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Theorem bposlem6 20544
Description: Lemma for bpos 20548. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for  N large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem6  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem6
StepHypRef Expression
1 4nn 9895 . . . . 5  |-  4  e.  NN
2 5nn 9896 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10279 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10261 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 nnexpcl 11132 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
91, 7, 8sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  NN )
109nnred 9777 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  RR )
1110, 6nndivred 9810 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR )
12 fzctr 10870 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
137, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N ) ) )
14 bccl2 11351 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1615nnred 9777 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )
17 2nn 9893 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9785 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 6, 18sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnrpd 10405 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2119nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
2220rpge0d 10410 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2321, 22resqrcld 11916 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
24 3nn 9894 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
25 nndivre 9797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
27 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
28 readdcl 8836 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
2926, 27, 28sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
3020, 29rpcxpcld 20093 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
32 2rp 10375 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
33 nnmulcl 9785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
341, 6, 33sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
3534nnred 9777 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  RR )
36 nndivre 9797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
3735, 24, 36sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
38 5re 9837 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
39 resubcl 9127 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
41 rpcxpcl 20039 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4232, 40, 41sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4342rpred 10406 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR )
4431, 43remulcld 8879 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) )  e.  RR )
45 df-5 9823 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
461nnzi 10063 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
47 uzid 10258 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
48 peano2uz 10288 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
4946, 47, 48mp2b 9 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
5045, 49eqeltri 2366 . . . 4  |-  5  e.  ( ZZ>= `  4 )
51 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
4 )  =  (
ZZ>= `  4 )
5251uztrn2 10261 . . . 4  |-  ( ( 5  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  5 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
5350, 3, 52sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
54 bclbnd 20535 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5553, 54syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
56 bpos.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
57 id 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
58 pccl 12918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
5957, 15, 58syl2anr 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
6059ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
6156, 60pcmptcl 12955 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
6261simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
63 bpos.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
64 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
65 bpos.5 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
663, 63, 56, 64, 65bposlem4 20542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
67 elfzuz 10810 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
6866, 67syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
694uztrn2 10261 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7024, 68, 69sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
71 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  e.  NN )
7262, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7372nnred 9777 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
74 2z 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
75 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7621, 24, 75sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7776flcld 10946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
7864, 77syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
79 zmulcl 10082 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
8074, 78, 79sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
812nnzi 10063 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
82 zsubcl 10077 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8380, 81, 82sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8483zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  RR )
85 rpcxpcl 20039 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8632, 84, 85sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8786rpred 10406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR )
8873, 87remulcld 8879 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
893, 63, 56, 64bposlem3 20541 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
90 elfzuz3 10811 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9166, 90syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9256, 60, 70, 91pcmptdvds 12958 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )
9372nnzd 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
9472nnne0d 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
95 uztrn 10260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
9691, 68, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
974uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  K  e.  NN )
9824, 96, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
99 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  K  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  e.  NN )
10062, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
101100nnzd 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )
102 dvdsval2 12550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  e.  ZZ ) )
10393, 94, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  ||  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  e.  ZZ ) )
10492, 103mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ )
105104zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  RR )
10670nnred 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
107 eluzelre 10255 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  RR )
10891, 107syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
109 eluzle 10256 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
11091, 109syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
111 efchtdvds 20413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  <_  K )  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  ||  ( exp `  ( theta `  K
) ) )
112106, 108, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) ) )
113 efchtcl 20365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  e.  NN )
114106, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  NN )
115114nnzd 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ )
116114nnne0d 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =/=  0 )
117 efchtcl 20365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  NN )
118108, 117syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  NN )
119118nnzd 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )
120 dvdsval2 12550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  M
) )  =/=  0  /\  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
121115, 116, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
122112, 121mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )
123122zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  RR )
124 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
125 fllt 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
) )
12623, 124, 125syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <  p ) )
12765breq1i 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
)
128126, 127syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  M  <  p ) )
129124zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
130 ltnle 8918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M )
)
131106, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M ) )
132128, 131bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  -.  p  <_  M ) )
133 bposlem1 20539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
1346, 133sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
135129adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
136 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
137 pccl 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
138136, 15, 137syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
139135, 138reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
14021adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
141135resqcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ 2 )  e.  RR )
142 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( p ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 ) )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^ 2 ) ) )
143139, 140, 141, 142syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  ( 2  x.  N
)  <  ( p ^ 2 ) )  ->  ( p ^
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
144134, 143mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^
2 ) ) )
145 resqrth 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
14621, 22, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
147146breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
148147adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
149138nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
15074a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  2  e.  ZZ )
151 prmuz2 12792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
152 eluz2b1 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  ZZ  /\  1  < 
p ) )
153152simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
154151, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
156135, 149, 150, 155ltexp2d 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
157144, 148, 1563imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2 ) )
158 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
159158breq2i 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) )
160157, 159syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
16123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
16221, 22sqrge0d 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
163162adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
164 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
165164nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
166165rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  0  <_  p )
167166adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  p )
168161, 135, 163, 167lt2sqd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 ) ) )
169 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
170 zleltp1 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
171149, 169, 170sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
172160, 168, 1713imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
) )
173132, 172sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  M  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1 ) )
174173imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  M )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1 )
175174adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
)
176 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
177176adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
178 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
179178adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  1 )
180175, 177, 1793brtr4d 4069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
181 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
182 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
183 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  0 )
184182, 183breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  ( if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  <->  0  <_  0 ) )
185181, 184mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
186185adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
187180, 186pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
18860adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
18970adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  M  e.  NN )
190 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
191 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
19291adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
19356, 188, 189, 190, 191, 192pcmpt2 12957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
194 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
195194prmorcht 20432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K ) )
19698, 195syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
) )
197194prmorcht 20432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 M ) )
19870, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) )
199196, 198oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M ) ) )
200199adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )
201200oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) ) )
202 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
203202exp1d 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
204203ifeq1d 3592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
205204mpteq2ia 4118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
206205eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
207 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
208207a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
209208ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
210209adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
211 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
212206, 210, 189, 190, 211, 192pcmpt2 12957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
213201, 212eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
214187, 193, 2133brtr4d 4069 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) ) )
215214ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
216 pc2dvds 12947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
217104, 122, 216syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
218215, 217mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  ||  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
219118nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR )
220114nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR )
221118nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  K )
) )
222114nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
223219, 220, 221, 222divgt0d 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
224 elnnz 10050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN  <->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  ( exp `  ( theta `  M )
) ) ) )
225122, 223, 224sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )
226 dvdsle 12590 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
227104, 225, 226syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
228218, 227mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <_  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
229 nndivre 9797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
230219, 1, 229sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
231 4re 9835 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
232231a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
233 6re 9838 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  RR
234233a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  e.  RR )
235 4lt6 9913 . . . . . . . . . 10  |-  4  <  6
236235a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  <  6 )
237 cht3 20427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
238237fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  ( exp `  ( log `  6
) )
239 6pos 9850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
240233, 239elrpii 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
241 reeflog 19950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6 )
242240, 241ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6
243238, 242eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  6
244 3re 9833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
245244a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
246 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  M )
24768, 246syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  M )
248 chtwordi 20410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  3  <_  M )  ->  ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )
)
249245, 106, 247, 248syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  3 )  <_  ( theta `  M )
)
250 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  ->  ( theta `  3 )  e.  RR )
251244, 250ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  e.  RR
252 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  RR  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
253106, 252syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
254 efle 12414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  3 )  e.  RR  /\  ( theta `  M )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
255251, 253, 254sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  3
)  <_  ( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 )
)  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) ) )
256249, 255mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) )
257243, 256syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) )
258232, 234, 220, 236, 257ltletrd 8992 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
259 4pos 9848 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
260259a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
261 ltdiv2OLD 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  RR )  /\  ( 0  <  4  /\  0  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  /\  0  <  ( exp `  ( theta `  K
) ) ) )  ->  ( 4  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) ) )
262232, 220, 219, 260, 222, 221, 261syl33anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  <  ( exp `  ( theta `  M
) )  <->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  < 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 ) ) )
263258, 262mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) )
26427a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
265 2lt3 9903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
266265a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  <  3 )
267245, 106, 108, 247, 110letrd 8989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  K )
268264, 245, 108, 266, 267ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <  K )
269 chtub 20467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  2  <  K )  -> 
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
270108, 268, 269syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
271 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
272108, 271syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
273 relogcl 19948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
27432, 273ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR
27524nnzi 10063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
276 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
27780, 275, 276sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
278277zred 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )
279 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
280274, 278, 279sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
281 eflt 12413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  K )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <-> 
( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
282272, 280, 281syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  K
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
283270, 282mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
284 reexplog 19964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
28532, 277, 284sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
286277zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC )
287274recni 8865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
288 mulcom 8839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
289286, 287, 288sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
290289fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( 2  x.  K )  -  3 )  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
291285, 290eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
292283, 291breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
293 3p2e5 9871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  2 )  =  5
294293oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  ( 5  -  2 )
295 3cn 9834 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
296 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
297 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3 )
298295, 296, 297mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3
299294, 298eqtr3i 2318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  -  2 )  =  3
300299oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  K )  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  K )  -  3 )
30180zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
3022nncni 9772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  CC
303 subsub 9093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  CC  /\  5  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
304302, 296, 303mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
305301, 304syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  (
5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
306300, 305syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
307306oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) ) )
308 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
309 cxpexpz 20030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
310296, 308, 309mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ  ->  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) ) )
311277, 310syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
31283zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  CC )
313296, 308pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
314 cxpadd 20042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  x.  ( 2  ^ c 
2 ) ) )
315313, 296, 314mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  CC  ->  (
2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
316312, 315syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  (
2  ^ c  2 ) ) )
317307, 311, 3163eqtr3d 2336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
318 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
319 cxpexp 20031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c 
2 )  =  ( 2 ^ 2 ) )
320296, 318, 319mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  ( 2 ^ 2 )
321 sq2 11215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
322320, 321eqtri 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  4
323322oveq2i 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 )
324317, 323syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) )
325292, 324breqtrd 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  4 ) )
326231, 259pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
327326a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
328 ltdivmul2 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
329219, 87, 327, 328syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  4 )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
330325, 329mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
331123, 230, 87, 263, 330lttrd 8993 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
332105, 123, 87, 228, 331lelttrd 8990 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
333100nnred 9777 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR )
334 nnre 9769 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
335 nngt0 9791 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
336334, 335jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
33772, 336syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
338 ltdivmul 9644 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR  /\  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
339333, 87, 337, 338syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
340332, 339mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  < 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34189, 340eqbrtrrd 4061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34231, 87remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
3433, 63, 56, 64, 65bposlem5 20543 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
34473, 31, 86lemul1d 10445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) ) ) )
345343, 344mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34680zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  RR )
34738a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
348 flle 10947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  3
) )
34976, 348syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
35064, 349syl5eqbr 4072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
35178zred 10133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
352 2pos 9844 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
35327, 352pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
354353a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
355 lemul2 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) ) ) )
356351, 76, 354, 355syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <-> 
( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) ) )
357350, 356mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
35819nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
359 3ne0 9847 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
360295, 359pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
361 divass 9458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
362296, 360, 361mp3an13 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
363358, 362syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
364 2t2e4 9887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
365364oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N
)
3666nncnd 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
367 mulass 8841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
368296, 296, 367mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
369366, 368syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  N
)  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N ) ) )
370365, 369syl5reqr 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( 4  x.  N ) )
371370oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
372363, 371eqtr3d 2330 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
373357, 372breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( (
4  x.  N )  /  3 ) )
374346, 37, 347, 373lesub1dd 9404 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  <_  ( (
( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 ) )
375 1lt2 9902 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
376375a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
377264, 376, 84, 40cxpled 20083 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  <_  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  <-> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) ) )
378374, 377mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) )
37987, 43, 30lemul2d 10446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <_ 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  <->  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) ) )
380378, 379mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
38188, 342, 44, 345, 380letrd 8989 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
38216, 88, 44, 341, 381ltletrd 8992 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
38311, 16, 44, 55, 382lttrd 8993 1  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   |_cfl 10940    seq cseq 11062   ^cexp 11120    _C cbc 11331   sqrcsqr 11734   expce 12359    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905   logclog 19928    ^ c ccxp 19929   thetaccht 20344
This theorem is referenced by:  bposlem9  20547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-cht 20350  df-ppi 20353
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