Theorem bravalt 9862

Description: The bra of a vector, expressed as <.A | in Dirac notation. See df-bra 9771.

Assertion

Ref	Expression
bravalt	|- (A e. H~ -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem bravalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . 5 |- (z = A -> (x .ih z) = (x .ih A))
2	1	eqeq2d 1489	. . . 4 |- (z = A -> (y = (x .ih z) <-> y = (x .ih A)))
3	2	anbi2d 618	. . 3 |- (z = A -> ((x e. H~ /\ y = (x .ih z)) <-> (x e. H~ /\ y = (x .ih A))))
4	3	opabbidv 2675	. 2 |- (z = A -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})
5		df-bra 9771	. 2 |- bra = {<.z, w>. | (z e. H~ /\ w = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih z))})}
6		ax-hilex 8864	. . 3 |- H~ e. V
7	6	opabex2 3616	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))} e. V
8	4, 5, 7	fvopab4 3786	1 |- (A e. H~ -> (bra` A) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (x .ih A))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  H~chil 8783   .ih csp 8788  bracbr 8820

This theorem is referenced by:  bravalvalt 9863  brafnt 9866  bra0 9869  brafnmult 9870  rnbra 10035  kbass2t 10045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-opr 3971  df-bra 9771

Copyright terms: Public domain