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Theorem brapply 25783
 Description: The binary relationship form of the Apply function. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
brapply.1
brapply.2
brapply.3
Assertion
Ref Expression
brapply Apply

Proof of Theorem brapply
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4405 . . . 4
21inex1 4344 . . 3
3 unieq 4024 . . . . 5
43unieqd 4026 . . . 4
54eqeq2d 2447 . . 3
62, 5ceqsexv 2991 . 2
7 df-apply 25717 . . . 4 Apply (++) Singleton Img pprod Singleton
87breqi 4218 . . 3 Apply (++) Singleton Img pprod Singleton
9 opex 4427 . . . 4
10 brapply.3 . . . 4
119, 10brco 5043 . . 3 (++) Singleton Img pprod Singleton (++) Singleton Img pprod Singleton
12 vex 2959 . . . . . . 7
139, 12brco 5043 . . . . . 6 (++) Singleton Img pprod Singleton Singleton Img pprod Singleton (++)
14 vex 2959 . . . . . . . . . 10
159, 14brco 5043 . . . . . . . . 9 Singleton Img pprod Singleton pprod Singleton Singleton Img
16 brapply.1 . . . . . . . . . . . . 13
17 brapply.2 . . . . . . . . . . . . 13
18 vex 2959 . . . . . . . . . . . . 13
1916, 17, 18brpprod3a 25731 . . . . . . . . . . . 12 pprod Singleton Singleton
20 3anrot 941 . . . . . . . . . . . . . 14 Singleton Singleton
21 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221ideq 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2422, 23bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2617, 25brsingle 25762 . . . . . . . . . . . . . . 15 Singleton
27 biid 228 . . . . . . . . . . . . . . 15
2824, 26, 273anbi123i 1142 . . . . . . . . . . . . . 14 Singleton
2920, 28bitri 241 . . . . . . . . . . . . 13 Singleton
30292exbii 1593 . . . . . . . . . . . 12 Singleton
31 snex 4405 . . . . . . . . . . . . 13
32 opeq1 3984 . . . . . . . . . . . . . 14
3332eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13
34 opeq2 3985 . . . . . . . . . . . . . 14
3534eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . . 13
3616, 31, 33, 35ceqsex2v 2993 . . . . . . . . . . . 12
3719, 30, 363bitri 263 . . . . . . . . . . 11 pprod Singleton
3837anbi1i 677 . . . . . . . . . 10 pprod Singleton Singleton Img Singleton Img
3938exbii 1592 . . . . . . . . 9 pprod Singleton Singleton Img Singleton Img
40 opex 4427 . . . . . . . . . . 11
41 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11 Singleton Img Singleton Img
4240, 41ceqsexv 2991 . . . . . . . . . 10 Singleton Img Singleton Img
4340, 14brco 5043 . . . . . . . . . 10 Singleton Img Img Singleton
4416, 31, 12brimg 25782 . . . . . . . . . . . . 13 Img
4512, 14brsingle 25762 . . . . . . . . . . . . 13 Singleton
4644, 45anbi12i 679 . . . . . . . . . . . 12 Img Singleton
4746exbii 1592 . . . . . . . . . . 11 Img Singleton
48 imaexg 5217 . . . . . . . . . . . . 13
4916, 48ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
50 sneq 3825 . . . . . . . . . . . . 13
5150eqeq2d 2447 . . . . . . . . . . . 12
5249, 51ceqsexv 2991 . . . . . . . . . . 11
5347, 52bitri 241 . . . . . . . . . 10 Img Singleton
5442, 43, 533bitri 263 . . . . . . . . 9 Singleton Img
5515, 39, 543bitri 263 . . . . . . . 8 Singleton Img pprod Singleton
56 eqid 2436 . . . . . . . . 9 (++) (++)
57 brxp 4909 . . . . . . . . . 10
5814, 12, 57mpbir2an 887 . . . . . . . . 9
59 epel 4497 . . . . . . . . . . 11
6059anbi1i 677 . . . . . . . . . 10
6114brres 5152 . . . . . . . . . 10
62 elin 3530 . . . . . . . . . 10
6360, 61, 623bitr4ri 270 . . . . . . . . 9
6414, 12, 56, 58, 63brtxpsd3 25741 . . . . . . . 8 (++)
6555, 64anbi12i 679 . . . . . . 7 Singleton Img pprod Singleton (++)
6665exbii 1592 . . . . . 6 Singleton Img pprod Singleton (++)
67 ineq1 3535 . . . . . . . 8
6867eqeq2d 2447 . . . . . . 7
691, 68ceqsexv 2991 . . . . . 6
7013, 66, 693bitri 263 . . . . 5 (++) Singleton Img pprod Singleton
7112, 10brco 5043 . . . . . 6
7214brbigcup 25743 . . . . . . . . 9
73 eqcom 2438 . . . . . . . . 9
7472, 73bitri 241 . . . . . . . 8
7510brbigcup 25743 . . . . . . . . 9
76 eqcom 2438 . . . . . . . . 9
7775, 76bitri 241 . . . . . . . 8
7874, 77anbi12i 679 . . . . . . 7
7978exbii 1592 . . . . . 6
8012uniex 4705 . . . . . . 7
81 unieq 4024 . . . . . . . 8
8281eqeq2d 2447 . . . . . . 7
8380, 82ceqsexv 2991 . . . . . 6
8471, 79, 833bitri 263 . . . . 5
8570, 84anbi12i 679 . . . 4 (++) Singleton Img pprod Singleton
8685exbii 1592 . . 3 (++) Singleton Img pprod Singleton
878, 11, 863bitri 263 . 2 Apply
88 dffv5 25769 . . 3
8988eqeq2i 2446 . 2
906, 87, 893bitr4i 269 1 Apply
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2956   cdif 3317   cin 3319  csn 3814  cop 3817  cuni 4015   class class class wbr 4212   cep 4492   cid 4493   cxp 4876   crn 4879   cres 4880  cima 4881   ccom 4882  cfv 5454  (++)csymdif 25662   ctxp 25674  pprodcpprod 25675  cbigcup 25678  Singletoncsingle 25682  csingles 25683  Imgcimg 25686  Applycapply 25689 This theorem is referenced by:  dfrdg4  25795  tfrqfree  25796 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-eprel 4494  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-symdif 25663  df-txp 25698  df-pprod 25699  df-bigcup 25702  df-singleton 25706  df-singles 25707  df-image 25708  df-cart 25709  df-img 25710  df-apply 25717
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