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Theorem bposlem6 20528
Description: Lemma for bpos 20532. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for  N large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem6  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem6
StepHypRef Expression
1 4nn 9879 . . . . 5  |-  4  e.  NN
2 5nn 9880 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10263 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10245 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 nnexpcl 11116 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
91, 7, 8sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  NN )
109nnred 9761 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  RR )
1110, 6nndivred 9794 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR )
12 fzctr 10854 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
137, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N ) ) )
14 bccl2 11335 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1615nnred 9761 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )
17 2nn 9877 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9769 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 6, 18sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnrpd 10389 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2119nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
2220rpge0d 10394 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2321, 22resqrcld 11900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
24 3nn 9878 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
25 nndivre 9781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
27 2re 9815 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
28 readdcl 8820 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
2926, 27, 28sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
3020, 29rpcxpcld 20077 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
32 2rp 10359 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
33 nnmulcl 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
341, 6, 33sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
3534nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  RR )
36 nndivre 9781 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
3735, 24, 36sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
38 5re 9821 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
39 resubcl 9111 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
41 rpcxpcl 20023 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4232, 40, 41sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4342rpred 10390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR )
4431, 43remulcld 8863 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) )  e.  RR )
45 df-5 9807 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
461nnzi 10047 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
47 uzid 10242 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
48 peano2uz 10272 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
4946, 47, 48mp2b 9 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
5045, 49eqeltri 2353 . . . 4  |-  5  e.  ( ZZ>= `  4 )
51 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
4 )  =  (
ZZ>= `  4 )
5251uztrn2 10245 . . . 4  |-  ( ( 5  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  5 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
5350, 3, 52sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
54 bclbnd 20519 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5553, 54syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
56 bpos.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
57 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
58 pccl 12902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
5957, 15, 58syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
6059ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
6156, 60pcmptcl 12939 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
6261simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
63 bpos.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
64 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
65 bpos.5 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
663, 63, 56, 64, 65bposlem4 20526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
67 elfzuz 10794 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
6866, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
694uztrn2 10245 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7024, 68, 69sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
71 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  e.  NN )
7262, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7372nnred 9761 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
74 2z 10054 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
75 nndivre 9781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7621, 24, 75sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7776flcld 10930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
7864, 77syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
79 zmulcl 10066 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
8074, 78, 79sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
812nnzi 10047 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
82 zsubcl 10061 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8380, 81, 82sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8483zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  RR )
85 rpcxpcl 20023 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8632, 84, 85sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8786rpred 10390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR )
8873, 87remulcld 8863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
893, 63, 56, 64bposlem3 20525 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
90 elfzuz3 10795 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9166, 90syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9256, 60, 70, 91pcmptdvds 12942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )
9372nnzd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
9472nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
95 uztrn 10244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
9691, 68, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
974uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  K  e.  NN )
9824, 96, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
99 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  K  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  e.  NN )
10062, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
101100nnzd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )
102 dvdsval2 12534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  e.  ZZ ) )
10393, 94, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  ||  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  e.  ZZ ) )
10492, 103mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ )
105104zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  RR )
10670nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
107 eluzelre 10239 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  RR )
10891, 107syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
109 eluzle 10240 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
11091, 109syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
111 efchtdvds 20397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  <_  K )  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  ||  ( exp `  ( theta `  K
) ) )
112106, 108, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) ) )
113 efchtcl 20349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  e.  NN )
114106, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  NN )
115114nnzd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ )
116114nnne0d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =/=  0 )
117 efchtcl 20349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  NN )
118108, 117syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  NN )
119118nnzd 10116 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )
120 dvdsval2 12534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  M
) )  =/=  0  /\  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
121115, 116, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
122112, 121mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )
123122zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  RR )
124 prmz 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
125 fllt 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
) )
12623, 124, 125syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <  p ) )
12765breq1i 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
)
128126, 127syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  M  <  p ) )
129124zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
130 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M )
)
131106, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M ) )
132128, 131bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  -.  p  <_  M ) )
133 bposlem1 20523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
1346, 133sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
135129adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
136 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
137 pccl 12902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
138136, 15, 137syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
139135, 138reexpcld 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
14021adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
141135resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ 2 )  e.  RR )
142 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( p ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 ) )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^ 2 ) ) )
143139, 140, 141, 142syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  ( 2  x.  N
)  <  ( p ^ 2 ) )  ->  ( p ^
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
144134, 143mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^
2 ) ) )
145 resqrth 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
14621, 22, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
147146breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
148147adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
149138nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
15074a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  2  e.  ZZ )
151 prmuz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
152 eluz2b1 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  ZZ  /\  1  < 
p ) )
153152simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
154151, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
156135, 149, 150, 155ltexp2d 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
157144, 148, 1563imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2 ) )
158 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
159158breq2i 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) )
160157, 159syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
16123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
16221, 22sqrge0d 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
163162adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
164 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
165164nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
166165rpge0d 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  0  <_  p )
167166adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  p )
168161, 135, 163, 167lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 ) ) )
169 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
170 zleltp1 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
171149, 169, 170sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
172160, 168, 1713imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
) )
173132, 172sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  M  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1 ) )
174173imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  M )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1 )
175174adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
)
176 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
177176adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
178 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
179178adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  1 )
180175, 177, 1793brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
181 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
182 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
183 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  0 )
184182, 183breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  ( if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  <->  0  <_  0 ) )
185181, 184mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
186185adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
187180, 186pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
18860adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
18970adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  M  e.  NN )
190 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
191 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
19291adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
19356, 188, 189, 190, 191, 192pcmpt2 12941 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
194 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
195194prmorcht 20416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K ) )
19698, 195syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
) )
197194prmorcht 20416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 M ) )
19870, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) )
199196, 198oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M ) ) )
200199adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )
201200oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) ) )
202 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
203202exp1d 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
204203ifeq1d 3579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
205204mpteq2ia 4102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
206205eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
207 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
208207a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
209208ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
210209adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
211 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
212206, 210, 189, 190, 211, 192pcmpt2 12941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
213201, 212eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
214187, 193, 2133brtr4d 4053 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) ) )
215214ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
216 pc2dvds 12931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
217104, 122, 216syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
218215, 217mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  ||  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
219118nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR )
220114nnred 9761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR )
221118nngt0d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  K )
) )
222114nngt0d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
223219, 220, 221, 222divgt0d 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
224 elnnz 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN  <->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  ( exp `  ( theta `  M )
) ) ) )
225122, 223, 224sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )
226 dvdsle 12574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
227104, 225, 226syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
228218, 227mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <_  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
229 nndivre 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
230219, 1, 229sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
231 4re 9819 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
232231a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
233 6re 9822 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  RR
234233a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  e.  RR )
235 4lt6 9897 . . . . . . . . . 10  |-  4  <  6
236235a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  <  6 )
237 cht3 20411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
238237fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  ( exp `  ( log `  6
) )
239 6pos 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
240233, 239elrpii 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
241 reeflog 19934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6 )
242240, 241ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6
243238, 242eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  6
244 3re 9817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
245244a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
246 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  M )
24768, 246syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  M )
248 chtwordi 20394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  3  <_  M )  ->  ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )
)
249245, 106, 247, 248syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  3 )  <_  ( theta `  M )
)
250 chtcl 20347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  ->  ( theta `  3 )  e.  RR )
251244, 250ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  e.  RR
252 chtcl 20347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  RR  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
253106, 252syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
254 efle 12398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  3 )  e.  RR  /\  ( theta `  M )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
255251, 253, 254sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  3
)  <_  ( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 )
)  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) ) )
256249, 255mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) )
257243, 256syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) )
258232, 234, 220, 236, 257ltletrd 8976 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
259 4pos 9832 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
260259a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
261 ltdiv2OLD 9642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  RR )  /\  ( 0  <  4  /\  0  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  /\  0  <  ( exp `  ( theta `  K
) ) ) )  ->  ( 4  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) ) )
262232, 220, 219, 260, 222, 221, 261syl33anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  <  ( exp `  ( theta `  M
) )  <->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  < 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 ) ) )
263258, 262mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) )
26427a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
265 2lt3 9887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
266265a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  <  3 )
267245, 106, 108, 247, 110letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  K )
268264, 245, 108, 266, 267ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <  K )
269 chtub 20451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  2  <  K )  -> 
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
270108, 268, 269syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
271 chtcl 20347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
272108, 271syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
273 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
27432, 273ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR
27524nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
276 zsubcl 10061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
27780, 275, 276sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
278277zred 10117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )
279 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
280274, 278, 279sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
281 eflt 12397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  K )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <-> 
( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
282272, 280, 281syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  K
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
283270, 282mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
284 reexplog 19948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
28532, 277, 284sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
286277zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC )
287274recni 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
288 mulcom 8823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
289286, 287, 288sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
290289fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( 2  x.  K )  -  3 )  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
291285, 290eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
292283, 291breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
293 3p2e5 9855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  2 )  =  5
294293oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  ( 5  -  2 )
295 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
296 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
297 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3 )
298295, 296, 297mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3
299294, 298eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  -  2 )  =  3
300299oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  K )  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  K )  -  3 )
30180zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
3022nncni 9756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  CC
303 subsub 9077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  CC  /\  5  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
304302, 296, 303mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
305301, 304syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  (
5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
306300, 305syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
307306oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) ) )
308 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
309 cxpexpz 20014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
310296, 308, 309mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ  ->  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) ) )
311277, 310syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
31283zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  CC )
313296, 308pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
314 cxpadd 20026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  x.  ( 2  ^ c 
2 ) ) )
315313, 296, 314mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  CC  ->  (
2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
316312, 315syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  (
2  ^ c  2 ) ) )
317307, 311, 3163eqtr3d 2323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
318 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
319 cxpexp 20015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c 
2 )  =  ( 2 ^ 2 ) )
320296, 318, 319mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  ( 2 ^ 2 )
321 sq2 11199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
322320, 321eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  4
323322oveq2i 5869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 )
324317, 323syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) )
325292, 324breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  4 ) )
326231, 259pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
327326a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
328 ltdivmul2 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
329219, 87, 327, 328syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  4 )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
330325, 329mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
331123, 230, 87, 263, 330lttrd 8977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
332105, 123, 87, 228, 331lelttrd 8974 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
333100nnred 9761 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR )
334 nnre 9753 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
335 nngt0 9775 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
336334, 335jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
33772, 336syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
338 ltdivmul 9628 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR  /\  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
339333, 87, 337, 338syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
340332, 339mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  < 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34189, 340eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34231, 87remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
3433, 63, 56, 64, 65bposlem5 20527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
34473, 31, 86lemul1d 10429 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) ) ) )
345343, 344mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34680zred 10117 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  RR )
34738a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
348 flle 10931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  3
) )
34976, 348syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
35064, 349syl5eqbr 4056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
35178zred 10117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
352 2pos 9828 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
35327, 352pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
354353a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
355 lemul2 9609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) ) ) )
356351, 76, 354, 355syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <-> 
( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) ) )
357350, 356mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
35819nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
359 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
360295, 359pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
361 divass 9442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
362296, 360, 361mp3an13 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
363358, 362syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
364 2t2e4 9871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
365364oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N
)
3666nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
367 mulass 8825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
368296, 296, 367mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
369366, 368syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  N
)  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N ) ) )
370365, 369syl5reqr 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( 4  x.  N ) )
371370oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
372363, 371eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
373357, 372breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( (
4  x.  N )  /  3 ) )
374346, 37, 347, 373lesub1dd 9388 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  <_  ( (
( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 ) )
375 1lt2 9886 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
376375a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
377264, 376, 84, 40cxpled 20067 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  <_  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  <-> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) ) )
378374, 377mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) )
37987, 43, 30lemul2d 10430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <_ 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  <->  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) ) )
380378, 379mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
38188, 342, 44, 345, 380letrd 8973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
38216, 88, 44, 341, 381ltletrd 8976 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
38311, 16, 44, 55, 382lttrd 8977 1  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924    seq cseq 11046   ^cexp 11104    _C cbc 11315   sqrcsqr 11718   expce 12343    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   logclog 19912    ^ c ccxp 19913   thetaccht 20328
This theorem is referenced by:  bposlem9  20531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-cht 20334  df-ppi 20337
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