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Theorem branmfn 22701
Description: The norm of the bra function. (Contributed by NM, 24-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
branmfn  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )

Proof of Theorem branmfn
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( A  =  0h  ->  ( bra `  A )  =  ( bra `  0h ) )
21fveq2d 5545 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normfn `  ( bra `  0h ) ) )
3 fveq2 5541 . . 3  |-  ( A  =  0h  ->  ( normh `  A )  =  ( normh `  0h )
)
42, 3eqeq12d 2310 . 2  |-  ( A  =  0h  ->  (
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )  <->  (
normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) ) )
5 brafn 22543 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( bra `  A ) : ~H --> CC )
6 nmfnval 22472 . . . . 5  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  (
normfn `  ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
87adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
9 nmfnsetre 22473 . . . . . . . 8  |-  ( ( bra `  A ) : ~H --> CC  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } 
C_  RR )
105, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR )
11 ressxr 8892 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
1210, 11syl6ss 3204 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* )
13 normcl 21720 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
1413rexrd 8897 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e. 
RR* )
1512, 14jca 518 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )
)
17 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
18 eqeq1 2302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
2019rexbidv 2577 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) ) )
2117, 20elab 2927 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) )
22 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) )
23 braval 22540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( bra `  A
) `  y )  =  ( y  .ih  A ) )
2423fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )
2622, 25sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) )
27 bcs2 21777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
28273expa 1151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
2928ancom1s 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_  1 )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3029adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  ( abs `  ( y  .ih  A ) )  <_  ( normh `  A ) )
3126, 30eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  y  e.  ~H )  /\  ( normh `  y )  <_ 
1 )  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
)
3231exp41 593 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( normh `  y )  <_  1  ->  ( z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  ->  z  <_  (
normh `  A ) ) ) ) )
3332imp4a 572 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
y  e.  ~H  ->  ( ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) ) )
3433rexlimdv 2679 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  z  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) )  ->  z  <_  ( normh `  A )
) )
3534imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  z  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )  -> 
z  <_  ( normh `  A ) )
3621, 35sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } )  ->  z  <_  ( normh `  A ) )
3736ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3837adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
) )
3913recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  CC )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  CC )
41 normne0 21725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  =/=  0  <->  A  =/=  0h )
)
4241biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =/=  0 )
4340, 42reccld 9545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC )
44 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A  e.  ~H )
45 hvmulcl 21609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  e. 
~H )
4643, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H )
47 norm1 21844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  =  1 )
48 1le1 9412 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <_  1
4947, 48syl6eqbr 4076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1 )
50 ax-his3 21679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  CC  /\  A  e.  ~H  /\  A  e. 
~H )  ->  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A )  =  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) ) )
5143, 44, 44, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
5213adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  RR )
5352, 42rereccld 9603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )
54 hiidrcl 21690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  .ih  A )  e.  RR )
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( A  .ih  A
)  e.  RR )
5653, 55remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( A 
.ih  A ) )  e.  RR )
5751, 56eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )  e.  RR )
58 normgt0 21722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( A  =/=  0h  <->  0  <  (
normh `  A ) ) )
5958biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( normh `  A ) )
6052, 59recgt0d 9707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
61 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
62 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
1  /  ( normh `  A ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) ) )
6361, 62mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  e.  RR  ->  ( 0  <  ( 1  / 
( normh `  A )
)  ->  0  <_  ( 1  /  ( normh `  A ) ) ) )
6453, 60, 63sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( 1  /  ( normh `  A
) ) )
65 hiidge0 21693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( A  .ih  A
) )
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( A  .ih  A ) )
6753, 55, 64, 66mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A
) ) )
6867, 51breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
0  <_  ( (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) )
6957, 68absidd 11921 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )  =  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A
) )
7040, 42recid2d 9548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( normh `  A ) )  =  1 )
7170oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( normh `  A )  x.  1 ) )
7240, 43, 40mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( ( normh `  A )  x.  ( normh `  A ) ) ) )
7339sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) ) )
74 normsq 21729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A ) ^ 2 )  =  ( A  .ih  A
) )
7573, 74eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( A 
.ih  A ) )
7675adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( normh `  A ) )  =  ( A  .ih  A
) )
7776oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  x.  ( (
normh `  A )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7872, 77eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  A )
) )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
7939mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  A )  x.  1 )  =  (
normh `  A ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( ( normh `  A
)  x.  1 )  =  ( normh `  A
) )
8171, 78, 803eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  x.  ( A  .ih  A ) ) )
8251, 69, 813eqtr4rd 2339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) )
83 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( normh `  y )  =  (
normh `  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
) ) )
8483breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  <->  ( normh `  (
( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_  1 ) )
85 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( y  .ih  A )  =  ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) )
8685fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( abs `  ( y  .ih  A
) )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) )
8786eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  .ih  A )
) ) )
8884, 87anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( 1  /  ( normh `  A
) )  .h  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) )  <->  ( ( normh `  ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A ) 
.ih  A ) ) ) ) )
8988rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  / 
( normh `  A )
)  .h  A )  e.  ~H  /\  (
( normh `  ( (
1  /  ( normh `  A ) )  .h  A ) )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  ( normh `  A ) )  .h  A )  .ih  A ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9046, 49, 82, 89syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) )
9124eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( y  .ih  A
) ) ) )
9291anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( y 
.ih  A ) ) ) ) )
9392rexbidva 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9493adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( E. y  e. 
~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
y  .ih  A )
) ) ) )
9590, 94mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
96 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( normh `  A )  e.  _V
97 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
)  <->  ( normh `  A
)  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) )
9897anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  ( ( normh `  y )  <_ 
1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `
 y ) ) ) ) )
9998rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( normh `  A
)  ->  ( E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) )  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) ) )
10096, 99elab 2927 . . . . . . . . 9  |-  ( (
normh `  A )  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  <->  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  ( normh `  A )  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) )
10195, 100sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } )
102 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( normh `  A
)  ->  ( z  <  w  <->  z  <  ( normh `  A ) ) )
103102rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  A )  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) }  /\  z  <  ( normh `  A
) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
104101, 103sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  <  ( normh `  A ) )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
105104adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  /\  z  <  ( normh `  A )
)  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w )
106105ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  /\  z  e.  RR )  ->  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) )
107106ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  A. z  e.  RR  ( z  <  ( normh `  A )  ->  E. w  e.  { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <  w ) )
108 supxr2 10648 . . . 4  |-  ( ( ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) }  C_  RR* 
/\  ( normh `  A
)  e.  RR* )  /\  ( A. z  e. 
{ x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } z  <_  ( normh `  A
)  /\  A. z  e.  RR  ( z  < 
( normh `  A )  ->  E. w  e.  {
x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A ) `  y
) ) ) } z  <  w ) ) )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  (
( normh `  y )  <_  1  /\  x  =  ( abs `  (
( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
10916, 38, 107, 108syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  ->  sup ( { x  |  E. y  e.  ~H  ( ( normh `  y
)  <_  1  /\  x  =  ( abs `  ( ( bra `  A
) `  y )
) ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( normh `  A )
)
1108, 109eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  A  =/=  0h )  -> 
( normfn `  ( bra `  A ) )  =  ( normh `  A )
)
111 nmfn0 22583 . . . 4  |-  ( normfn `  ( ~H  X.  {
0 } ) )  =  0
112 bra0 22546 . . . . 5  |-  ( bra `  0h )  =  ( ~H  X.  { 0 } )
113112fveq2i 5544 . . . 4  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normfn `  ( ~H  X.  { 0 } ) )
114 norm0 21723 . . . 4  |-  ( normh `  0h )  =  0
115111, 113, 1143eqtr4i 2326 . . 3  |-  ( normfn `  ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h )
116115a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  0h ) )  =  (
normh `  0h ) )
1174, 110, 116pm2.61ne 2534 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normfn `
 ( bra `  A
) )  =  (
normh `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   ^cexp 11120   abscabs 11735   ~Hchil 21515    .h csm 21517    .ih csp 21518   normhcno 21519   0hc0v 21520   normfncnmf 21547   bracbr 21552
This theorem is referenced by:  brabn  22702
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833  ax-hilex 21595  ax-hfvadd 21596  ax-hvcom 21597  ax-hvass 21598  ax-hv0cl 21599  ax-hvaddid 21600  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulid 21602  ax-hvmulass 21603  ax-hvdistr1 21604  ax-hvdistr2 21605  ax-hvmul0 21606  ax-hfi 21674  ax-his1 21677  ax-his2 21678  ax-his3 21679  ax-his4 21680
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-t1 17058  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876  df-gdiv 20877  df-ablo 20965  df-vc 21118  df-nv 21164  df-va 21167  df-ba 21168  df-sm 21169  df-0v 21170  df-vs 21171  df-nmcv 21172  df-ims 21173  df-dip 21290  df-ph 21407  df-hnorm 21564  df-hba 21565  df-hvsub 21567  df-nmfn 22441  df-lnfn 22444  df-bra 22446
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