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Theorem bposlem8 21077
Description: Lemma for bpos 21079. Evaluate  F ( 6 4 ) and show it is less than  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem8  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )

Proof of Theorem bposlem8
StepHypRef Expression
1 6nn0 10244 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
2 4nn 10137 . . . . 5  |-  4  e.  NN
31, 2decnncl 10397 . . . 4  |- ; 6 4  e.  NN
4 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr ` ; 6 4 ) )
5 8nn 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  8  e.  NN
65nncni 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  8  e.  CC
76sqvali 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8 ^ 2 )  =  ( 8  x.  8 )
8 8t8e64 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8  x.  8 )  = ; 6
4
97, 8eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8 ^ 2 )  = ; 6
4
109fveq2i 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  ( sqr ` ; 6 4 )
11 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
12 8re 10080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
13 8pos 10092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  8
1411, 12, 13ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  8
1512sqrsqi 12180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  8  ->  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8
1710, 16eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sqr ` ; 6 4 )  =  8
184, 17syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  8 )
1918fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  8
) )
20 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
21 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( log `  8
) )
22 cu2 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
2322fveq2i 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
24 2rp 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
25 3nn0 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  NN0
2625nn0zi 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  ZZ
27 relogexp 20492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
2824, 26, 27mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2923, 28eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  8 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
3021, 29syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
31 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  x  =  8 )
3230, 31oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  x.  ( log `  2
) )  /  8
) )
33 3cn 10074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
34 2nn 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
35 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
36 relogcl 20475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
3734, 35, 36mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  2 )  e.  RR
3837recni 9104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  2 )  e.  CC
395nnne0i 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
4033, 38, 6, 39div23i 9774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  ( log `  2 ) )  /  8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4132, 40syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
42 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
43 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
4441, 42, 43fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  RR+  ->  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
455, 20, 44mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4619, 45syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4746oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
48 sqr2re 12851 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
4948recni 9104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
5033, 6, 39divcli 9758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
5149, 50, 38mulassi 9101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
52 4cn 10076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  CC
5349, 52, 49mul12i 9263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) ) )
54 2re 10071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
55 2pos 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
5611, 54, 55ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  2
57 remsqsqr 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  =  2 )
5854, 56, 57mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  =  2
5958oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  2 )
60 4t2e8 10132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
6153, 59, 603eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  8
6261oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )
6352, 49mulcli 9097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC
64 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
652, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  RR+
66 rpsqrcl 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6734, 35, 66mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR+
68 rpmulcl 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+ )
6965, 67, 68mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+
70 rpne0 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  e.  RR+  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
)
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
72 rpne0 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
7324, 66, 72mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
74 divcan5 9718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7533, 74mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7663, 71, 49, 73, 75mp4an 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
772nnne0i 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  =/=  0
78 divdiv1 9727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7933, 78mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
8052, 77, 49, 73, 79mp4an 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
8176, 80eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )
8249, 33, 6, 39divassi 9772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )
8362, 81, 823eqtr3ri 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 3  / 
8 ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )
8483oveq1i 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
8551, 84eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
8647, 85syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
87 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  (; 6 4  /  2
) )
88 df-6 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =  ( 5  +  1 )
8988oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  =  ( 2 ^ (
5  +  1 ) )
90 2exp6 13424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
91 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
92 5nn0 10243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  NN0
93 expp1 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 ) )
9491, 92, 93mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9589, 90, 943eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9695oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )
97 nnexpcl 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 5 )  e.  NN )
9834, 92, 97mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  NN
9998nncni 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  CC
100 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
10199, 91, 100divcan4i 9763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 )
10296, 101eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( 2 ^ 5 )
10387, 102syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 ) )
104103fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( 2 ^ 5 ) ) )
105 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  NN  ->  (
2 ^ 5 )  e.  RR+ )
106 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  (
2 ^ 5 ) ) )
107 5nn 10138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  5  e.  NN
108107nnzi 10307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  ZZ
109 relogexp 20492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
11024, 108, 109mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) )
111106, 110syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
112 id 21 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  x  =  ( 2 ^ 5 ) )
113111, 112oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  /  (
2 ^ 5 ) ) )
114107nncni 10012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  e.  CC
11598nnne0i 10036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  =/=  0
116114, 38, 99, 115div23i 9774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  /  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
117113, 116syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
118 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
119117, 42, 118fvmpt 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
12098, 105, 119mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
121104, 120syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
122121oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
123 9nn 10142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  e.  NN
124123nncni 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  CC
125124, 52, 77divcli 9758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  /  4 )  e.  CC
126114, 99, 115divcli 9758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  CC
127125, 126, 38mulassi 9101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 9  /  4
)  x.  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
128122, 127syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
12986, 128oveq12d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
13033, 52, 77divcli 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
131130, 49, 73divcli 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
132125, 126mulcli 9097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  CC
133131, 132, 38adddiri 9103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
134129, 133syl6eqr 2488 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
135 oveq2 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x. ; 6
4 ) )
136135fveq2d 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x. ; 6 4 ) ) )
1373nnrei 10011 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 6 4  e.  RR
1383nngt0i 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  < ; 6
4
13911, 137, 138ltleii 9198 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_ ; 6
4
14054, 137, 56, 139sqrmulii 12192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )
14117oveq2i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
142140, 141eqtri 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
143136, 142syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )
144143oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) ) )
14549, 6mulcli 9097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  e.  CC
146 rpmulcl 10635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
14767, 20, 146sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
148 rpne0 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0 )
1495, 147, 148mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0
150 divrec2 9697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  CC  /\  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
15138, 145, 149, 150mp3an 1280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )  x.  ( log `  2 ) )
15249, 6mulcomi 9098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =  ( 8  x.  ( sqr `  2 ) )
153152oveq2i 6094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( 1  /  (
8  x.  ( sqr `  2 ) ) )
154 recdiv2 9729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 1  / 
( 8  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
1556, 39, 49, 73, 154mp4an 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 1  /  ( 8  x.  ( sqr `  2
) ) )
156153, 155eqtr4i 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )
157156oveq1i 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
158151, 157eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
159144, 158syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
160134, 159oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
161131, 132addcli 9096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  CC
1626, 39reccli 9746 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  8 )  e.  CC
163162, 49, 73divcli 9758 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
164161, 163, 38adddiri 9103 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
165160, 164syl6eqr 2488 . . . . 5  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
166 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
167 ovex 6108 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
168165, 166, 167fvmpt 5808 . . . 4  |-  (; 6 4  e.  NN  ->  ( F ` ; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
1693, 168ax-mp 8 . . 3  |-  ( F `
; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )
170 3re 10073 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
171 4re 10075 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
172170, 171, 77redivcli 9783 . . . . . . 7  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
173172, 48, 73redivcli 9783 . . . . . 6  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
174 9re 10081 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
175174, 171, 77redivcli 9783 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
176 5re 10077 . . . . . . . 8  |-  5  e.  RR
17798nnrei 10011 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  RR
178176, 177, 115redivcli 9783 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
179175, 178remulcli 9106 . . . . . 6  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR
180173, 179readdcli 9105 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
18112, 39rereccli 9781 . . . . . 6  |-  ( 1  /  8 )  e.  RR
182181, 48, 73redivcli 9783 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
183180, 182readdcli 9105 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  e.  RR
184183, 37remulcli 9106 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  RR
185169, 184eqeltri 2508 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  e.  RR
186131, 132, 163add32i 9286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
187 6nn 10139 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
188187nncni 10012 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
189 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
190188, 189, 6, 39divdiri 9773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  +  1 )  /  8 )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
191 df-7 10065 . . . . . . . . . . 11  |-  7  =  ( 6  +  1 )
192191oveq1i 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  /  8 )  =  ( ( 6  +  1 )  /  8
)
193 divcan5 9718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19433, 193mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19552, 77, 91, 100, 194mp4an 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4
)
196 3t2e6 10130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
19733, 91, 196mulcomli 9099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
19852, 91, 60mulcomli 9099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
199197, 198oveq12i 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 6  /  8
)
200195, 199eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  4 )  =  ( 6  /  8
)
201200oveq1i 6093 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
202190, 192, 2013eqtr4ri 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( 7  /  8
)
203202oveq1i 6093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  8
)  /  ( sqr `  2 ) )
204130, 162, 49, 73divdiri 9773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )
205 7nn 10140 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
206205nncni 10012 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
207206, 6, 49, 39, 73divdiv32i 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )
208203, 204, 2073eqtr3i 2466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  =  ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)
209208oveq1i 6093 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  =  ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )
210186, 209eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
211 4nn0 10242 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
212 9nn0 10247 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  NN0
213 0nn0 10238 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
214 9lt10 10180 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <  10
215 4lt5 10150 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  5
216211, 92, 212, 213, 214, 215decltc 10406 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 9  < ; 5 0
217 7t7e49 10471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 7  x.  7 )  = ; 4
9
21858oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21949, 49, 114, 114mul4i 9265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
220 5t2e10 10133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
221114, 91, 220mulcomli 9099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
222221oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 10  x.  5 )
22391, 114, 114mulassi 9101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
22492dec0u 10399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 10  x.  5 )  = ; 5
0
225222, 223, 2243eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( 5  x.  5 ) )  = ; 5
0
226218, 219, 2253eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  = ; 5
0
227216, 217, 2263brtr4i 4242 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
228 7re 10079 . . . . . . . . . . . 12  |-  7  e.  RR
229 7pos 10091 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  7
23011, 228, 229ltleii 9198 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  7
231 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  e.  NN  ->  5  e.  RR+ )
232107, 231ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  RR+
233 rpmulcl 10635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  5  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+ )
23467, 232, 233mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR+
235 rpge0 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
236234, 235ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
237 rpre 10620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR )
238234, 237ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR
239228, 238lt2msqi 9925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  7  /\  0  <_  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  -> 
( 7  <  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  <-> 
( 7  x.  7 )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) ) )
240230, 236, 239mp2an 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  <->  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
241227, 240mpbir 202 . . . . . . . . 9  |-  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
242 rpgt0 10625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( sqr `  2
) )
24324, 66, 242mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( sqr `  2
)
244 ltdivmul 9884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 7  e.  RR  /\  5  e.  RR  /\  (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) ) )  -> 
( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) )
245228, 176, 244mp3an12 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) )  ->  (
( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
24648, 243, 245mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
247241, 246mpbir 202 . . . . . . . 8  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  <  5
248228, 48, 73redivcli 9783 . . . . . . . . 9  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
249248, 176, 12, 13ltdiv1ii 9942 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
) )
250247, 249mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
)
251 divsubdir 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )  ->  ( ( 8  -  3 )  / 
8 )  =  ( ( 8  /  8
)  -  ( 3  /  8 ) ) )
2526, 33, 251mp3an12 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  -> 
( ( 8  -  3 )  /  8
)  =  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) ) )
2536, 39, 252mp2an 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( ( 8  / 
8 )  -  (
3  /  8 ) )
254 5p3e8 10119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 5  +  3 )  =  8
255254oveq1i 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  ( 8  -  3 )
256 pncan 9313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5 )
257114, 33, 256mp2an 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5
258255, 257eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  -  3 )  =  5
259258oveq1i 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( 5  /  8
)
2606, 39dividi 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  /  8 )  =  1
261260oveq1i 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 1  -  (
3  /  8 ) )
262253, 259, 2613eqtr3ri 2467 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 5  /  8
)
263 5lt8 10167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  8
26412, 176remulcli 9106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  5 )  e.  RR
265176, 12, 264ltadd2i 9206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  8  <->  ( (
8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 ) )
266263, 265mpbi 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 )
267 df-9 10067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  9  =  ( 8  +  1 )
268267oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )
2696, 189, 114adddiri 9103 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )
270114mulid2i 9095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  5 )  =  5
271270oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
272268, 269, 2713eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
27388oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( 8  x.  (
5  +  1 ) )
2746, 114, 189adddii 9102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )
2756mulid1i 9094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
276275oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
277273, 274, 2763eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
278266, 272, 2773brtr4i 4242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  x.  5 )  < 
( 8  x.  6 )
279174, 176remulcli 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  e.  RR
280 6re 10078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
28112, 280remulcli 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  e.  RR
282171, 177remulcli 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
2832, 98nnmulcli 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  NN
284283nngt0i 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
285279, 281, 282, 284ltdiv1ii 9942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  x.  5 )  <  ( 8  x.  6 )  <->  ( (
9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
286278, 285mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
287124, 52, 114, 99, 77, 115divmuldivi 9776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  =  ( ( 9  x.  5 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
288 nnexpcl 11396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 4 )  e.  NN )
28934, 211, 288mp2an 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  NN
290289nncni 10012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  CC
291289nnne0i 10036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  =/=  0
292 divcan5 9718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
29333, 292mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
2946, 39, 290, 291, 293mp4an 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
295 df-4 10062 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  =  ( 3  +  1 )
296295oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
3  +  1 ) )
297 expp1 11390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 ) )
29891, 25, 297mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ ( 3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )
29922oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  2 )
300296, 298, 2993eqtri 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
301300oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )
3026, 91, 33mulassi 9101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  (
2  x.  3 ) )
303197oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 2  x.  3 ) )  =  ( 8  x.  6 )
304301, 302, 3033eqtri 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  6 )
305 4p3e7 10116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  +  3 )  =  7
306 5p2e7 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  7
307114, 91addcomi 9259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  ( 2  +  5 )
308305, 306, 3073eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  +  3 )  =  ( 2  +  5 )
309308oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( 2 ^ (
2  +  5 ) )
310 expadd 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) ) )
31191, 211, 25, 310mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 3 ) )
312 2nn0 10240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
313 expadd 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  5  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
31491, 312, 92, 313mp3an 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
315309, 311, 3143eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
31622oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )
317 sq2 11479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
318317oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
319315, 316, 3183eqtr3i 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
320304, 319oveq12i 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
321294, 320eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
322286, 287, 3213brtr4i 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( 3  /  8
)
323170, 12, 39redivcli 9783 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  e.  RR
324 1re 9092 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
325 ltsub2 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR  /\  ( 3  /  8
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) )  <  (
3  /  8 )  <-> 
( 1  -  (
3  /  8 ) )  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) ) )
326179, 323, 324, 325mp3an 1280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  <  ( 3  / 
8 )  <->  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
327322, 326mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
328262, 327eqbrtrri 4235 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
329248, 12, 39redivcli 9783 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  e.  RR
330176, 12, 39redivcli 9783 . . . . . . . 8  |-  ( 5  /  8 )  e.  RR
331324, 179resubcli 9365 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
332329, 330, 331lttri 9201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 5  /  8 )  /\  ( 5  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )  ->  ( ( 7  /  ( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )
333250, 328, 332mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
334329, 179, 324ltaddsubi 9590 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
335333, 334mpbir 202 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1
336210, 335eqbrtri 4233 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  <  1
337 1lt2 10144 . . . . . . 7  |-  1  <  2
338 rplogcl 20501 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
33954, 337, 338mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
340 rpgt0 10625 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( log `  2
) )
341339, 340ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <  ( log `  2
)
342183, 324, 37, 341ltmul1ii 9941 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  <  1  <->  ( ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  <  ( 1  x.  ( log `  2
) ) )
343336, 342mpbi 201 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  <  (
1  x.  ( log `  2 ) )
34438mulid2i 9095 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
345344eqcomi 2442 . . 3  |-  ( log `  2 )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
346343, 169, 3453brtr4i 4242 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
)
347185, 346pm3.2i 443 1  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   3c3 10052   4c4 10053   5c5 10054   6c6 10055   7c7 10056   8c8 10057   9c9 10058   10c10 10059   NN0cn0 10223   ZZcz 10284  ;cdc 10384   RR+crp 10614   ^cexp 11384   sqrcsqr 12040   logclog 20454
This theorem is referenced by:  bposlem9  21078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456
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