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Theorem bposlem5 20527
Description: Lemma for bpos 20532. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem5
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bpos.3 . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
2 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
3 5nn 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN
4 bpos.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
5 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65uztrn2 10245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
73, 4, 6sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87nnnn0d 10018 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
9 fzctr 10854 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
10 bccl2 11335 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
12 pccl 12902 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
132, 11, 12syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
1413ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
151, 14pcmptcl 12939 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
1615simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
17 3nn 9878 . . . . 5  |-  3  e.  NN
18 bpos.5 . . . . . 6  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
19 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
207nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
21 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2219, 20, 21sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2322zred 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
24 2nn 9877 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
25 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2624, 7, 25sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2726nnrpd 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2827rpge0d 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2923, 28resqrcld 11900 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
3029flcld 10930 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
31 sqr9 11759 . . . . . . . . 9  |-  ( sqr `  9 )  =  3
32 9re 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  RR
3332a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  e.  RR )
34 10re 9826 . . . . . . . . . . . 12  |-  10  e.  RR
3534a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  e.  RR )
36 lep1 9595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  e.  RR  ->  9  <_  ( 9  +  1 ) )
3732, 36ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  <_  ( 9  +  1 )
38 df-10 9812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  10  =  ( 9  +  1 )
3937, 38breqtrri 4048 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <_  10
4039a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  9  <_  10 )
413nncni 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  CC
42 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
43 5t2e10 9875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
4441, 42, 43mulcomli 8844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
45 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  5
)  ->  5  <_  N )
464, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  5  <_  N )
477nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
48 5re 9821 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  RR
49 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
50 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  2
5149, 50pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
52 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 5  <_  N 
<->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5348, 51, 52mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  (
5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
5447, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 5  <_  N  <->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
5546, 54mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  5 )  <_  ( 2  x.  N ) )
5644, 55syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  10  <_  ( 2  x.  N ) )
5733, 35, 23, 40, 56letrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  9  <_  ( 2  x.  N ) )
58 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
59 9pos 9837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  9
6058, 32, 59ltleii 8941 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  9
6132, 60pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )
6223, 28jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) ) )
63 sqrle 11746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 9  e.  RR  /\  0  <_  9 )  /\  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 2  x.  N
) ) )  -> 
( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6461, 62, 63sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 9  <_  (
2  x.  N )  <-> 
( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) )
6557, 64mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  9
)  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6631, 65syl5eqbrr 4057 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
6717nnzi 10047 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
68 flge 10937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
6929, 67, 68sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
7066, 69mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ) )
7167eluz1i 10237 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ( ZZ>= `  3 )  <->  ( ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ  /\  3  <_  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
7230, 70, 71sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
7318, 72syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
745uztrn2 10245 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7517, 73, 74sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
76 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  e.  NN )
7716, 75, 76syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7877nnred 9761 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
7975nnred 9761 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
80 ppicl 20369 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  (π `  M )  e.  NN0 )
8179, 80syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e. 
NN0 )
8226, 81nnexpcld 11266 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  NN )
8382nnred 9761 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  e.  RR )
84 nndivre 9781 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
8529, 17, 84sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
86 readdcl 8820 . . . 4  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
8785, 49, 86sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
8823, 28, 87recxpcld 20070 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
89 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
90 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  (π `  1 ) )
91 ppi1 20402 . . . . . . . 8  |-  (π `  1
)  =  0
9290, 91syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (π `  x )  =  0 )
9392oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ 0 ) )
9489, 93breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ 0 ) ) )
9594imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) ` 
1 )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ 0 ) ) ) )
96 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
97 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  (π `  x )  =  (π `  k ) )
9897oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) )
9996, 98breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
10099imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) ) ) ) )
101 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
102 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (π `  x )  =  (π `  ( k  +  1 ) ) )
103102oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )
104101, 103breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
105104imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
106 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
107 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  (π `  x )  =  (π `  M ) )
108107oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  x
) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) )
109106, 108breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( x  =  M  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 x )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  x ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
110109imbi2d 307 . . . 4  |-  ( x  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  x
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  x ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  M
) ) ) ) )
111 1z 10053 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
112 seq1 11059 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
113111, 112ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
114 1nn 9757 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
115 1nprm 12763 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  e.  Prime
116 eleq1 2343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
117115, 116mtbiri 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
118 iffalse 3572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
119117, 118syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
120 1ex 8833 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  _V
121119, 1, 120fvmpt 5602 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
122114, 121ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( F `
 1 )  =  1
123113, 122eqtri 2303 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
124 1le1 9396 . . . . . 6  |-  1  <_  1
125123, 124eqbrtri 4042 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  <_  1
12622zcnd 10118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
127126exp0d 11239 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ 0 )  =  1 )
128125, 127syl5breqr 4059 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 1 )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ 0 ) )
129 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
13016, 129sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
131130nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
132131adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  RR )
13326ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  NN )
134 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
135134ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  k  e.  RR )
136 ppicl 20369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  k )  e.  NN0 )
138133, 137nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  NN )
139138nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  e.  RR )
140 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
141 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  N
) )
142140, 141jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
14326, 142syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
144143ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )
145 lemul1 9608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  e.  RR  /\  (
( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  N ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <-> 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )
146132, 139, 144, 145syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
147 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
148147adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ZZ )
149 ppiprm 20389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
150148, 149sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  ( (π `  k )  +  1 ) )
151150oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) ) )
152126ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
153152, 137expp1d 11246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ ( (π `  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
154151, 153eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
155154breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
156146, 155bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
157 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
158157, 5syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
159 seqp1 11061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
160158, 159syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
161160adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
162 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
163162adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
164 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
165 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
166 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
167165, 166oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ ( n 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
168 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  1  =  1 )
169164, 167, 168ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
170 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  _V
171170, 120ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  e. 
_V
172169, 1, 171fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
173163, 172syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e. 
Prime ,  ( (
k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 )  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
174 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
175173, 174sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^
( ( k  +  1 )  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
1767adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
177 bposlem1 20523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
178176, 177sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( k  +  1 ) ^ ( ( k  +  1 ) 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
179175, 178eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
18015simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
181 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
182180, 162, 181syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
183182nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
184183adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
18523ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
186 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR )
187 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
188186, 187jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )
189130, 188syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  RR  /\  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
190189adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )
191 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) ) )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
192184, 185, 190, 191syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_  ( 2  x.  N )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
193179, 192mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
194161, 193eqbrtrd 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) ) )
195 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
19616, 162, 195syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
197196nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
19826adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
199130, 198nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  NN )
200199nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
201163nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
202 ppicl 20369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  +  1 )  e.  RR  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  e.  NN0 )
203201, 202syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (π `  (
k  +  1 ) )  e.  NN0 )
204198, 203nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN )
205204nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
206 letr 8914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
207197, 200, 205, 206syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
208207adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  /\  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( 2  x.  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
209194, 208mpand 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( 2  x.  N
) )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  (
k  +  1 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
210156, 209sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
211160adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
212 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ (
( k  +  1 )  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 )  =  1 )
213173, 212sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  (
k  +  1 ) )  =  1 )
214213oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  1 ) )
215130adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
216215nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  CC )
217216mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  x.  1 )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )
218211, 214, 2173eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )
219 ppinprm 20390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
220148, 219sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  (π `  ( k  +  1 ) )  =  (π `  k ) )
221220oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )
222218, 221breq12d 4036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) )  <-> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) ) )
223222biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
224210, 223pm2.61dan 766 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  <_  (
( 2  x.  N
) ^ (π `  k
) )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
225224expcom 424 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) )  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
226225a2d 23 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  <_  ( (
2  x.  N ) ^ (π `  k ) ) )  ->  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
22795, 100, 105, 110, 128, 226nnind 9764 . . 3  |-  ( M  e.  NN  ->  ( ph  ->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) ) )
22875, 227mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
229 cxpexp 20015 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  (π `
 M )  e. 
NN0 )  ->  (
( 2  x.  N
)  ^ c  (π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) ) )
230126, 81, 229syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  =  ( ( 2  x.  N ) ^
(π `  M ) ) )
23181nn0red 10019 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  e.  RR )
232 nndivre 9781 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
23379, 17, 232sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  e.  RR )
234 readdcl 8820 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  /  3
)  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
235233, 49, 234sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  e.  RR )
23675nnnn0d 10018 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
237236nn0ge0d 10021 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  M )
238 ppiub 20443 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  0  <_  M )  -> 
(π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
23979, 237, 238syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( M  / 
3 )  +  2 ) )
24049a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
241 flle 10931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
24229, 241syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )
24318, 242syl5eqbr 4056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
244 3re 9817 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  RR
245 3pos 9830 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  3
246244, 245pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 )
247246a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )
248 lediv1 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR  /\  (
3  e.  RR  /\  0  <  3 ) )  ->  ( M  <_ 
( sqr `  (
2  x.  N ) )  <->  ( M  / 
3 )  <_  (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
24979, 29, 247, 248syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  <->  ( M  /  3 )  <_ 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 ) ) )
250243, 249mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M  /  3
)  <_  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  / 
3 ) )
251233, 85, 240, 250leadd1dd 9386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  / 
3 )  +  2 )  <_  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )
252231, 235, 87, 239, 251letrd 8973 . . . 4  |-  ( ph  ->  (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )
25342mulid1i 8839 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
2547nnge1d 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <_  N )
255 1re 8837 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
256 lemul2 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
257255, 51, 256mp3an13 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  RR  ->  (
1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
25847, 257syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
259254, 258mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) )
260253, 259syl5eqbrr 4057 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
26119eluz1i 10237 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
26222, 260, 261sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
263 eluz2b1 10289 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( 2  x.  N
) ) )
264263simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
265262, 264syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
26623, 265, 231, 87cxpled 20067 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (π `  M )  <_ 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) ) )
267252, 266mpbid 201 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
(π `  M ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) ) )
268230, 267eqbrtrrd 4045 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N ) ^ (π `  M ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
26978, 83, 88, 228, 268letrd 8973 1  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   5c5 9798   9c9 9802   10c10 9803   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   |_cfl 10924    seq cseq 11046   ^cexp 11104    _C cbc 11315   sqrcsqr 11718   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889    ^ c ccxp 19913  πcppi 20331
This theorem is referenced by:  bposlem6  20528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-ppi 20337
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