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Theorem bposlem8 20530
Description: Lemma for bpos 20532. Evaluate  F ( 6 4 ) and show it is less than  log 2. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bposlem7.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
bposlem7.2  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
Assertion
Ref Expression
bposlem8  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )

Proof of Theorem bposlem8
StepHypRef Expression
1 6nn0 9986 . . . . 5  |-  6  e.  NN0
2 4nn 9879 . . . . 5  |-  4  e.  NN
31, 2decnncl 10137 . . . 4  |- ; 6 4  e.  NN
4 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr ` ; 6 4 ) )
5 8nn 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  8  e.  NN
65nncni 9756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  8  e.  CC
76sqvali 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8 ^ 2 )  =  ( 8  x.  8 )
8 8t8e64 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 8  x.  8 )  = ; 6
4
97, 8eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 8 ^ 2 )  = ; 6
4
109fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  ( sqr ` ; 6 4 )
11 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
12 8re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  8  e.  RR
13 8pos 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  8
1411, 12, 13ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  8
1512sqrsqi 11858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  8  ->  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8 )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( 8 ^ 2 ) )  =  8
1710, 16eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( sqr ` ; 6 4 )  =  8
184, 17syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  n )  =  8 )
1918fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( G `  8
) )
20 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  NN  ->  8  e.  RR+ )
21 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( log `  8
) )
22 cu2 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
2322fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
24 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  RR+
25 3nn0 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  NN0
2625nn0zi 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  ZZ
27 relogexp 19949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
2824, 26, 27mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
2923, 28eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  8 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
3021, 29syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  ( log `  x )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
31 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  8  ->  x  =  8 )
3230, 31oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  x.  ( log `  2
) )  /  8
) )
33 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  CC
34 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
35 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
36 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
3734, 35, 36mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  2 )  e.  RR
3837recni 8849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  2 )  e.  CC
395nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  8  =/=  0
4033, 38, 6, 39div23i 9518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 3  x.  ( log `  2 ) )  /  8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4132, 40syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  8  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
42 bposlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  G  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( log `  x
)  /  x ) )
43 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
4441, 42, 43fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e.  RR+  ->  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
455, 20, 44mp2b 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 8 )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) )
4619, 45syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( sqr `  n ) )  =  ( ( 3  / 
8 )  x.  ( log `  2 ) ) )
4746oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) ) )
48 sqr2re 12528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR
4948recni 8849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  2 )  e.  CC
5033, 6, 39divcli 9502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 3  /  8 )  e.  CC
5149, 50, 38mulassi 8846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )
52 4cn 9820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  e.  CC
5349, 52, 49mul12i 9007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  (
( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) ) )
54 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
55 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
5611, 54, 55ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  2
57 remsqsqr 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  -> 
( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  =  2 )
5854, 56, 57mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) )  =  2
5958oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  ( 4  x.  2 )
60 4t2e8 9874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
6153, 59, 603eqtri 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )  =  8
6261oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )
6352, 49mulcli 8842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC
64 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 4  e.  NN  ->  4  e.  RR+ )
652, 64ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  4  e.  RR+
66 rpsqrcl 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )
6734, 35, 66mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( sqr `  2 )  e.  RR+
68 rpmulcl 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  RR+  /\  ( sqr `  2 )  e.  RR+ )  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+ )
6965, 67, 68mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  RR+
70 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  e.  RR+  ->  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
)
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  =/=  0
72 rpne0 10369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  ( sqr `  2 )  =/=  0 )
7324, 66, 72mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  2 )  =/=  0
74 divcan5 9462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7533, 74mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 4  x.  ( sqr `  2
) )  e.  CC  /\  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2
)  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( sqr `  2 )  x.  3 )  / 
( ( sqr `  2
)  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7663, 71, 49, 73, 75mp4an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
772nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  =/=  0
78 divdiv1 9471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
7933, 78mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 3  / 
( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
8052, 77, 49, 73, 79mp4an 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 3  /  ( 4  x.  ( sqr `  2
) ) )
8176, 80eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 4  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )  =  ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )
8249, 33, 6, 39divassi 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  3 )  /  8 )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )
8362, 81, 823eqtr3ri 2312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( 3  / 
8 ) )  =  ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )
8483oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( 3  /  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
8551, 84eqtr3i 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( 3  /  8 )  x.  ( log `  2
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
8647, 85syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
87 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  (; 6 4  /  2
) )
88 df-6 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  6  =  ( 5  +  1 )
8988oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  =  ( 2 ^ (
5  +  1 ) )
90 2exp6 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 6 )  = ; 6
4
91 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
92 5nn0 9985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  NN0
93 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 ) )
9491, 92, 93mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9589, 90, 943eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 6 4  =  ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )
9695oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )
97 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  5  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 5 )  e.  NN )
9834, 92, 97mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  NN
9998nncni 9756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  CC
100 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  =/=  0
10199, 91, 100divcan4i 9507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2 ^ 5 )  x.  2 )  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 )
10296, 101eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (; 6 4  /  2
)  =  ( 2 ^ 5 )
10387, 102syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
n  /  2 )  =  ( 2 ^ 5 ) )
104103fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( 2 ^ 5 ) ) )
105 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  NN  ->  (
2 ^ 5 )  e.  RR+ )
106 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( log `  (
2 ^ 5 ) ) )
107 5nn 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  5  e.  NN
108107nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  5  e.  ZZ
109 relogexp 19949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  5  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
11024, 108, 109mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) )
111106, 110syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  ( log `  x )  =  ( 5  x.  ( log `  2 ) ) )
112 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  x  =  ( 2 ^ 5 ) )
113111, 112oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  x.  ( log `  2
) )  /  (
2 ^ 5 ) ) )
114107nncni 9756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  5  e.  CC
11598nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2 ^ 5 )  =/=  0
116114, 38, 99, 115div23i 9518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 5  x.  ( log `  2 ) )  /  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
117113, 116syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( 2 ^ 5 )  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
118 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
119117, 42, 118fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 5 )  e.  RR+  ->  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
12098, 105, 119mp2b 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G `
 ( 2 ^ 5 ) )  =  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) )
121104, 120syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
122121oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 9  /  4 )  x.  ( ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2 ) ) ) )
123 9nn 9884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  9  e.  NN
124123nncni 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  CC
125124, 52, 77divcli 9502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  /  4 )  e.  CC
126114, 99, 115divcli 9502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  CC
127125, 126, 38mulassi 8846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( 9  /  4
)  x.  ( ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
128122, 127syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
12986, 128oveq12d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
13033, 52, 77divcli 9502 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  4 )  e.  CC
131130, 49, 73divcli 9502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
132125, 126mulcli 8842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  CC
133131, 132, 38adddiri 8848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  x.  ( log `  2
) ) )
134129, 133syl6eqr 2333 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( sqr `  2
)  x.  ( G `
 ( sqr `  n
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  ( G `  ( n  /  2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
135 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
2  x.  n )  =  ( 2  x. ; 6
4 ) )
136135fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( sqr `  (
2  x. ; 6 4 ) ) )
1373nnrei 9755 . . . . . . . . . . . 12  |- ; 6 4  e.  RR
1383nngt0i 9779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  < ; 6
4
13911, 137, 138ltleii 8941 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_ ; 6
4
14054, 137, 56, 139sqrmulii 11870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )
14117oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr ` ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
142140, 141eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( 2  x. ; 6 4 ) )  =  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )
143136, 142syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( n  = ; 6 4  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )
144143oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) ) )
14549, 6mulcli 8842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  e.  CC
146 rpmulcl 10375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
14767, 20, 146sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  e.  NN  ->  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+ )
148 rpne0 10369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0 )
1495, 147, 148mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =/=  0
150 divrec2 9441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  2
)  x.  8 )  e.  CC  /\  (
( sqr `  2
)  x.  8 )  =/=  0 )  -> 
( ( log `  2
)  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) ) )
15138, 145, 149, 150mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
( ( sqr `  2
)  x.  8 ) )  x.  ( log `  2 ) )
15249, 6mulcomi 8843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  8 )  =  ( 8  x.  ( sqr `  2 ) )
153152oveq2i 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( 1  /  (
8  x.  ( sqr `  2 ) ) )
154 recdiv2 9473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  2 )  e.  CC  /\  ( sqr `  2 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  =  ( 1  / 
( 8  x.  ( sqr `  2 ) ) ) )
1556, 39, 49, 73, 154mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( 1  /  ( 8  x.  ( sqr `  2
) ) )
156153, 155eqtr4i 2306 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )
157156oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) )
158151, 157eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  ( ( log `  2 )  /  ( ( sqr `  2 )  x.  8 ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) )
159144, 158syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( log `  2
)  /  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  =  ( ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
160134, 159oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2
) )  +  ( ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) )  x.  ( log `  2
) ) ) )
161131, 132addcli 8841 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  CC
1626, 39reccli 9490 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  8 )  e.  CC
163162, 49, 73divcli 9502 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  CC
164161, 163, 38adddiri 8848 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  +  ( ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  x.  ( log `  2 ) ) )
165160, 164syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( n  = ; 6 4  ->  (
( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( G `  ( n  /  2
) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  / 
( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
166 bposlem7.1 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( sqr `  2 )  x.  ( G `  ( sqr `  n ) ) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( G `
 ( n  / 
2 ) ) ) )  +  ( ( log `  2 )  /  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) ) )
167 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  _V
168165, 166, 167fvmpt 5602 . . . 4  |-  (; 6 4  e.  NN  ->  ( F ` ; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) ) )
1693, 168ax-mp 8 . . 3  |-  ( F `
; 6 4 )  =  ( ( ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )
170 3re 9817 . . . . . . . 8  |-  3  e.  RR
171 4re 9819 . . . . . . . 8  |-  4  e.  RR
172170, 171, 77redivcli 9527 . . . . . . 7  |-  ( 3  /  4 )  e.  RR
173172, 48, 73redivcli 9527 . . . . . 6  |-  ( ( 3  /  4 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
174 9re 9825 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
175174, 171, 77redivcli 9527 . . . . . . 7  |-  ( 9  /  4 )  e.  RR
176 5re 9821 . . . . . . . 8  |-  5  e.  RR
17798nnrei 9755 . . . . . . . 8  |-  ( 2 ^ 5 )  e.  RR
178176, 177, 115redivcli 9527 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
179175, 178remulcli 8851 . . . . . 6  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR
180173, 179readdcli 8850 . . . . 5  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
18112, 39rereccli 9525 . . . . . 6  |-  ( 1  /  8 )  e.  RR
182181, 48, 73redivcli 9527 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
183180, 182readdcli 8850 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  e.  RR
184183, 37remulcli 8851 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  e.  RR
185169, 184eqeltri 2353 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  e.  RR
186131, 132, 163add32i 9030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
187 6nn 9881 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  NN
188187nncni 9756 . . . . . . . . . . 11  |-  6  e.  CC
189 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
190188, 189, 6, 39divdiri 9517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 6  +  1 )  /  8 )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
191 df-7 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  7  =  ( 6  +  1 )
192191oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  /  8 )  =  ( ( 6  +  1 )  /  8
)
193 divcan5 9462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19433, 193mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  /\  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  -> 
( ( 2  x.  3 )  /  (
2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4 ) )
19552, 77, 91, 100, 194mp4an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 3  /  4
)
196 3t2e6 9872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
19733, 91, 196mulcomli 8844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
19852, 91, 60mulcomli 8844 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
199197, 198oveq12i 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  /  ( 2  x.  4 ) )  =  ( 6  /  8
)
200195, 199eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  /  4 )  =  ( 6  /  8
)
201200oveq1i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( ( 6  / 
8 )  +  ( 1  /  8 ) )
202190, 192, 2013eqtr4ri 2314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 3  /  4 )  +  ( 1  / 
8 ) )  =  ( 7  /  8
)
203202oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  8
)  /  ( sqr `  2 ) )
204130, 162, 49, 73divdiri 9517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 3  /  4
)  +  ( 1  /  8 ) )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )
205 7nn 9882 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
206205nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  CC
207206, 6, 49, 39, 73divdiv32i 9515 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  8 )  /  ( sqr `  2
) )  =  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )
208203, 204, 2073eqtr3i 2311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 3  /  4
)  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  =  ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)
209208oveq1i 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 1  /  8 )  / 
( sqr `  2
) ) )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  =  ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )
210186, 209eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  =  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
211 4nn0 9984 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  e.  NN0
212 9nn0 9989 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  e.  NN0
213 0nn0 9980 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
214 9lt10 9922 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  <  10
215 4lt5 9892 . . . . . . . . . . . 12  |-  4  <  5
216211, 92, 212, 213, 214, 215decltc 10146 . . . . . . . . . . 11  |- ; 4 9  < ; 5 0
217 7t7e49 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 7  x.  7 )  = ; 4
9
21858oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
21949, 49, 114, 114mul4i 9009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  2 ) )  x.  ( 5  x.  5 ) )  =  ( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
220 5t2e10 9875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
221114, 91, 220mulcomli 8844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
222221oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 10  x.  5 )
22391, 114, 114mulassi 8846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  5 )  =  ( 2  x.  (
5  x.  5 ) )
22492dec0u 10139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 10  x.  5 )  = ; 5
0
225222, 223, 2243eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  ( 5  x.  5 ) )  = ; 5
0
226218, 219, 2253eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  = ; 5
0
227216, 217, 2263brtr4i 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) )
228 7re 9823 . . . . . . . . . . . 12  |-  7  e.  RR
229 7pos 9835 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  7
23011, 228, 229ltleii 8941 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  7
231 nnrp 10363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 5  e.  NN  ->  5  e.  RR+ )
232107, 231ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  e.  RR+
233 rpmulcl 10375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR+  /\  5  e.  RR+ )  ->  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+ )
23467, 232, 233mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR+
235 rpge0 10366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  0  <_ 
( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
236234, 235ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
237 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR )
238234, 237ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  e.  RR
239228, 238lt2msqi 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  7  /\  0  <_  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) )  -> 
( 7  <  (
( sqr `  2
)  x.  5 )  <-> 
( 7  x.  7 )  <  ( ( ( sqr `  2
)  x.  5 )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) ) )
240230, 236, 239mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  <->  ( 7  x.  7 )  < 
( ( ( sqr `  2 )  x.  5 )  x.  (
( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
241227, 240mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 )
242 rpgt0 10365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( sqr `  2
) )
24324, 66, 242mp2b 9 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( sqr `  2
)
244 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 7  e.  RR  /\  5  e.  RR  /\  (
( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) ) )  -> 
( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2 )  x.  5 ) ) )
245228, 176, 244mp3an12 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  2
) )  ->  (
( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) ) )
24648, 243, 245mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  7  <  ( ( sqr `  2
)  x.  5 ) )
247241, 246mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  <  5
248228, 48, 73redivcli 9527 . . . . . . . . 9  |-  ( 7  /  ( sqr `  2
) )  e.  RR
249248, 176, 12, 13ltdiv1ii 9686 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  <  5  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
) )
250247, 249mpbi 199 . . . . . . 7  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 5  /  8
)
251 divsubdir 9456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  (
8  e.  CC  /\  8  =/=  0 ) )  ->  ( ( 8  -  3 )  / 
8 )  =  ( ( 8  /  8
)  -  ( 3  /  8 ) ) )
2526, 33, 251mp3an12 1267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  -> 
( ( 8  -  3 )  /  8
)  =  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) ) )
2536, 39, 252mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( ( 8  / 
8 )  -  (
3  /  8 ) )
254 5p3e8 9861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 5  +  3 )  =  8
255254oveq1i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  ( 8  -  3 )
256 pncan 9057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 5  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5 )
257114, 33, 256mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 5  +  3 )  -  3 )  =  5
258255, 257eqtr3i 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  -  3 )  =  5
259258oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  -  3 )  /  8 )  =  ( 5  /  8
)
2606, 39dividi 9493 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  /  8 )  =  1
261260oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  /  8 )  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 1  -  (
3  /  8 ) )
262253, 259, 2613eqtr3ri 2312 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  =  ( 5  /  8
)
263 5lt8 9909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  5  <  8
26412, 176remulcli 8851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  5 )  e.  RR
265176, 12, 264ltadd2i 8950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 5  <  8  <->  ( (
8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 ) )
266263, 265mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )  < 
( ( 8  x.  5 )  +  8 )
267 df-9 9811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  9  =  ( 8  +  1 )
268267oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )
2696, 189, 114adddiri 8848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  +  1 )  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )
270114mulid2i 8840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  x.  5 )  =  5
271270oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
272268, 269, 2713eqtri 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  5 )
27388oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( 8  x.  (
5  +  1 ) )
2746, 114, 189adddii 8847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 5  +  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )
2756mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
276275oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  5 )  +  ( 8  x.  1 ) )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
277273, 274, 2763eqtri 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  =  ( ( 8  x.  5 )  +  8 )
278266, 272, 2773brtr4i 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 9  x.  5 )  < 
( 8  x.  6 )
279174, 176remulcli 8851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 9  x.  5 )  e.  RR
280 6re 9822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
28112, 280remulcli 8851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 8  x.  6 )  e.  RR
282171, 177remulcli 8851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  RR
2832, 98nnmulcli 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) )  e.  NN
284283nngt0i 9779 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
285279, 281, 282, 284ltdiv1ii 9686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 9  x.  5 )  <  ( 8  x.  6 )  <->  ( (
9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
286278, 285mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  x.  5 )  /  ( 4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
287124, 52, 114, 99, 77, 115divmuldivi 9520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  =  ( ( 9  x.  5 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
288 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ 4 )  e.  NN )
28934, 211, 288mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  NN
290289nncni 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  e.  CC
291289nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 4 )  =/=  0
292 divcan5 9462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
29333, 292mp3an1 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 8  e.  CC  /\  8  =/=  0 )  /\  ( ( 2 ^ 4 )  e.  CC  /\  ( 2 ^ 4 )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  (
( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8 ) )
2946, 39, 290, 291, 293mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( 3  /  8
)
295 df-4 9806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  4  =  ( 3  +  1 )
296295oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
3  +  1 ) )
297 expp1 11110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 ) )
29891, 25, 297mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2 ^ ( 3  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )
29922oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2 ^ 3 )  x.  2 )  =  ( 8  x.  2 )
300296, 298, 2993eqtri 2307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 8  x.  2 )
301300oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )
3026, 91, 33mulassi 8846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 8  x.  2 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  (
2  x.  3 ) )
303197oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  x.  ( 2  x.  3 ) )  =  ( 8  x.  6 )
304301, 302, 3033eqtri 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  =  ( 8  x.  6 )
305 4p3e7 9858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 4  +  3 )  =  7
306 5p2e7 9860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  7
307114, 91addcomi 9003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 5  +  2 )  =  ( 2  +  5 )
308305, 306, 3073eqtr2i 2309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 4  +  3 )  =  ( 2  +  5 )
309308oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( 2 ^ (
2  +  5 ) )
310 expadd 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  4  e.  NN0  /\  3  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) ) )
31191, 211, 25, 310mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 4  +  3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
2 ^ 3 ) )
312 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN0
313 expadd 11144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  e.  NN0  /\  5  e.  NN0 )  ->  (
2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
31491, 312, 92, 313mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ ( 2  +  5 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
315309, 311, 3143eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  (
2 ^ 5 ) )
31622oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )
317 sq2 11199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
318317oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( 2 ^ 5 ) )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
319315, 316, 3183eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 )  =  ( 4  x.  (
2 ^ 5 ) )
320304, 319oveq12i 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ 4 )  x.  3 )  /  ( ( 2 ^ 4 )  x.  8 ) )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
321294, 320eqtr3i 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  =  ( ( 8  x.  6 )  /  (
4  x.  ( 2 ^ 5 ) ) )
322286, 287, 3213brtr4i 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) )  < 
( 3  /  8
)
323170, 12, 39redivcli 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( 3  /  8 )  e.  RR
324 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
325 ltsub2 9271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  e.  RR  /\  ( 3  /  8
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) )  <  (
3  /  8 )  <-> 
( 1  -  (
3  /  8 ) )  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) ) )
326179, 323, 324, 325mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) )  <  ( 3  / 
8 )  <->  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
327322, 326mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( 3  / 
8 ) )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
328262, 327eqbrtrri 4044 . . . . . . 7  |-  ( 5  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
329248, 12, 39redivcli 9527 . . . . . . . 8  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  e.  RR
330176, 12, 39redivcli 9527 . . . . . . . 8  |-  ( 5  /  8 )  e.  RR
331324, 179resubcli 9109 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  e.  RR
332329, 330, 331lttri 8945 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 5  /  8 )  /\  ( 5  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )  ->  ( ( 7  /  ( sqr `  2
) )  /  8
)  <  ( 1  -  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) ) )
333250, 328, 332mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )
334329, 179, 324ltaddsubi 9334 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 7  / 
( sqr `  2
) )  /  8
)  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  / 
( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1  <->  ( (
7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  < 
( 1  -  (
( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) ) )
335333, 334mpbir 200 . . . . 5  |-  ( ( ( 7  /  ( sqr `  2 ) )  /  8 )  +  ( ( 9  / 
4 )  x.  (
5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  <  1
336210, 335eqbrtri 4042 . . . 4  |-  ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  <  1
337 1lt2 9886 . . . . . . 7  |-  1  <  2
338 rplogcl 19958 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
33954, 337, 338mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
340 rpgt0 10365 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( log `  2
) )
341339, 340ax-mp 8 . . . . 5  |-  0  <  ( log `  2
)
342183, 324, 37, 341ltmul1ii 9685 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  <  1  <->  ( ( ( ( ( 3  / 
4 )  /  ( sqr `  2 ) )  +  ( ( 9  /  4 )  x.  ( 5  /  (
2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  / 
8 )  /  ( sqr `  2 ) ) )  x.  ( log `  2 ) )  <  ( 1  x.  ( log `  2
) ) )
343336, 342mpbi 199 . . 3  |-  ( ( ( ( ( 3  /  4 )  / 
( sqr `  2
) )  +  ( ( 9  /  4
)  x.  ( 5  /  ( 2 ^ 5 ) ) ) )  +  ( ( 1  /  8 )  /  ( sqr `  2
) ) )  x.  ( log `  2
) )  <  (
1  x.  ( log `  2 ) )
34438mulid2i 8840 . . . 4  |-  ( 1  x.  ( log `  2
) )  =  ( log `  2 )
345344eqcomi 2287 . . 3  |-  ( log `  2 )  =  ( 1  x.  ( log `  2 ) )
346343, 169, 3453brtr4i 4051 . 2  |-  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
)
347185, 346pm3.2i 441 1  |-  ( ( F ` ; 6 4 )  e.  RR  /\  ( F `
; 6 4 )  < 
( log `  2
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802   10c10 9803   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  ;cdc 10124   RR+crp 10354   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   logclog 19912
This theorem is referenced by:  bposlem9  20531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914
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