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Theorem bposlem7 20545
Description: Lemma for bpos 20548. The function  F is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
bposlem7.3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
bposlem7.4  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
bposlem7.5  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
bposlem7.6  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
Assertion
Ref Expression
bposlem7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, G    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x, n)    G( x)

Proof of Theorem bposlem7
StepHypRef Expression
1 bposlem7.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
21nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
32rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR+ )
4 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  B ) ) )
5 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  x  =  ( sqr `  B ) )
64, 5oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  B
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
7 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
8 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  / 
( sqr `  B
) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B ) )  /  ( sqr `  B
) ) )
103, 9syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) ) )
11 bposlem7.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
1211nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
1312rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR+ )
14 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( sqr `  A ) ) )
15 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  x  =  ( sqr `  A ) )
1614, 15oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( sqr `  A
)  ->  ( ( log `  x )  /  x )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
17 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  / 
( sqr `  A
) )  e.  _V
1816, 7, 17fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A ) )  /  ( sqr `  A
) ) )
1913, 18syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  =  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) )
2010, 19breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
2113rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  A
)  e.  RR )
22 bposlem7.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  A )
2312rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)
24 resqrth 11757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
) ^ 2 )  =  A )
2622, 25breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  A ) ^
2 ) )
2713rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  A ) )
28 ere 12386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
29 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
30 epos 12501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  _e
3129, 28, 30ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  _e
32 le2sq 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3328, 31, 32mpanl12 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  A
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  A
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3421, 27, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  A )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  A
) ^ 2 ) ) )
3526, 34mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  A ) )
363rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sqr `  B
)  e.  RR )
37 bposlem7.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  B )
382rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)
39 resqrth 11757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  -> 
( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4038, 39syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  B
) ^ 2 )  =  B )
4137, 40breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  B ) ^
2 ) )
423rpge0d 10410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  B ) )
43 le2sq 11194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( _e  e.  RR  /\  0  <_  _e )  /\  ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4428, 31, 43mpanl12 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  B
) )  ->  (
_e  <_  ( sqr `  B
)  <->  ( _e ^
2 )  <_  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4536, 42, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  <_  ( sqr `  B )  <->  ( _e ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
4641, 45mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( sqr `  B ) )
47 logdivlt 19988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( sqr `  A
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  A
) )  /\  (
( sqr `  B
)  e.  RR  /\  _e  <_  ( sqr `  B
) ) )  -> 
( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4821, 35, 36, 46, 47syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( log `  ( sqr `  B
) )  /  ( sqr `  B ) )  <  ( ( log `  ( sqr `  A
) )  /  ( sqr `  A ) ) ) )
4921, 36, 27, 42lt2sqd 11295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  A
)  <  ( sqr `  B )  <->  ( ( sqr `  A ) ^
2 )  <  (
( sqr `  B
) ^ 2 ) ) )
5020, 48, 493bitr2rd 273 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  ( G `  ( sqr `  B
) )  <  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) )
5125, 40breq12d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  A ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  B ) ^ 2 )  <->  A  <  B ) )
52 relogcl 19948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
53 rerpdivcl 10397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  x
)  /  x )  e.  RR )
5452, 53mpancom 650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( log `  x )  /  x )  e.  RR )
557, 54fmpti 5699 . . . . . . . . . . 11  |-  G : RR+
--> RR
5655ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  B )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  B
) )  e.  RR )
573, 56syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )
5855ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  A )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( sqr `  A
) )  e.  RR )
5913, 58syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
60 2rp 10375 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR+
61 rpsqrcl 11766 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6260, 61mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  2
)  e.  RR+ )
6357, 59, 62ltmul2d 10444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( sqr `  B ) )  <  ( G `
 ( sqr `  A
) )  <->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
6450, 51, 633bitr3d 274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6564biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) ) )
6611nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
671nnred 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
68 2re 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
69 2pos 9844 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
7068, 69pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
7170a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
72 ltdiv1 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 ) ) )
7366, 67, 71, 72syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( A  /  2 )  <  ( B  / 
2 ) ) )
7412rphalfcld 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR+ )
7574rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  /  2
)  e.  RR )
7628, 68remulcli 8867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  e.  RR
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  e.  RR )
7828resqcli 11205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e
^ 2 )  e.  RR
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e ^ 2 )  e.  RR )
80 egt2lt3 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
8180simpli 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  <  _e
8268, 28, 81ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <_  _e
8368, 28, 28lemul2i 9696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <  _e  ->  (
2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
) )
8430, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  <_  _e  <->  ( _e  x.  2 )  <_  (
_e  x.  _e )
)
8582, 84mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e  x.  _e )
8628recni 8865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  _e  e.  CC
8786sqvali 11199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _e
^ 2 )  =  ( _e  x.  _e )
8885, 87breqtrri 4064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _e  x.  2 )  <_ 
( _e ^ 2 )
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  ( _e ^ 2 ) )
9077, 79, 66, 89, 22letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  A )
91 lemuldiv 9651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A 
<->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9228, 70, 91mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e  <_  ( A  /  2 ) ) )
9366, 92syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  A  <->  _e 
<_  ( A  /  2
) ) )
9490, 93mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( A  /  2 ) )
952rphalfcld 10418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR+ )
9695rpred 10406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  /  2
)  e.  RR )
9777, 79, 67, 89, 37letrd 8989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( _e  x.  2 )  <_  B )
98 lemuldiv 9651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( _e  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B 
<->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
9928, 70, 98mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )
10067, 99syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( _e  x.  2 )  <_  B  <->  _e 
<_  ( B  /  2
) ) )
10197, 100mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  _e  <_  ( B  /  2 ) )
102 logdivlt 19988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( A  /  2 ) )  /\  ( ( B  /  2 )  e.  RR  /\  _e  <_  ( B  /  2 ) ) )  ->  (
( A  /  2
)  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10375, 94, 96, 101, 102syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  / 
2 )  <  ( B  /  2 )  <->  ( ( log `  ( B  / 
2 ) )  / 
( B  /  2
) )  <  (
( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
10473, 103bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
105 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( B  /  2 ) ) )
106 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  x  =  ( B  / 
2 ) )
107105, 106oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( B  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
108 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  e. 
_V
109107, 7, 108fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) ) )
11095, 109syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( B  /  2
) )  /  ( B  /  2 ) ) )
111 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  ( A  /  2 ) ) )
112 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  x  =  ( A  / 
2 ) )
113111, 112oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( A  / 
2 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
114 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) )  e. 
_V
115113, 7, 114fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) )
11674, 115syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  =  ( ( log `  ( A  /  2
) )  /  ( A  /  2 ) ) )
117110, 116breq12d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( log `  ( B  /  2 ) )  /  ( B  / 
2 ) )  < 
( ( log `  ( A  /  2 ) )  /  ( A  / 
2 ) ) ) )
11855ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( B  / 
2 ) )  e.  RR )
11995, 118syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )
12055ffvelrni 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  /  2 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( A  / 
2 ) )  e.  RR )
12174, 120syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )
122 9nn 9900 . . . . . . . . . . 11  |-  9  e.  NN
123 4nn 9895 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN
124 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  e.  NN  ->  9  e.  RR+ )
125 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
126 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 9  e.  RR+  /\  4  e.  RR+ )  ->  (
9  /  4 )  e.  RR+ )
127124, 125, 126syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  e.  NN  /\  4  e.  NN )  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
128122, 123, 127mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR+
129128a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 9  /  4
)  e.  RR+ )
130119, 121, 129ltmul2d 10444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  ( B  /  2
) )  <  ( G `  ( A  /  2 ) )  <-> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
131104, 117, 1303bitr2d 272 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
132131biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) ) )
13365, 132jcad 519 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  /\  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
134 sqr2re 12544 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
135 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  B ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
136134, 57, 135sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  e.  RR )
137 9re 9841 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
138 4re 9835 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
139123nnne0i 9796 . . . . . . . 8  |-  4  =/=  0
140137, 138, 139redivcli 9543 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
141 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( B  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
142140, 119, 141sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )
143 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  ( G `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
144134, 59, 143sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  e.  RR )
145 remulcl 8838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 9  /  4
)  e.  RR  /\  ( G `  ( A  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
146140, 121, 145sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR )
147 lt2add 9275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  < 
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
148136, 142, 144, 146, 147syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  <  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  /\  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) )  <  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) ) )
149133, 148syld 40 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) ) ) )
150 ltmul2 9623 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( A  < 
B  <->  ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B ) ) )
15166, 67, 71, 150syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( 2  x.  A )  <  ( 2  x.  B ) ) )
152 rpmulcl 10391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  A  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR+ )
15360, 12, 152sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR+ )
154153rpsqrcld 11910 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+ )
155 rpmulcl 10391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  B )  e.  RR+ )
15660, 2, 155sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  B
)  e.  RR+ )
157156rpsqrcld 11910 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR+ )
158 rprege0 10384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) )
159 rprege0 10384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )
160 lt2sq 11193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )  /\  (
( sqr `  (
2  x.  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
161158, 159, 160syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  e.  RR+  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  <  ( sqr `  (
2  x.  B ) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
162154, 157, 161syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( sqr `  ( 2  x.  A ) ) ^
2 )  <  (
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 ) ) )
163153rprege0d 10413 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) ) )
164 resqrth 11757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  A ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
165163, 164syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  A ) )
166156rprege0d 10413 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) ) )
167 resqrth 11757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 2  x.  B ) )  -> 
( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
168166, 167syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ^ 2 )  =  ( 2  x.  B ) )
169165, 168breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ^ 2 )  <  ( ( sqr `  ( 2  x.  B ) ) ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  < 
( 2  x.  B
) ) )
170162, 169bitr2d 245 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  A )  <  (
2  x.  B )  <-> 
( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
171 1lt2 9902 . . . . . . . . 9  |-  1  <  2
172 rplogcl 19974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
17368, 171, 172mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
174173a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  2
)  e.  RR+ )
175154, 157, 174ltdiv2d 10429 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  A ) )  <  ( sqr `  ( 2  x.  B
) )  <->  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) )  <  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
176151, 170, 1753bitrd 270 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
177176biimpd 198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
178149, 177jcad 519 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
179136, 142readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  e.  RR )
180 rpre 10376 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
181173, 180ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  RR
182 rerpdivcl 10397 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  B ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
183181, 157, 182sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )
184144, 146readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR )
185 rerpdivcl 10397 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( sqr `  ( 2  x.  A ) )  e.  RR+ )  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
186181, 154, 185sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR )
187 lt2add 9275 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  e.  RR )  /\  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
188179, 183, 184, 186, 187syl22anc 1183 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  <  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  /\  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) )  < 
( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  ->  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  <  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) ) )
189178, 188syld 40 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
190 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  B
) )
191190fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  B ) ) )
192191oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) ) )
193 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  B  ->  (
n  /  2 )  =  ( B  / 
2 ) )
194193fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( B  /  2
) ) )
195194oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )
196192, 195oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) ) )
197 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  B  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  B ) )
198197fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( n  =  B  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) )
199198oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  B  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )
200196, 199oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( n  =  B  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( B  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) ) )
201 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
202 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) )  e.  _V
203200, 201, 202fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
2041, 203syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  B
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( B  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  B
) ) ) ) )
205 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  A
) )
206205fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  ( sqr `  A ) ) )
207206oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) ) )
208 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  A  ->  (
n  /  2 )  =  ( A  / 
2 ) )
209208fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( A  /  2
) ) )
210209oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )
211207, 210oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) ) )
212 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  A  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x.  A ) )
213212fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( n  =  A  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) )
214213oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( n  =  A  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )
215211, 214oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( n  =  A  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) )
216 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) )  e.  _V
217215, 201, 216fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  ( ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
21811, 217syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  ( ( ( ( sqr `  2
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 ( sqr `  A
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( A  /  2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  A
) ) ) ) )
219204, 218breq12d 4052 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  B )  <  ( F `  A )  <->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  B ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( B  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  B ) ) ) )  < 
( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  A ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( A  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  A ) ) ) ) ) )
220189, 219sylibrd 225 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  ( F `  B
)  <  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   9c9 9818   RR+crp 10370   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   _eceu 12360   logclog 19928
This theorem is referenced by:  bposlem9  20547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930
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