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Theorem bposlem5 20939
Description: Lemma for bpos 20944. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
3 5nn 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 nnuz 10453 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uztrn2 10435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
73, 4, 6sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnnn0d 10206 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
9 fzctr 11047 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
10 bccl2 11541 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
118, 9, 103syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
12 pccl 13150 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
132, 11, 12syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1413ralrimiva 2732 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
151, 14pcmptcl 13187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
1615simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
17 3nn 10066 . . . . 5  |-  3  e.  NN
18 bpos.5 . . . . . 6  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
19 2z 10244 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
207nnzd 10306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
21 zmulcl 10256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2219, 20, 21sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2322zred 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
24 2nn 10065 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
25 nnmulcl 9955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2624, 7, 25sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2726nnrpd 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2827rpge0d 10584 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2923, 28resqrcld 12147 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
3029flcld 11134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
31 sqr9 12006 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  9 )  =  3
32 9re 10011 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
34 10re 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  10  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
36 lep1 9781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
3732, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
38 df-10 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  10  =  ( 9  +  1 )
3937, 38breqtrri 4178 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <_  10
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
413nncni 9942 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  CC
42 2cn 10002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
43 5t2e10 10063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
4441, 42, 43mulcomli 9030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
45 eluzle 10430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
464, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
477nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
48 5re 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  RR
49 2re 10001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
50 2pos 10014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
5149, 50pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
52 lemul2 9795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5348, 51, 52mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
5447, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5546, 54mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
5644, 55syl5eqbrr 4187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
5733, 35, 23, 40, 56letrd 9159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
58 0re 9024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
59 9pos 10023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  9
6058, 32, 59ltleii 9127 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  9
6132, 60pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
6223, 28jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
63 sqrle 11993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6461, 62, 63sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6557, 64mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6631, 65syl5eqbrr 4187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6717nnzi 10237 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
68 flge 11141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6929, 67, 68sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
7066, 69mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
7167eluz1i 10427 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
7230, 70, 71sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
7318, 72syl5eqel 2471 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
745uztrn2 10435 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7517, 73, 74sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7616, 75ffvelrnd 5810 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7776nnred 9947 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
7875nnred 9947 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
79 ppicl 20781 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  (π `  M )  e.  NN0 )
8078, 79syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e. 
NN0 )
8126, 80nnexpcld 11471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  NN )
8281nnred 9947 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  RR )
83 nndivre 9967 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
8429, 17, 83sylancl 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
85 readdcl 9006 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
8684, 49, 85sylancl 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
8723, 28, 86recxpcld 20481 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
88 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
89 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  (π `  1 ) )
90 ppi1 20814 . . . . . . . 8  |-  (π `  1
)  =  0
9189, 90syl6eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  0 )
9291oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ 0 ) )
9388, 92breq12d 4166 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ 0 ) ) )
9493imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) ` 
1 )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ 0 ) ) ) )
95 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
96 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (π `  x )  =  (π `  k ) )
9796oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) )
9895, 97breq12d 4166 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
9998imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) ) )
100 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
101 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (π `  x )  =  (π `  ( k  +  1 ) ) )
102101oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )
103100, 102breq12d 4166 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
104103imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
105 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
106 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (π `  x )  =  (π `  M ) )
107106oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) )
108105, 107breq12d 4166 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
109108imbi2d 308 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) ) ) )
110 1z 10243 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
111 seq1 11263 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
112110, 111ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
113 1nn 9943 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
114 1nprm 13011 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
115 eleq1 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
116114, 115mtbiri 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
117 iffalse 3689 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
119 1ex 9019 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
120118, 1, 119fvmpt 5745 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
121113, 120ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( F `
 1 )  =  1
122112, 121eqtri 2407 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
123 1le1 9582 . . . . . 6  |-  1  <_  1
124122, 123eqbrtri 4172 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  1
12522zcnd 10308 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
126125exp0d 11444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ 0 )  =  1 )
127124, 126syl5breqr 4189 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ 0 ) )
12816ffvelrnda 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
129128nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
130129adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
13126ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
132 nnre 9939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
133132ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  k  e.  RR )
134 ppicl 20781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
135133, 134syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
136131, 135nnexpcld 11471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  NN )
137136nnred 9947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  RR )
138 nnre 9939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
139 nngt0 9961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
140138, 139jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
14126, 140syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
142141ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
143 lemul1 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <-> 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )
144130, 137, 142, 143syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
145 nnz 10235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
146145adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
147 ppiprm 20801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
148146, 147sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
149148oveq2d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) ) )
150125ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
151150, 135expp1d 11451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
152149, 151eqtrd 2419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
153152breq2d 4165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
154144, 153bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
155 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
156155, 5syl6eleq 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
157 seqp1 11265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
159158adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
160 peano2nn 9944 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
161160adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
162 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
163 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
164 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
165163, 164oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ ( n 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
166 eqidd 2388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  1  =  1 )
167162, 165, 166ifbieq12d 3704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
168 ovex 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  _V
169168, 119ifex 3740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  e. 
_V
170167, 1, 169fvmpt 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
171161, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e. 
Prime ,  ( (
k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
172 iftrue 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
173171, 172sylan9eq 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
1747adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
175 bposlem1 20935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
176174, 175sylan 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
177173, 176eqbrtrd 4173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
17815simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
179 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
180178, 160, 179syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
181180nnred 9947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
182181adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
18323ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
184 nnre 9939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR )
185 nngt0 9961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
186184, 185jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )
187128, 186syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
188187adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )
189 lemul2 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
190182, 183, 188, 189syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
191177, 190mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
192159, 191eqbrtrd 4173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
193 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
19416, 160, 193syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
195194nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
19626adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
197128, 196nnmulcld 9979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
198197nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
199161nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
200 ppicl 20781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  RR  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
201199, 200syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (π `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
202196, 201nnexpcld 11471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
203202nnred 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
204 letr 9100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
205195, 198, 203, 204syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
206205adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
207192, 206mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
208154, 207sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
209158adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
210 iffalse 3689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
211171, 210sylan9eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  1 )
212211oveq2d 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  1 ) )
213128adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
214213nncnd 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
215214mulid1d 9038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )
216209, 212, 2153eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )
217 ppinprm 20802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
218146, 217sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
219218oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )
220216, 219breq12d 4166 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
221220biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
222208, 221pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
223222expcom 425 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
224223a2d 24 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
22594, 99, 104, 109, 127, 224nnind 9950 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
22675, 225mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
227 cxpexp 20426 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  (π `
 M )  e. 
NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  ^ c  (π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
228125, 80, 227syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  M ) ) )
22980nn0red 10207 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e.  RR )
230 nndivre 9967 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
23178, 17, 230sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
232 readdcl 9006 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
233231, 49, 232sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
23475nnnn0d 10206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
235234nn0ge0d 10209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
236 ppiub 20855 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
(π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23778, 235, 236syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23849a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
239 flle 11135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
24029, 239syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )
24118, 240syl5eqbr 4186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
242 3re 10003 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
243 3pos 10016 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
244242, 243pm3.2i 442 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
245244a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
246 lediv1 9807 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( M  <_ 
( sqr `  (
2  x.  N ) )  <->  ( M  / 
3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
24778, 29, 245, 246syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( M  /  3 )  <_ 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
248241, 247mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  / 
3 ) )
249231, 84, 238, 248leadd1dd 9572 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  <_  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )
250229, 233, 86, 237, 249letrd 9159 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )
25142mulid1i 9025 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2527nnge1d 9974 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
253 1re 9023 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
254 lemul2 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
255253, 51, 254mp3an13 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25647, 255syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
257252, 256mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
258251, 257syl5eqbrr 4187 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
25919eluz1i 10427 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
26022, 258, 259sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
261 eluz2b1 10479 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( 2  x.  N
) ) )
262261simprbi 451 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
263260, 262syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
26423, 263, 229, 86cxpled 20478 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) ) )
265250, 264mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) )
266228, 265eqbrtrrd 4175 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
26777, 82, 87, 226, 266letrd 9159 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650   ifcif 3682   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    / cdiv 9609   NNcn 9932   2c2 9981   3c3 9982   5c5 9984   9c9 9988   10c10 9989   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   ...cfz 10975   |_cfl 11128    seq cseq 11250   ^cexp 11309    _C cbc 11520   sqrcsqr 11965   Primecprime 13006    pCnt cpc 13137    ^ c ccxp 20320  πcppi 20743
This theorem is referenced by:  bposlem6  20940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-pc 13138  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321  df-cxp 20322  df-ppi 20749
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