Theorem bra11 10041

Description: The bra function maps vectors one-to-one onto the set of continuous linear functionals.

Assertion

Ref	Expression
bra11	|- bra:H~-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn)

Proof of Theorem bra11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8869	. . . . 5 |- H~ e. V
2	1	opabex2 3610	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} e. V
3		df-bra 9776	. . . 4 |- bra = {<.z, t>. | (z e. H~ /\ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})}
4	2, 3	fnopab2 3618	. . 3 |- bra Fn H~
5		funcnv 3557	. . . 4 |- (Fun `'bra <-> A.t e. ran braE*z zbrat)
6		visset 1813	. . . . . . . . . . . . 13 |- t e. V
7	6	fnbrfvb 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ((bra Fn H~ /\ z e. H~) -> ((bra` z) = t <-> zbrat))
8	4, 7	mpan 695	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. H~ -> ((bra` z) = t <-> zbrat))
9	6	fnbrfvb 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ((bra Fn H~ /\ y e. H~) -> ((bra` y) = t <-> ybrat))
10	4, 9	mpan 695	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. H~ -> ((bra` y) = t <-> ybrat))
11	8, 10	bi2anan9 632	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) <-> (zbrat /\ ybrat)))
12		fveq1 3723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((bra` z) = (bra` y) -> ((bra` z)` x) = ((bra` y)` x))
13	12	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` z)` x) = ((bra` y)` x))
14		bravalvalt 9868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((z e. H~ /\ x e. H~) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
15	14	adantlr 393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
16	15	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` z)` x) = (x .ih z))
17		bravalvalt 9868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. H~ /\ x e. H~) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
18	17	adantll 392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> ((bra` y)` x) = (x .ih y))
20	13, 16, 19	3eqtr3d 1515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((z e. H~ /\ y e. H~) /\ x e. H~) /\ (bra` z) = (bra` y)) -> (x .ih z) = (x .ih y))
21	20	exp31 376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (x e. H~ -> ((bra` z) = (bra` y) -> (x .ih z) = (x .ih y))))
22	21	com23 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((bra` z) = (bra` y) -> (x e. H~ -> (x .ih z) = (x .ih y))))
23	22	r19.21adv 1718	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((bra` z) = (bra` y) -> A.x e. H~ (x .ih z) = (x .ih y)))
24		hial2eq2t 8973	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (A.x e. H~ (x .ih z) = (x .ih y) <-> z = y))
25	23, 24	sylibd 202	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((bra` z) = (bra` y) -> z = y))
26		eqtr3t 1494	. . . . . . . . . . 11 |- (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) -> (bra` z) = (bra` y))
27	25, 26	syl5 21	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> (((bra` z) = t /\ (bra` y) = t) -> z = y))
28	11, 27	sylbird 205	. . . . . . . . 9 |- ((z e. H~ /\ y e. H~) -> ((zbrat /\ ybrat) -> z = y))
29	28	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((z e. H~ /\ y e. H~) /\ (zbrat /\ ybrat)) -> z = y)
30	29	an4s 508	. . . . . . 7 |- (((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y)
31	30	gen2 983	. . . . . 6 |- A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y)
32	31	a1i 8	. . . . 5 |- (E.z e. H~ (bra` z) = t -> A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y))
33		fvelrnb 3760	. . . . . 6 |- (bra Fn H~ -> (t e. ran bra <-> E.z e. H~ (bra` z) = t))
34	4, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (t e. ran bra <-> E.z e. H~ (bra` z) = t)
35		visset 1813	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
36	35	breldm 3315	. . . . . . . . 9 |- (zbrat -> z e. dom bra)
37	2, 3	dmopab2 3619	. . . . . . . . 9 |- dom bra = H~
38	36, 37	syl6eleq 1558	. . . . . . . 8 |- (zbrat -> z e. H~)
39	38	pm4.71ri 638	. . . . . . 7 |- (zbrat <-> (z e. H~ /\ zbrat))
40	39	mobii 1405	. . . . . 6 |- (E*z zbrat <-> E*z(z e. H~ /\ zbrat))
41		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (z e. H~ <-> y e. H~))
42		breq1 2622	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (zbrat <-> ybrat))
43	41, 42	anbi12d 628	. . . . . . 7 |- (z = y -> ((z e. H~ /\ zbrat) <-> (y e. H~ /\ ybrat)))
44	43	mo4 1403	. . . . . 6 |- (E*z(z e. H~ /\ zbrat) <-> A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y))
45	40, 44	bitr 173	. . . . 5 |- (E*z zbrat <-> A.zA.y(((z e. H~ /\ zbrat) /\ (y e. H~ /\ ybrat)) -> z = y))
46	32, 34, 45	3imtr4 219	. . . 4 |- (t e. ran bra -> E*z zbrat)
47	5, 46	mprgbir 1701	. . 3 |- Fun `'bra
48		rnbra 10040	. . 3 |- ran bra = (LinFn i^i ConFn)
49	4, 47, 48	3pm3.2i 818	. 2 |- (bra Fn H~ /\ Fun `'bra /\ ran bra = (LinFn i^i ConFn))
50		f1o2 3693	. 2 |- (bra:H~-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn) <-> (bra Fn H~ /\ Fun `'bra /\ ran bra = (LinFn i^i ConFn)))
51	49, 50	mpbir 190	1 |- bra:H~-1-1-onto->(LinFn i^i ConFn)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E*wmo 1381  A.wral 1645  E.wrex 1646   i^i cin 2046   class class class wbr 2619  {copab 2666  `'ccnv 3169  dom cdm 3170  ran crn 3171  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  -1-1-onto->wf1o 3181  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8788   .ih csp 8793  ConFnccnf 8822  LinFnclf 8823  bracbr 8825

This theorem is referenced by:  bracnlnt 10042  cnvbravalt 10043  cnvbraclt 10044  cnvbrabrat 10045  bracnvbrat 10046  bracnlnvalt 10047

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842  df-sh 9076  df-ch 9092  df-oc 9124  df-ch0 9125  df-nmfn 9771  df-nlfn 9772  df-cnfn 9773  df-lnfn 9774  df-bra 9776

Copyright terms: Public domain