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Theorem bposlem6 21034
Description: Lemma for bpos 21038. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for  N large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
bpos.2  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
bpos.3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
bpos.4  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
bpos.5  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem6  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Distinct variable groups:    F, p    n, p, K    M, p    n, N, p    ph, n, p
Allowed substitution hints:    F( n)    M( n)

Proof of Theorem bposlem6
StepHypRef Expression
1 4nn 10099 . . . . 5  |-  4  e.  NN
2 5nn 10100 . . . . . . 7  |-  5  e.  NN
3 bpos.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )
4 nnuz 10485 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
54uztrn2 10467 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
5 ) )  ->  N  e.  NN )
62, 3, 5sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10238 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 nnexpcl 11357 . . . . 5  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
91, 7, 8sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  NN )
109nnred 9979 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 4 ^ N
)  e.  RR )
1110, 6nndivred 10012 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR )
12 fzctr 11080 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
137, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N ) ) )
14 bccl2 11577 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )
1615nnred 9979 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )
17 2nn 10097 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
18 nnmulcl 9987 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
1917, 6, 18sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2019nnrpd 10611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR+ )
2119nnred 9979 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
2220rpge0d 10616 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  N ) )
2321, 22resqrcld 12183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
24 3nn 10098 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
25 nndivre 9999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
2623, 24, 25sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR )
27 2re 10033 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
28 readdcl 9037 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  e.  RR  /\  2  e.  RR )  ->  (
( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 )  e.  RR )
2926, 27, 28sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 )  e.  RR )
3020, 29rpcxpcld 20582 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR+ )
3130rpred 10612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  e.  RR )
32 2rp 10581 . . . . 5  |-  2  e.  RR+
33 nnmulcl 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
341, 6, 33sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  NN )
3534nnred 9979 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  N
)  e.  RR )
36 nndivre 9999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 4  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
3735, 24, 36sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
38 5re 10039 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
39 resubcl 9329 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  5  e.  RR )  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 )  e.  RR )
41 rpcxpcl 20528 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4232, 40, 41sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR+ )
4342rpred 10612 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  e.  RR )
4431, 43remulcld 9080 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) )  e.  RR )
45 df-5 10025 . . . . 5  |-  5  =  ( 4  +  1 )
461nnzi 10269 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
47 uzid 10464 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ZZ  ->  4  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
48 peano2uz 10494 . . . . . 6  |-  ( 4  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
4946, 47, 48mp2b 10 . . . . 5  |-  ( 4  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  4 )
5045, 49eqeltri 2482 . . . 4  |-  5  e.  ( ZZ>= `  4 )
51 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( ZZ>= ` 
4 )  =  (
ZZ>= `  4 )
5251uztrn2 10467 . . . 4  |-  ( ( 5  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  5 )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  4 )
)
5350, 3, 52sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )
54 bclbnd 21025 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5553, 54syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )
56 bpos.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) ,  1 ) )
57 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e. 
Prime )
58 pccl 13186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( n  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
5957, 15, 58syl2anr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
6059ralrimiva 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0 )
6156, 60pcmptcl 13223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
6261simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
63 bpos.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  -.  E. p  e. 
Prime  ( N  <  p  /\  p  <_  ( 2  x.  N ) ) )
64 bpos.4 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )
65 bpos.5 . . . . . . . . 9  |-  M  =  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
663, 63, 56, 64, 65bposlem4 21032 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 3 ... K ) )
67 elfzuz 11019 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
694uztrn2 10467 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  M  e.  NN )
7024, 68, 69sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
7162, 70ffvelrnd 5838 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
7271nnred 9979 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
73 2z 10276 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
74 nndivre 9999 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7521, 24, 74sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR )
7675flcld 11170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  e.  ZZ )
7764, 76syl5eqel 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
78 zmulcl 10288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
7973, 77, 78sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  ZZ )
802nnzi 10269 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
81 zsubcl 10283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8279, 80, 81sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  ZZ )
8382zred 10339 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  RR )
84 rpcxpcl 20528 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  RR )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8532, 83, 84sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR+ )
8685rpred 10612 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR )
8772, 86remulcld 9080 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
883, 63, 56, 64bposlem3 21031 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  =  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
89 elfzuz3 11020 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( 3 ... K )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
9066, 89syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9156, 60, 70, 90pcmptdvds 13226 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K ) )
9271nnzd 10338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
9371nnne0d 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
94 uztrn 10466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  M  e.  ( ZZ>= `  3 )
)  ->  K  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
9590, 68, 94syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
964uztrn2 10467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  K  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  ->  K  e.  NN )
9724, 95, 96sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
9862, 97ffvelrnd 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  NN )
9998nnzd 10338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )
100 dvdsval2 12818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  ZZ )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  ||  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  e.  ZZ ) )
10192, 93, 99, 100syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  ||  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  e.  ZZ ) )
10291, 101mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ )
103102zred 10339 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  RR )
10470nnred 9979 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
105 eluzelre 10461 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  K  e.  RR )
10690, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
107 eluzle 10462 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  <_  K )
10890, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  <_  K )
109 efchtdvds 20903 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  K  e.  RR  /\  M  <_  K )  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  ||  ( exp `  ( theta `  K
) ) )
110104, 106, 108, 109syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) ) )
111 efchtcl 20855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  e.  NN )
112104, 111syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  NN )
113112nnzd 10338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ )
114112nnne0d 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =/=  0 )
115 efchtcl 20855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  RR  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  NN )
116106, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  NN )
117116nnzd 10338 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )
118 dvdsval2 12818 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  ZZ  /\  ( exp `  ( theta `  M
) )  =/=  0  /\  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
119113, 114, 117, 118syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  M ) ) 
||  ( exp `  ( theta `  K ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ ) )
120110, 119mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )
121120zred 10339 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  RR )
122 prmz 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
123 fllt 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  e.  RR  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
) )
12423, 122, 123syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( |_ `  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )  <  p ) )
12565breq1i 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  <  p  <->  ( |_ `  ( sqr `  (
2  x.  N ) ) )  <  p
)
126124, 125syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  M  <  p ) )
127122zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
128 ltnle 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  RR  /\  p  e.  RR )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M )
)
129104, 127, 128syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M  <  p  <->  -.  p  <_  M ) )
130126, 129bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  -.  p  <_  M ) )
131 bposlem1 21029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  NN  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
1326, 131sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
133127adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  RR )
134 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
135 pccl 13186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
136134, 15, 135syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
137133, 136reexpcld 11503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
13821adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
139133resqcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p ^ 2 )  e.  RR )
140 lelttr 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( p ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( ( p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 ) )  -> 
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^ 2 ) ) )
141137, 138, 139, 140syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( p ^ (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N )  /\  ( 2  x.  N
)  <  ( p ^ 2 ) )  ->  ( p ^
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
142132, 141mpand 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
2  x.  N )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p ^ ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )  <  ( p ^
2 ) ) )
143 resqrth 12024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
14421, 22, 143syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  N ) )
145144breq1d 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
146145adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  <->  ( 2  x.  N )  < 
( p ^ 2 ) ) )
147136nn0zd 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
14873a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  2  e.  ZZ )
149 prmuz2 13060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
150 eluz2b1 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( p  e.  ZZ  /\  1  < 
p ) )
151150simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
152149, 151syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  < 
p )
153152adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  1  <  p )
154133, 147, 148, 153ltexp2d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <  (
p ^ 2 ) ) )
155142, 146, 1543imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2 ) )
156 df-2 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
157156breq2i 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  2  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) )
158155, 157syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( sqr `  (
2  x.  N ) ) ^ 2 )  <  ( p ^
2 )  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <  ( 1  +  1 ) ) )
15923adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
16021, 22sqrge0d 12186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) )
161160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  ( sqr `  ( 2  x.  N ) ) )
162 prmnn 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
163162nnrpd 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
164163rpge0d 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  0  <_  p )
165164adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  0  <_  p )
166159, 133, 161, 165lt2sqd 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 )  <  ( p ^ 2 ) ) )
167 1z 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
168 zleltp1 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
169147, 167, 168sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1  <->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <  (
1  +  1 ) ) )
170158, 166, 1693imtr4d 260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  < 
p  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
) )
171130, 170sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  p  <_  M  ->  (
p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  <_  1 ) )
172171imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  p  <_  M )  -> 
( p  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <_  1 )
173172adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  1
)
174 iftrue 3713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
175174adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )
176 iftrue 3713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M )  ->  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  =  1 )
177176adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  1 )
178173, 175, 1773brtr4d 4210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  (
p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
179 0le0 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  0
180 iffalse 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  =  0 )
181 iffalse 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  1 ,  0 )  =  0 )
182180, 181breq12d 4193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  ( if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 )  <->  0  <_  0 ) )
183179, 182mpbiri 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
)  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
184183adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  -.  ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
185178, 184pm2.61dan 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  if (
( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M
) ,  ( p 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 )  <_  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
18660adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  ( n  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN0 )
18770adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  M  e.  NN )
188 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
189 oveq1 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
19090adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M )
)
19156, 186, 187, 188, 189, 190pcmpt2 13225 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  ( p  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ,  0 ) )
192 eqid 2412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
193192prmorcht 20922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  K
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K ) )
19497, 193syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
) )
195192prmorcht 20922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( exp `  ( theta `  M
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 M ) )
19670, 195syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) )
197194, 196oveq12d 6066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M ) ) )
198197adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  =  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )
199198oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) ) )
200 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
201200exp1d 11481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
202201ifeq1d 3721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 )  =  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
203202mpteq2ia 4259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )
204203eqcomi 2416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ 1 ) ,  1 ) )
205 1nn0 10201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Prime )  ->  1  e.  NN0 )
207206ralrimiva 2757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
208207adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  A. n  e.  Prime  1  e.  NN0 )
209 eqidd 2413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  p  ->  1  =  1 )
210204, 208, 187, 188, 209, 190pcmpt2 13225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  n ,  1 ) ) ) `  M
) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
211199, 210eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )  =  if ( ( p  <_  K  /\  -.  p  <_  M ) ,  1 ,  0 ) )
212185, 191, 2113brtr4d 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
) )  <_  (
p  pCnt  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) ) )
213212ralrimiva 2757 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
214 pc2dvds 13215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
215102, 120, 214syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) ) )  <_ 
( p  pCnt  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) ) )
216213, 215mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  ||  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
217116nnred 9979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR )
218112nnred 9979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR )
219116nngt0d 10007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  K )
) )
220112nngt0d 10007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
221217, 218, 219, 220divgt0d 9910 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
222 elnnz 10256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN  <->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  ( exp `  ( theta `  M )
) ) ) )
223120, 221, 222sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )
224 dvdsle 12858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  e.  ZZ  /\  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  e.  NN )  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K )  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
225102, 223, 224syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  ||  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <_  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) ) )
226216, 225mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <_  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) ) )
227 nndivre 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  4  e.  NN )  ->  (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
228217, 1, 227sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  e.  RR )
229 4re 10037 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
230229a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  e.  RR )
231 6re 10040 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  RR
232231a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  e.  RR )
233 4lt6 10117 . . . . . . . . . 10  |-  4  <  6
234233a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  4  <  6 )
235 cht3 20917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
236235fveq2i 5698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  ( exp `  ( log `  6
) )
237 6pos 10052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
238231, 237elrpii 10579 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
239 reeflog 20436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6 )
240238, 239ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  ( log `  6
) )  =  6
241236, 240eqtri 2432 . . . . . . . . . 10  |-  ( exp `  ( theta `  3 )
)  =  6
242 3re 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
243242a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  RR )
244 eluzle 10462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  M )
24568, 244syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  <_  M )
246 chtwordi 20900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  3  <_  M )  ->  ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )
)
247243, 104, 245, 246syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  3 )  <_  ( theta `  M )
)
248 chtcl 20853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  e.  RR  ->  ( theta `  3 )  e.  RR )
249242, 248ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( theta `  3 )  e.  RR
250 chtcl 20853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  RR  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
251104, 250syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  M )  e.  RR )
252 efle 12682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  3 )  e.  RR  /\  ( theta `  M )  e.  RR )  ->  ( ( theta `  3 )  <_ 
( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) ) )
253249, 251, 252sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  3
)  <_  ( theta `  M )  <->  ( exp `  ( theta `  3 )
)  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) ) )
254247, 253mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  3 ) )  <_  ( exp `  ( theta `  M ) ) )
255241, 254syl5eqbrr 4214 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  6  <_  ( exp `  ( theta `  M )
) )
256230, 232, 218, 234, 255ltletrd 9194 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  4  <  ( exp `  ( theta `  M )
) )
257 4pos 10050 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
258257a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <  4 )
259 ltdiv2OLD 9860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 4  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  M ) )  e.  RR  /\  ( exp `  ( theta `  K
) )  e.  RR )  /\  ( 0  <  4  /\  0  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  /\  0  <  ( exp `  ( theta `  K
) ) ) )  ->  ( 4  < 
( exp `  ( theta `  M ) )  <-> 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) ) )
260230, 218, 217, 258, 220, 219, 259syl33anc 1199 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 4  <  ( exp `  ( theta `  M
) )  <->  ( ( exp `  ( theta `  K
) )  /  ( exp `  ( theta `  M
) ) )  < 
( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 ) ) )
261256, 260mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  / 
4 ) )
26227a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
263 2lt3 10107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
264263a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  <  3 )
265243, 104, 106, 245, 108letrd 9191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  <_  K )
266262, 243, 106, 264, 265ltletrd 9194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  2  <  K )
267 chtub 20957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  2  <  K )  -> 
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
268106, 266, 267syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
269 chtcl 20853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  RR  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
270106, 269syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( theta `  K )  e.  RR )
271 relogcl 20434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
27232, 271ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  RR
27324nnzi 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
274 zsubcl 10283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
27579, 273, 274sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  ZZ )
276275zred 10339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )
277 remulcl 9039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
278272, 276, 277sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  e.  RR )
279 eflt 12681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( theta `  K )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( theta `  K )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <-> 
( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
280270, 278, 279syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( theta `  K
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) ) )
281268, 280mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( exp `  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
282 reexplog 20450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
28332, 275, 282sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
284275zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC )
285272recni 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
286 mulcom 9040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  x.  K )  -  3 )  e.  CC  /\  ( log `  2 )  e.  CC )  -> 
( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
287284, 285, 286sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
3 )  x.  ( log `  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
288287fveq2d 5699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( 2  x.  K )  -  3 )  x.  ( log `  2 ) ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
289283, 288eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( exp `  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) ) )
290281, 289breqtrrd 4206 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
291 3p2e5 10075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 3  +  2 )  =  5
292291oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  ( 5  -  2 )
293 3cn 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
294 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
295 pncan 9275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3 )
296293, 294, 295mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  +  2 )  -  2 )  =  3
297292, 296eqtr3i 2434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  -  2 )  =  3
298297oveq2i 6059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  K )  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  K )  -  3 )
29979zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  CC )
3002nncni 9974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  5  e.  CC
301 subsub 9295 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  e.  CC  /\  5  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
302300, 294, 301mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  K )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  K
)  -  ( 5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )
303299, 302syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  (
5  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
304298, 303syl5eqr 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  +  2 ) )
305304oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) ) )
306 2ne0 10047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  0
307 cxpexpz 20519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0  /\  (
( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
308294, 306, 307mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  3 )  e.  ZZ  ->  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  - 
3 ) ) )
309275, 308syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  3 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 2  x.  K )  -  3 ) ) )
31082zcnd 10340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  e.  CC )
311294, 306pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
312 cxpadd 20531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( 2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  x.  ( 2  ^ c 
2 ) ) )
313311, 294, 312mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  K
)  -  5 )  e.  CC  ->  (
2  ^ c  ( ( ( 2  x.  K )  -  5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
314310, 313syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  +  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  (
2  ^ c  2 ) ) )
315305, 309, 3143eqtr3d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) ) )
316 2nn0 10202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
317 cxpexp 20520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( 2  ^ c 
2 )  =  ( 2 ^ 2 ) )
318294, 316, 317mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  ( 2 ^ 2 )
319 sq2 11440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
320318, 319eqtri 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  ^ c  2 )  =  4
321320oveq2i 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  ( 2  ^ c  2 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 )
322315, 321syl6eq 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( 2  x.  K
)  -  3 ) )  =  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) )
323290, 322breqtrd 4204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  ( theta `  K ) )  <  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  x.  4 ) )
324229, 257pm3.2i 442 . . . . . . . . . 10  |-  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 )
325324a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )
326 ltdivmul2 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( exp `  ( theta `  K ) )  e.  RR  /\  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  e.  RR  /\  ( 4  e.  RR  /\  0  <  4 ) )  ->  ( (
( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
327217, 86, 325, 326syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( exp `  ( theta `  K )
)  /  4 )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  ( exp `  ( theta `  K )
)  <  ( (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  x.  4 ) ) )
328323, 327mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  4 )  < 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
329121, 228, 86, 261, 328lttrd 9195 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  ( theta `  K ) )  /  ( exp `  ( theta `  M ) ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
330103, 121, 86, 226, 329lelttrd 9192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )
)  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )
33198nnred 9979 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR )
332 nnre 9971 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR )
333 nngt0 9993 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  0  <  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )
334332, 333jca 519 . . . . . . 7  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
33571, 334syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )
336 ltdivmul 9846 . . . . . 6  |-  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  e.  RR  /\  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  e.  RR  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  RR  /\  0  < 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) ) )  ->  ( (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M ) )  <  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
337331, 86, 335, 336syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  K
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  <  (
2  ^ c  ( ( 2  x.  K
)  -  5 ) )  <->  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  K )  <  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) ) )
338330, 337mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 K )  < 
( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
33988, 338eqbrtrrd 4202 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34031, 86remulcld 9080 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  e.  RR )
3413, 63, 56, 64, 65bposlem5 21033 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  <_ 
( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) ) )
34272, 31, 85lemul1d 10651 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  <_  ( ( 2  x.  N )  ^ c 
( ( ( sqr `  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  +  2 ) )  <->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) ) ) )
343341, 342mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) ) )
34479zred 10339 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  e.  RR )
34538a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  5  e.  RR )
346 flle 11171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  /  3 )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  /  3
) )
34775, 346syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
34864, 347syl5eqbr 4213 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  ( (
2  x.  N )  /  3 ) )
34977zred 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
350 2pos 10046 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
35127, 350pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
352351a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
353 lemul2 9827 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( K  <_  ( ( 2  x.  N )  /  3
)  <->  ( 2  x.  K )  <_  (
2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3 ) ) ) )
354349, 75, 352, 353syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  <_  (
( 2  x.  N
)  /  3 )  <-> 
( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) ) )
355348, 354mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
35619nncnd 9980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  N
)  e.  CC )
357 3ne0 10049 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  =/=  0
358293, 357pm3.2i 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 )
359 divass 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 2  x.  N
)  e.  CC  /\  ( 3  e.  CC  /\  3  =/=  0 ) )  ->  ( (
2  x.  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) ) )
360294, 358, 359mp3an13 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  (
2  x.  N ) )  /  3 )  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  /  3
) ) )
361356, 360syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( 2  x.  ( ( 2  x.  N )  / 
3 ) ) )
362 2t2e4 10091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
363362oveq1i 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 4  x.  N
)
3646nncnd 9980 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
365 mulass 9042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
366294, 294, 365mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  CC  ->  (
( 2  x.  2 )  x.  N )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N
) ) )
367364, 366syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  2 )  x.  N
)  =  ( 2  x.  ( 2  x.  N ) ) )
368363, 367syl5reqr 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( 4  x.  N ) )
369368oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  N
) )  /  3
)  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
370361, 369eqtr3d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2  x.  N
)  /  3 ) )  =  ( ( 4  x.  N )  /  3 ) )
371355, 370breqtrd 4204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  K
)  <_  ( (
4  x.  N )  /  3 ) )
372344, 37, 345, 371lesub1dd 9606 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  K )  -  5 )  <_  ( (
( 4  x.  N
)  /  3 )  -  5 ) )
373 1lt2 10106 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
374373a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
375262, 374, 83, 40cxpled 20572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  K )  - 
5 )  <_  (
( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 )  <-> 
( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) ) )
376372, 375mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) )  <_  (
2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3
)  -  5 ) ) )
37786, 43, 30lemul2d 10652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) )  <_ 
( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) )  <->  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( 2  x.  K )  - 
5 ) ) )  <_  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) ) )
378376, 377mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
37987, 340, 44, 343, 378letrd 9191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  M )  x.  ( 2  ^ c 
( ( 2  x.  K )  -  5 ) ) )  <_ 
( ( ( 2  x.  N )  ^ c  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c 
( ( ( 4  x.  N )  / 
3 )  -  5 ) ) ) )
38016, 87, 44, 339, 379ltletrd 9194 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
38111, 16, 44, 55, 380lttrd 9195 1  |-  ( ph  ->  ( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
( 2  x.  N
)  ^ c  ( ( ( sqr `  (
2  x.  N ) )  /  3 )  +  2 ) )  x.  ( 2  ^ c  ( ( ( 4  x.  N )  /  3 )  - 
5 ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   E.wrex 2675   ifcif 3707   class class class wbr 4180    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   3c3 10014   4c4 10015   5c5 10016   6c6 10017   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   RR+crp 10576   ...cfz 11007   |_cfl 11164    seq cseq 11286   ^cexp 11345    _C cbc 11556   sqrcsqr 12001   expce 12627    || cdivides 12815   Primecprime 13042    pCnt cpc 13173   logclog 20413    ^ c ccxp 20414   thetaccht 20834
This theorem is referenced by:  bposlem9  21037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-pc 13174  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-cxp 20416  df-cht 20840  df-ppi 20843
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