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Theorem bposlem6 20544
 Description: Lemma for bpos 20548. By using the various bounds at our disposal, arrive at an inequality that is false for large enough. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bpos.1
bpos.2
bpos.3
bpos.4
bpos.5
Assertion
Ref Expression
bposlem6
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem bposlem6
StepHypRef Expression
1 4nn 9895 . . . . 5
2 5nn 9896 . . . . . . 7
3 bpos.1 . . . . . . 7
4 nnuz 10279 . . . . . . . 8
54uztrn2 10261 . . . . . . 7
62, 3, 5sylancr 644 . . . . . 6
76nnnn0d 10034 . . . . 5
8 nnexpcl 11132 . . . . 5
91, 7, 8sylancr 644 . . . 4
109nnred 9777 . . 3
1110, 6nndivred 9810 . 2
12 fzctr 10870 . . . . 5
137, 12syl 15 . . . 4
14 bccl2 11351 . . . 4
1513, 14syl 15 . . 3
1615nnred 9777 . 2
17 2nn 9893 . . . . . . 7
18 nnmulcl 9785 . . . . . . 7
1917, 6, 18sylancr 644 . . . . . 6
2019nnrpd 10405 . . . . 5
2119nnred 9777 . . . . . . . 8
2220rpge0d 10410 . . . . . . . 8
2321, 22resqrcld 11916 . . . . . . 7
24 3nn 9894 . . . . . . 7
25 nndivre 9797 . . . . . . 7
2623, 24, 25sylancl 643 . . . . . 6
27 2re 9831 . . . . . 6
28 readdcl 8836 . . . . . 6
2926, 27, 28sylancl 643 . . . . 5
3020, 29rpcxpcld 20093 . . . 4
3130rpred 10406 . . 3
32 2rp 10375 . . . . 5
33 nnmulcl 9785 . . . . . . . . 9
341, 6, 33sylancr 644 . . . . . . . 8
3534nnred 9777 . . . . . . 7
36 nndivre 9797 . . . . . . 7
3735, 24, 36sylancl 643 . . . . . 6
38 5re 9837 . . . . . 6
39 resubcl 9127 . . . . . 6
4037, 38, 39sylancl 643 . . . . 5
41 rpcxpcl 20039 . . . . 5
4232, 40, 41sylancr 644 . . . 4
4342rpred 10406 . . 3
4431, 43remulcld 8879 . 2
45 df-5 9823 . . . . 5
461nnzi 10063 . . . . . 6
47 uzid 10258 . . . . . 6
48 peano2uz 10288 . . . . . 6
4946, 47, 48mp2b 9 . . . . 5
5045, 49eqeltri 2366 . . . 4
51 eqid 2296 . . . . 5
5251uztrn2 10261 . . . 4
5350, 3, 52sylancr 644 . . 3
54 bclbnd 20535 . . 3
5553, 54syl 15 . 2
56 bpos.3 . . . . . . . 8
57 id 19 . . . . . . . . . 10
58 pccl 12918 . . . . . . . . . 10
5957, 15, 58syl2anr 464 . . . . . . . . 9
6059ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
6156, 60pcmptcl 12955 . . . . . . 7
6261simprd 449 . . . . . 6
63 bpos.2 . . . . . . . . 9
64 bpos.4 . . . . . . . . 9
65 bpos.5 . . . . . . . . 9
663, 63, 56, 64, 65bposlem4 20542 . . . . . . . 8
67 elfzuz 10810 . . . . . . . 8
6866, 67syl 15 . . . . . . 7
694uztrn2 10261 . . . . . . 7
7024, 68, 69sylancr 644 . . . . . 6
71 ffvelrn 5679 . . . . . 6
7262, 70, 71syl2anc 642 . . . . 5
7372nnred 9777 . . . 4
74 2z 10070 . . . . . . . . 9
75 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . 12
7621, 24, 75sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
7776flcld 10946 . . . . . . . . . 10
7864, 77syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9
79 zmulcl 10082 . . . . . . . . 9
8074, 78, 79sylancr 644 . . . . . . . 8
812nnzi 10063 . . . . . . . 8
82 zsubcl 10077 . . . . . . . 8
8380, 81, 82sylancl 643 . . . . . . 7
8483zred 10133 . . . . . 6
85 rpcxpcl 20039 . . . . . 6
8632, 84, 85sylancr 644 . . . . 5
8786rpred 10406 . . . 4
8873, 87remulcld 8879 . . 3
893, 63, 56, 64bposlem3 20541 . . . 4
90 elfzuz3 10811 . . . . . . . . . 10
9166, 90syl 15 . . . . . . . . 9
9256, 60, 70, 91pcmptdvds 12958 . . . . . . . 8
9372nnzd 10132 . . . . . . . . 9
9472nnne0d 9806 . . . . . . . . 9
95 uztrn 10260 . . . . . . . . . . . . 13
9691, 68, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
974uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . 12
9824, 96, 97sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
99 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
10062, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
101100nnzd 10132 . . . . . . . . 9
102 dvdsval2 12550 . . . . . . . . 9
10393, 94, 101, 102syl3anc 1182 . . . . . . . 8
10492, 103mpbid 201 . . . . . . 7
105104zred 10133 . . . . . 6
10670nnred 9777 . . . . . . . . 9
107 eluzelre 10255 . . . . . . . . . 10
10891, 107syl 15 . . . . . . . . 9
109 eluzle 10256 . . . . . . . . . 10
11091, 109syl 15 . . . . . . . . 9
111 efchtdvds 20413 . . . . . . . . 9
112106, 108, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . 8
113 efchtcl 20365 . . . . . . . . . . 11
114106, 113syl 15 . . . . . . . . . 10
115114nnzd 10132 . . . . . . . . 9
116114nnne0d 9806 . . . . . . . . 9
117 efchtcl 20365 . . . . . . . . . . 11
118108, 117syl 15 . . . . . . . . . 10
119118nnzd 10132 . . . . . . . . 9
120 dvdsval2 12550 . . . . . . . . 9
121115, 116, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . . . 8
122112, 121mpbid 201 . . . . . . 7
123122zred 10133 . . . . . 6
124 prmz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125 fllt 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12623, 124, 125syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12765breq1i 4046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128126, 127syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129124zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
130 ltnle 8918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131106, 129, 130syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
132128, 131bitrd 244 . . . . . . . . . . . . . . 15
133 bposlem1 20539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1346, 133sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135129adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137 pccl 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
138136, 15, 137syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139135, 138reexpcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14021adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141135resqcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143139, 140, 141, 142syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144134, 143mpand 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145 resqrth 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
14621, 22, 145syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147146breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148147adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149138nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15074a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
151 prmuz2 12792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
152 eluz2b1 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
153152simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
154151, 153syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
155154adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
156135, 149, 150, 155ltexp2d 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157144, 148, 1563imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
158 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159158breq2i 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160157, 159syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16123adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16221, 22sqrge0d 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163162adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
165164nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
166165rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
167166adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
168161, 135, 163, 167lt2sqd 11295 . . . . . . . . . . . . . . . 16
169 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170 zleltp1 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171149, 169, 170sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172160, 168, 1713imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . 15
173132, 172sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . 14
174173imp 418 . . . . . . . . . . . . 13
175174adantrl 696 . . . . . . . . . . . 12
176 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13
177176adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
178 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13
179178adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
180175, 177, 1793brtr4d 4069 . . . . . . . . . . 11
181 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . 13
182 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . 14
183 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . 14
184182, 183breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . 13
185181, 184mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12
186185adantl 452 . . . . . . . . . . 11
187180, 186pm2.61dan 766 . . . . . . . . . 10
18860adantr 451 . . . . . . . . . . 11
18970adantr 451 . . . . . . . . . . 11
190 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
191 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11
19291adantr 451 . . . . . . . . . . 11
19356, 188, 189, 190, 191, 192pcmpt2 12957 . . . . . . . . . 10
194 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16
195194prmorcht 20432 . . . . . . . . . . . . . . 15
19698, 195syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
197194prmorcht 20432 . . . . . . . . . . . . . . 15
19870, 197syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
199196, 198oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13
200199adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
201200oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
202 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . 16
203202exp1d 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15
204203ifeq1d 3592 . . . . . . . . . . . . . 14
205204mpteq2ia 4118 . . . . . . . . . . . . 13
206205eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . 12
207 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . 15
208207a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
209208ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . 13
210209adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
211 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . 12
212206, 210, 189, 190, 211, 192pcmpt2 12957 . . . . . . . . . . 11
213201, 212eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10
214187, 193, 2133brtr4d 4069 . . . . . . . . 9
215214ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
216 pc2dvds 12947 . . . . . . . . 9
217104, 122, 216syl2anc 642 . . . . . . . 8
218215, 217mpbird 223 . . . . . . 7
219118nnred 9777 . . . . . . . . . 10
220114nnred 9777 . . . . . . . . . 10
221118nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10
222114nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10
223219, 220, 221, 222divgt0d 9708 . . . . . . . . 9
224 elnnz 10050 . . . . . . . . 9
225122, 223, 224sylanbrc 645 . . . . . . . 8
226 dvdsle 12590 . . . . . . . 8
227104, 225, 226syl2anc 642 . . . . . . 7
228218, 227mpd 14 . . . . . 6
229 nndivre 9797 . . . . . . . 8
230219, 1, 229sylancl 643 . . . . . . 7
231 4re 9835 . . . . . . . . . 10
232231a1i 10 . . . . . . . . 9
233 6re 9838 . . . . . . . . . 10
234233a1i 10 . . . . . . . . 9
235 4lt6 9913 . . . . . . . . . 10
236235a1i 10 . . . . . . . . 9
237 cht3 20427 . . . . . . . . . . . 12
238237fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11
239 6pos 9850 . . . . . . . . . . . . 13
240233, 239elrpii 10373 . . . . . . . . . . . 12
241 reeflog 19950 . . . . . . . . . . . 12
242240, 241ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
243238, 242eqtri 2316 . . . . . . . . . 10
244 3re 9833 . . . . . . . . . . . . 13
245244a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
246 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . 13
24768, 246syl 15 . . . . . . . . . . . 12
248 chtwordi 20410 . . . . . . . . . . . 12
249245, 106, 247, 248syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
250 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . 13
251244, 250ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
252 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . 13
253106, 252syl 15 . . . . . . . . . . . 12
254 efle 12414 . . . . . . . . . . . 12
255251, 253, 254sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
256249, 255mpbid 201 . . . . . . . . . 10
257243, 256syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . 9
258232, 234, 220, 236, 257ltletrd 8992 . . . . . . . 8
259 4pos 9848 . . . . . . . . . 10
260259a1i 10 . . . . . . . . 9
261 ltdiv2OLD 9658 . . . . . . . . 9
262232, 220, 219, 260, 222, 221, 261syl33anc 1197 . . . . . . . 8
263258, 262mpbid 201 . . . . . . 7
26427a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
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