Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  br8 Unicode version

Theorem br8 24113
Description: Substitution for an eight-place predicate. (Contributed by Scott Fenton, 26-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
br8.1  |-  ( a  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
br8.2  |-  ( b  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
br8.3  |-  ( c  =  C  ->  ( ch 
<->  th ) )
br8.4  |-  ( d  =  D  ->  ( th 
<->  ta ) )
br8.5  |-  ( e  =  E  ->  ( ta 
<->  et ) )
br8.6  |-  ( f  =  F  ->  ( et 
<->  ze ) )
br8.7  |-  ( g  =  G  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
br8.8  |-  ( h  =  H  ->  ( si 
<->  rh ) )
br8.9  |-  ( x  =  X  ->  P  =  Q )
br8.10  |-  R  =  { <. p ,  q
>.  |  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( p  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) }
Assertion
Ref Expression
br8  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q
)  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q )
)  ->  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >. R <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  rh ) )
Distinct variable groups:    ch, b    et, e    a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, P    ps, a    si, g    x, a, A, b, c, d, e, f, g, h, p, q    ph, p, q, x    rh, a, b, c, d, e, f, g, h, x    B, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    C, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    ta, d    D, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    E, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    th, c    F, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    G, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    ze, f    H, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    S, a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, x    Q, a, b, c, d, e, f, g, h, x    X, a, b, c, d, e, f, g, h, x
Allowed substitution hints:    ph( e, f, g, h, a, b, c, d)    ps( x, e, f, g, h, q, p, b, c, d)    ch( x, e, f, g, h, q, p, a, c, d)    th( x, e, f, g, h, q, p, a, b, d)    ta( x, e, f, g, h, q, p, a, b, c)    et( x, f, g, h, q, p, a, b, c, d)    ze( x, e, g, h, q, p, a, b, c, d)    si( x, e, f, h, q, p, a, b, c, d)    rh( q, p)    P( x)    Q( q, p)    R( x, e, f, g, h, q, p, a, b, c, d)    X( q, p)

Proof of Theorem br8
StepHypRef Expression
1 opex 4237 . . 3  |-  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  e.  _V
2 opex 4237 . . 3  |-  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  e.  _V
3 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( p  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >. 
<-> 
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >. )
)
433anbi1d 1256 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( (
p  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
54rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( p  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( E. h  e.  P  (
p  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
652rexbidv 2586 . . . . . 6  |-  ( p  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  (
p  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
762rexbidv 2586 . . . . 5  |-  ( p  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  (
p  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
872rexbidv 2586 . . . 4  |-  ( p  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  (
p  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
982rexbidv 2586 . . 3  |-  ( p  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  (
p  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
10 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >. 
<-> 
<. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >. )
)
11103anbi2d 1257 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
1211rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( q  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
13122rexbidv 2586 . . . . . 6  |-  ( q  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
14132rexbidv 2586 . . . . 5  |-  ( q  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
15142rexbidv 2586 . . . 4  |-  ( q  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
16152rexbidv 2586 . . 3  |-  ( q  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
17 br8.10 . . 3  |-  R  =  { <. p ,  q
>.  |  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( p  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  q  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4287 . 2  |-  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >. R <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) )
19 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. a ,  b >.  e.  _V
20 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. c ,  d >.  e.  _V
2119, 20opth 4245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d
>. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. 
<->  ( <. a ,  b
>.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d >.  =  <. C ,  D >. )
)
22 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  a  e. 
_V
23 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  b  e. 
_V
2422, 23opth 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  <-> 
( a  =  A  /\  b  =  B ) )
25 br8.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  A  ->  ( ph 
<->  ps ) )
26 br8.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  B  ->  ( ps 
<->  ch ) )
2725, 26sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  A  /\  b  =  B )  ->  ( ph  <->  ch )
)
2824, 27sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  ->  ( ph  <->  ch )
)
29 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  c  e. 
_V
30 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  d  e. 
_V
3129, 30opth 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  <-> 
( c  =  C  /\  d  =  D ) )
32 br8.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  =  C  ->  ( ch 
<->  th ) )
33 br8.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  D  ->  ( th 
<->  ta ) )
3432, 33sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  =  C  /\  d  =  D )  ->  ( ch  <->  ta )
)
3531, 34sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
c ,  d >.  =  <. C ,  D >.  ->  ( ch  <->  ta )
)
3628, 35sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. a ,  b >.  =  <. A ,  B >.  /\  <. c ,  d
>.  =  <. C ,  D >. )  ->  ( ph 
<->  ta ) )
3721, 36sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d
>. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  ->  ( ph  <->  ta ) )
3837eqcoms 2286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  ->  ( ph  <->  ta ) )
39 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. e ,  f >.  e.  _V
40 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <. g ,  h >.  e.  _V
4139, 40opth 4245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  ( <. e ,  f
>.  =  <. E ,  F >.  /\  <. g ,  h >.  =  <. G ,  H >. )
)
42 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  e  e. 
_V
43 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
4442, 43opth 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
e ,  f >.  =  <. E ,  F >.  <-> 
( e  =  E  /\  f  =  F ) )
45 br8.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( e  =  E  ->  ( ta 
<->  et ) )
46 br8.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  F  ->  ( et 
<->  ze ) )
4745, 46sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( e  =  E  /\  f  =  F )  ->  ( ta  <->  ze )
)
4844, 47sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
e ,  f >.  =  <. E ,  F >.  ->  ( ta  <->  ze )
)
49 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  g  e. 
_V
50 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  h  e. 
_V
5149, 50opth 4245 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
g ,  h >.  = 
<. G ,  H >.  <->  (
g  =  G  /\  h  =  H )
)
52 br8.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  G  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
53 br8.8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  H  ->  ( si 
<->  rh ) )
5452, 53sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g  =  G  /\  h  =  H )  ->  ( ze  <->  rh )
)
5551, 54sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
g ,  h >.  = 
<. G ,  H >.  -> 
( ze  <->  rh )
)
5648, 55sylan9bb 680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. e ,  f >.  =  <. E ,  F >.  /\  <. g ,  h >.  =  <. G ,  H >. )  ->  ( ta  <->  rh ) )
5741, 56sylbi 187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  ->  ( ta  <->  rh ) )
5857eqcoms 2286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  ->  ( ta  <->  rh ) )
5938, 58sylan9bb 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >. )  ->  ( ph 
<->  rh ) )
6059biimp3a 1281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  ->  rh )
6160a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  (
x  e.  S  /\  a  e.  P )
)  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P ) )  /\  ( d  e.  P  /\  e  e.  P
) )  /\  (
f  e.  P  /\  g  e.  P )
)  /\  h  e.  P )  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  ->  rh ) )
6261rexlimdva 2667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q
)  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q )
)  /\  ( x  e.  S  /\  a  e.  P ) )  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P
) )  /\  (
d  e.  P  /\  e  e.  P )
)  /\  ( f  e.  P  /\  g  e.  P ) )  -> 
( E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  ->  rh ) )
6362rexlimdvva 2674 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q
)  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q ) )  /\  ( x  e.  S  /\  a  e.  P
) )  /\  (
b  e.  P  /\  c  e.  P )
)  /\  ( d  e.  P  /\  e  e.  P ) )  -> 
( E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  ->  rh ) )
6463rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  (
x  e.  S  /\  a  e.  P )
)  /\  ( b  e.  P  /\  c  e.  P ) )  -> 
( E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  ->  rh ) )
6564rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  (
x  e.  S  /\  a  e.  P )
)  ->  ( E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  ->  rh ) )
6665rexlimdvva 2674 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q
)  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q )
)  ->  ( E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  ->  rh ) )
67 simpl11 1030 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  X  e.  S
)
68 simpl12 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  A  e.  Q
)
69 simpl13 1032 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  B  e.  Q
)
70 simpl21 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  C  e.  Q
)
71 simpl22 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  D  e.  Q
)
72 simpl23 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  E  e.  Q
)
73 simpl31 1036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  F  e.  Q
)
74 simpl32 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  G  e.  Q
)
75 simpl33 1038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  H  e.  Q
)
76 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. )
77 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. )
78 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  rh )
79 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  G  ->  <. g ,  h >.  =  <. G ,  h >. )
8079opeq2d 3803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  G  ->  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  h >. >. )
8180eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  ( <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >. 
<-> 
<. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  h >. >. ) )
8281, 523anbi23d 1255 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ze )  <->  (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  h >. >.  /\  si )
) )
83 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  H  ->  <. G ,  h >.  =  <. G ,  H >. )
8483opeq2d 3803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  H  ->  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  h >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. )
8584eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  H  ->  ( <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  h >. >. 
<-> 
<. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. ) )
8685, 533anbi23d 1255 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  H  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  h >. >.  /\  si )  <->  (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  /\  rh )
) )
8782, 86rspc2ev 2892 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Q  /\  H  e.  Q  /\  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  /\  rh )
)  ->  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ze )
)
8874, 75, 76, 77, 78, 87syl113anc 1194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ze )
)
89 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  D  ->  <. C , 
d >.  =  <. C ,  D >. )
9089opeq2d 3803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. )
9190eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >. 
<-> 
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >. ) )
9291, 333anbi13d 1254 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) 
<->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ta ) ) )
93922rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  ( E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) 
<->  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ta ) ) )
94 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  E  ->  <. e ,  f >.  =  <. E ,  f >. )
9594opeq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( e  =  E  ->  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  =  <. <. E ,  f >. , 
<. g ,  h >. >.
)
9695eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( e  =  E  ->  ( <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  <->  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E , 
f >. ,  <. g ,  h >. >. ) )
9796, 453anbi23d 1255 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  E  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ta ) 
<->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E , 
f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  et )
) )
98972rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  E  ->  ( E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ta ) 
<->  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E , 
f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  et )
) )
99 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  <. E , 
f >.  =  <. E ,  F >. )
10099opeq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  <. <. E , 
f >. ,  <. g ,  h >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >. )
101100eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  ( <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E , 
f >. ,  <. g ,  h >. >. 
<-> 
<. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >. ) )
102101, 463anbi23d 1255 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E , 
f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  et )  <->  (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ze )
) )
1031022rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ( E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E , 
f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  et )  <->  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ze )
) )
10493, 98, 103rspc3ev 2894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  Q  /\  E  e.  Q  /\  F  e.  Q
)  /\  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. E ,  F >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ze )
)  ->  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  d
>. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) )
10571, 72, 73, 88, 104syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) )
106 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  A  ->  <. a ,  b >.  =  <. A ,  b >. )
107106opeq1d 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  =  <. <. A ,  b >. , 
<. c ,  d >. >. )
108107eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  <->  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A , 
b >. ,  <. c ,  d >. >. )
)
109108, 253anbi13d 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps ) ) )
110109rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps ) ) )
1111102rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps ) ) )
1121112rexbidv 2586 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  ( E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps ) ) )
113 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  B  ->  <. A , 
b >.  =  <. A ,  B >. )
114113opeq1d 3802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  B  ->  <. <. A , 
b >. ,  <. c ,  d >. >.  =  <. <. A ,  B >. , 
<. c ,  d >. >. )
115114eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A , 
b >. ,  <. c ,  d >. >.  <->  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >. )
)
116115, 263anbi13d 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A , 
b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps )  <->  (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )
) )
117116rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  ( E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A , 
b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps )  <->  E. h  e.  Q  (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )
) )
1181172rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A , 
b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps )  <->  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )
) )
1191182rexbidv 2586 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A , 
b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ps )  <->  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )
) )
120 opeq1 3796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  C  ->  <. c ,  d >.  =  <. C ,  d >. )
121120opeq2d 3803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  C  ->  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  =  <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  d >. >. )
122121eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  C  ->  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  <->  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >. ) )
123122, 323anbi13d 1254 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )  <->  (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) ) )
124123rexbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )  <->  E. h  e.  Q  (
<. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) ) )
1251242rexbidv 2586 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  ( E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )  <->  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) ) )
1261252rexbidv 2586 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ch )  <->  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C , 
d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) ) )
127112, 119, 126rspc3ev 2894 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Q  /\  B  e.  Q  /\  C  e.  Q
)  /\  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  d
>. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  th ) )  ->  E. a  e.  Q  E. b  e.  Q  E. c  e.  Q  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) )
12868, 69, 70, 105, 127syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  E. a  e.  Q  E. b  e.  Q  E. c  e.  Q  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) )
129 br8.9 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  P  =  Q )
130129rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  ( E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
131129, 130rexeqbidv 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
132129, 131rexeqbidv 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  ( E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
133129, 132rexeqbidv 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  ( E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
134129, 133rexeqbidv 2749 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
135129, 134rexeqbidv 2749 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. c  e.  Q  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
136129, 135rexeqbidv 2749 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. b  e.  Q  E. c  e.  Q  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
137129, 136rexeqbidv 2749 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  E. a  e.  Q  E. b  e.  Q  E. c  e.  Q  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b
>. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f >. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
138137rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  S  /\  E. a  e.  Q  E. b  e.  Q  E. c  e.  Q  E. d  e.  Q  E. e  e.  Q  E. f  e.  Q  E. g  e.  Q  E. h  e.  Q  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) )  ->  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) )
13967, 128, 138syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q )  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q
) )  /\  rh )  ->  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) )
140139ex 423 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q
)  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q )
)  ->  ( rh  ->  E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph ) ) )
14166, 140impbid 183 . 2  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q
)  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q )
)  ->  ( E. x  e.  S  E. a  e.  P  E. b  e.  P  E. c  e.  P  E. d  e.  P  E. e  e.  P  E. f  e.  P  E. g  e.  P  E. h  e.  P  ( <. <. A ,  B >. ,  <. C ,  D >. >.  =  <. <. a ,  b >. ,  <. c ,  d >. >.  /\  <. <. E ,  F >. , 
<. G ,  H >. >.  =  <. <. e ,  f
>. ,  <. g ,  h >. >.  /\  ph )  <->  rh )
)
14218, 141syl5bb 248 1  |-  ( ( ( X  e.  S  /\  A  e.  Q  /\  B  e.  Q
)  /\  ( C  e.  Q  /\  D  e.  Q  /\  E  e.  Q )  /\  ( F  e.  Q  /\  G  e.  Q  /\  H  e.  Q )
)  ->  ( <. <. A ,  B >. , 
<. C ,  D >. >. R <. <. E ,  F >. ,  <. G ,  H >. >. 
<->  rh ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076
This theorem is referenced by:  brofs  24628  brifs  24666  brfs  24702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078
  Copyright terms: Public domain W3C validator