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Theorem bposlem6 21078
Description: Lemma for bpos 21082. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for  N large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem6  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem6
StepHypRef Expression
1 4nn 10140 . . . . 5  |-  4  e.  NN
2 5nn 10141 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10526 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10508 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 nnexpcl 11399 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
91, 7, 8sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  NN )
109nnred 10020 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  RR )
1110, 6nndivred 10053 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR )
12 fzctr 11122 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
137, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N ) ) )
14 bccl2 11619 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1615nnred 10020 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )
17 2nn 10138 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 10028 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 6, 18sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnrpd 10652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2119nnred 10020 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
2220rpge0d 10657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2321, 22resqrcld 12225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
24 3nn 10139 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
25 nndivre 10040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
27 2re 10074 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
28 readdcl 9078 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
2926, 27, 28sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
3020, 29rpcxpcld 20626 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
32 2rp 10622 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
33 nnmulcl 10028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
341, 6, 33sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
3534nnred 10020 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  RR )
36 nndivre 10040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
3735, 24, 36sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
38 5re 10080 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
39 resubcl 9370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
41 rpcxpcl 20572 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4232, 40, 41sylancr 646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4342rpred 10653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR )
4431, 43remulcld 9121 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) )  e.  RR )
45 df-5 10066 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
461nnzi 10310 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
47 uzid 10505 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
48 peano2uz 10535 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
4946, 47, 48mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
5045, 49eqeltri 2508 . . . 4  |-  5  e.  ( ZZ>= `  4 )
51 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
4 )  =  (
ZZ>= `  4 )
5251uztrn2 10508 . . . 4  |-  ( ( 5  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  5 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
5350, 3, 52sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
54 bclbnd 21069 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5553, 54syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
56 bpos.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
57 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
58 pccl 13228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
5957, 15, 58syl2anr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
6059ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
6156, 60pcmptcl 13265 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
6261simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
63 bpos.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
64 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
65 bpos.5 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
663, 63, 56, 64, 65bposlem4 21076 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
67 elfzuz 11060 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
694uztrn2 10508 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7024, 68, 69sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7162, 70ffvelrnd 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7271nnred 10020 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
73 2z 10317 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
74 nndivre 10040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7521, 24, 74sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7675flcld 11212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
7764, 76syl5eqel 2522 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
78 zmulcl 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
7973, 77, 78sylancr 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
802nnzi 10310 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
81 zsubcl 10324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8279, 80, 81sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8382zred 10380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  RR )
84 rpcxpcl 20572 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8532, 83, 84sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8685rpred 10653 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR )
8772, 86remulcld 9121 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
883, 63, 56, 64bposlem3 21075 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
89 elfzuz3 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9066, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9156, 60, 70, 90pcmptdvds 13268 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )
9271nnzd 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
9371nnne0d 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
94 uztrn 10507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
9590, 68, 94syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
964uztrn2 10508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  K  e.  NN )
9724, 95, 96sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
9862, 97ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
9998nnzd 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )
100 dvdsval2 12860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  e.  ZZ ) )
10192, 93, 99, 100syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  ||  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  e.  ZZ ) )
10291, 101mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ )
103102zred 10380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  RR )
10470nnred 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
105 eluzelre 10502 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  RR )
10690, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
107 eluzle 10503 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
10890, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
109 efchtdvds 20947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  <_  K )  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  ||  ( exp `  ( theta `  K
) ) )
110104, 106, 108, 109syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) ) )
111 efchtcl 20899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  e.  NN )
112104, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  NN )
113112nnzd 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ )
114112nnne0d 10049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =/=  0 )
115 efchtcl 20899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  NN )
116106, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  NN )
117116nnzd 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )
118 dvdsval2 12860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  M
) )  =/=  0  /\  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
119113, 114, 117, 118syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
120110, 119mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )
121120zred 10380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  RR )
122 prmz 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
123 fllt 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
) )
12423, 122, 123syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <  p ) )
12565breq1i 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
)
126124, 125syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  M  <  p ) )
127122zred 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
128 ltnle 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M )
)
129104, 127, 128syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M ) )
130126, 129bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  -.  p  <_  M ) )
131 bposlem1 21073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
1326, 131sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
133127adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
134 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
135 pccl 13228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
136134, 15, 135syl2anr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
137133, 136reexpcld 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
13821adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
139133resqcld 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ 2 )  e.  RR )
140 lelttr 9170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( p ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 ) )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^ 2 ) ) )
141137, 138, 139, 140syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  ( 2  x.  N
)  <  ( p ^ 2 ) )  ->  ( p ^
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
142132, 141mpand 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^
2 ) ) )
143 resqrth 12066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
14421, 22, 143syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
145144breq1d 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
146145adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
147136nn0zd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
14873a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  2  e.  ZZ )
149 prmuz2 13102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
150 eluz2b1 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  ZZ  /\  1  < 
p ) )
151150simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
152149, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
153152adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
154133, 147, 148, 153ltexp2d 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
155142, 146, 1543imtr4d 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2 ) )
156 df-2 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
157156breq2i 4223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) )
158155, 157syl6ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
15923adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
16021, 22sqrge0d 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
161160adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
162 prmnn 13087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
163162nnrpd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
164163rpge0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  0  <_  p )
165164adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  p )
166159, 133, 161, 165lt2sqd 11562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 ) ) )
167 1z 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
168 zleltp1 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
169147, 167, 168sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
170158, 166, 1693imtr4d 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
) )
171130, 170sylbird 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  M  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1 ) )
172171imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  M )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1 )
173172adantrl 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
)
174 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
175174adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
176 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
177176adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  1 )
178173, 175, 1773brtr4d 4245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
179 0le0 10086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
180 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
181 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  0 )
182180, 181breq12d 4228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  ( if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  <->  0  <_  0 ) )
183179, 182mpbiri 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
184183adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
185178, 184pm2.61dan 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
18660adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
18770adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  M  e.  NN )
188 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
189 oveq1 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
19090adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
19156, 186, 187, 188, 189, 190pcmpt2 13267 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
192 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
193192prmorcht 20966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K ) )
19497, 193syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
) )
195192prmorcht 20966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 M ) )
19670, 195syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) )
197194, 196oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M ) ) )
198197adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )
199198oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) ) )
200 nncn 10013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
201200exp1d 11523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
202201ifeq1d 3755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
203202mpteq2ia 4294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
204203eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
205 1nn0 10242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
207206ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
208207adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
209 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
210204, 208, 187, 188, 209, 190pcmpt2 13267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
211199, 210eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
212185, 191, 2113brtr4d 4245 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) ) )
213212ralrimiva 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
214 pc2dvds 13257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
215102, 120, 214syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
216213, 215mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  ||  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
217116nnred 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR )
218112nnred 10020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR )
219116nngt0d 10048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  K )
) )
220112nngt0d 10048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
221217, 218, 219, 220divgt0d 9951 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
222 elnnz 10297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN  <->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  ( exp `  ( theta `  M )
) ) ) )
223120, 221, 222sylanbrc 647 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )
224 dvdsle 12900 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
225102, 223, 224syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
226216, 225mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <_  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
227 nndivre 10040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
228217, 1, 227sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
229 4re 10078 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
230229a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
231 6re 10081 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  RR
232231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  e.  RR )
233 4lt6 10158 . . . . . . . . . 10  |-  4  <  6
234233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  <  6 )
235 cht3 20961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
236235fveq2i 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  ( exp `  ( log `  6
) )
237 6pos 10093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
238231, 237elrpii 10620 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
239 reeflog 20480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6 )
240238, 239ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6
241236, 240eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  6
242 3re 10076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
243242a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
244 eluzle 10503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  M )
24568, 244syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  M )
246 chtwordi 20944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  3  <_  M )  ->  ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )
)
247243, 104, 245, 246syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  3 )  <_  ( theta `  M )
)
248 chtcl 20897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  ->  ( theta `  3 )  e.  RR )
249242, 248ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  e.  RR
250 chtcl 20897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  RR  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
251104, 250syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
252 efle 12724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  3 )  e.  RR  /\  ( theta `  M )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
253249, 251, 252sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  3
)  <_  ( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 )
)  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) ) )
254247, 253mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) )
255241, 254syl5eqbrr 4249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) )
256230, 232, 218, 234, 255ltletrd 9235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
257 4pos 10091 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
258257a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
259 ltdiv2OLD 9901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  RR )  /\  ( 0  <  4  /\  0  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  /\  0  <  ( exp `  ( theta `  K
) ) ) )  ->  ( 4  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) ) )
260230, 218, 217, 258, 220, 219, 259syl33anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  <  ( exp `  ( theta `  M
) )  <->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  < 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 ) ) )
261256, 260mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) )
26227a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
263 2lt3 10148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
264263a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  <  3 )
265243, 104, 106, 245, 108letrd 9232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  K )
266262, 243, 106, 264, 265ltletrd 9235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <  K )
267 chtub 21001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  2  <  K )  -> 
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
268106, 266, 267syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
269 chtcl 20897 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
270106, 269syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
271 relogcl 20478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
27232, 271ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR
27324nnzi 10310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
274 zsubcl 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
27579, 273, 274sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
276275zred 10380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )
277 remulcl 9080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
278272, 276, 277sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
279 eflt 12723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  K )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <-> 
( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
280270, 278, 279syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  K
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
281268, 280mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
282 reexplog 20494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
28332, 275, 282sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
284275zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC )
285272recni 9107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
286 mulcom 9081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
287284, 285, 286sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
288287fveq2d 5735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( 2  x.  K )  -  3 )  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
289283, 288eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
290281, 289breqtrrd 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
291 3p2e5 10116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  2 )  =  5
292291oveq1i 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  ( 5  -  2 )
293 3cn 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
294 2cn 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
295 pncan 9316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3 )
296293, 294, 295mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3
297292, 296eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  -  2 )  =  3
298297oveq2i 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  K )  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  K )  -  3 )
29979zcnd 10381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
3002nncni 10015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  CC
301 subsub 9336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  CC  /\  5  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
302300, 294, 301mp3an23 1272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
303299, 302syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  (
5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
304298, 303syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
305304oveq2d 6100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) ) )
306 2ne0 10088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
307 cxpexpz 20563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
308294, 306, 307mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ  ->  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) ) )
309275, 308syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
31082zcnd 10381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  CC )
311294, 306pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
312 cxpadd 20575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  x.  ( 2  ^ c 
2 ) ) )
313311, 294, 312mp3an13 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  CC  ->  (
2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
314310, 313syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  (
2  ^ c  2 ) ) )
315305, 309, 3143eqtr3d 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
316 2nn0 10243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
317 cxpexp 20564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c 
2 )  =  ( 2 ^ 2 ) )
318294, 316, 317mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  ( 2 ^ 2 )
319 sq2 11482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
320318, 319eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  4
321320oveq2i 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 )
322315, 321syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) )
323290, 322breqtrd 4239 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  4 ) )
324229, 257pm3.2i 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
325324a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
326 ltdivmul2 9890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
327217, 86, 325, 326syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  4 )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
328323, 327mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
329121, 228, 86, 261, 328lttrd 9236 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
330103, 121, 86, 226, 329lelttrd 9233 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
33198nnred 10020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR )
332 nnre 10012 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
333 nngt0 10034 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
334332, 333jca 520 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
33571, 334syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
336 ltdivmul 9887 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR  /\  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
337331, 86, 335, 336syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
338330, 337mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  < 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
33988, 338eqbrtrrd 4237 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34031, 86remulcld 9121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
3413, 63, 56, 64, 65bposlem5 21077 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
34272, 31, 85lemul1d 10692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) ) ) )
343341, 342mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34479zred 10380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  RR )
34538a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
346 flle 11213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  3
) )
34775, 346syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
34864, 347syl5eqbr 4248 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
34977zred 10380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
350 2pos 10087 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
35127, 350pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
352351a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
353 lemul2 9868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) ) ) )
354349, 75, 352, 353syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <-> 
( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) ) )
355348, 354mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
35619nncnd 10021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
357 3ne0 10090 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
358293, 357pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
359 divass 9701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
360294, 358, 359mp3an13 1271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
361356, 360syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
362 2t2e4 10132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
363362oveq1i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N
)
3646nncnd 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
365 mulass 9083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
366294, 294, 365mp3an12 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
367364, 366syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  N
)  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N ) ) )
368363, 367syl5reqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( 4  x.  N ) )
369368oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
370361, 369eqtr3d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
371355, 370breqtrd 4239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( (
4  x.  N )  /  3 ) )
372344, 37, 345, 371lesub1dd 9647 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  <_  ( (
( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 ) )
373 1lt2 10147 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
374373a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
375262, 374, 83, 40cxpled 20616 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  <_  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  <-> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) ) )
376372, 375mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) )
37786, 43, 30lemul2d 10693 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <_ 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  <->  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) ) )
378376, 377mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
37987, 340, 44, 343, 378letrd 9232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
38016, 87, 44, 339, 379ltletrd 9235 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
38111, 16, 44, 55, 380lttrd 9236 1  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   ifcif 3741   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125    <_ cle 9126    - cmin 9296    / cdiv 9682   NNcn 10005   2c2 10054   3c3 10055   4c4 10056   5c5 10057   6c6 10058   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   RR+crp 10617   ...cfz 11048   |_cfl 11206    seq cseq 11328   ^cexp 11387    _C cbc 11598   sqrcsqr 12043   expce 12669    || cdivides 12857   Primecprime 13084    pCnt cpc 13215   logclog 20457    ^ c ccxp 20458   thetaccht 20878
This theorem is referenced by:  bposlem9  21081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-prm 13085  df-pc 13216  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-mulg 14820  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-cxp 20460  df-cht 20884  df-ppi 20887
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