rprege0d 10413 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
46 sqrle 11762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4744, 45, 46sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
4840, 47mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
4914, 48syl5eqbrr 4073 . . . . 5  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
50 3nn 9894 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
5150nnzi 10063 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
52 flge 10953 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5312, 51, 52sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
5449, 53mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
5551eluz1i 10253 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
5613, 54, 55sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
57 nndivre 9797 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
589, 50, 57sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
59 3re 9833 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  RR
6059a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
6110sqrgt0d 11911 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
62 lemul2 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )  -> 
( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6360, 12, 12, 61, 62syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6449, 63mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) )
65 remsqsqr 11758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
669, 11, 65syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( 2  x.  N
) )
6764, 66breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N ) )
68 3pos 9846 . . . . . . . 8  |-  0  <  3
6959, 68pm3.2i 441 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
7069a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
71 lemuldiv 9651 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7212, 9, 70, 71syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  x.  3 )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
7367, 72mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
74 flword2 10959 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  -> 
( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
7512, 58, 73, 74syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
76 elfzuzb 10808 . . 3  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )  <-> 
( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
7756, 75, 76sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( 3 ... ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) ) )
78 bpos.5 . . 3  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
79 bpos.4 . . . 4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
8079oveq2i 5885 . . 3  |-  ( 3 ... K )  =  ( 3 ... ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
8178, 80eleq12i 2361 . 2  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  e.  ( 3 ... ( |_
`  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) ) )
8277, 81sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   5c5 9814   9c9 9818   10c10 9819   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   |_cfl 10940   ^cexp 11120    _C cbc 11331   sqrcsqr 11734   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905
This theorem is referenced by:  bposlem6  20544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736
  Copyright terms: Public domain W3C validator