Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brbigcup Structured version   Unicode version

Theorem brbigcup 25735
Description: Binary relationship over  Bigcup. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
brbigcup.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brbigcup  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )

Proof of Theorem brbigcup
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 25734 . . 3  |-  Rel  Bigcup
21brrelexi 4910 . 2  |-  ( A
Bigcup B  ->  A  e.  _V )
3 brbigcup.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4 eleq1 2495 . . . 4  |-  ( U. A  =  B  ->  ( U. A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbiri 225 . . 3  |-  ( U. A  =  B  ->  U. A  e.  _V )
6 uniexb 4744 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
75, 6sylibr 204 . 2  |-  ( U. A  =  B  ->  A  e.  _V )
8 breq1 4207 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x Bigcup B  <->  A Bigcup B ) )
9 unieq 4016 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
109eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  =  B  <->  U. A  =  B ) )
11 vex 2951 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
12 df-bigcup 25694 . . . . 5  |-  Bigcup  =  ( ( _V  X.  _V )  \  ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( (  _E  o.  _E  )  (x)  _V )
) )
13 brxp 4901 . . . . . 6  |-  ( x ( _V  X.  _V ) B  <->  ( x  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
1411, 3, 13mpbir2an 887 . . . . 5  |-  x ( _V  X.  _V ) B
15 epel 4489 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1615rexbii 2722 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  x  y  _E  z  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
17 vex 2951 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1817, 11coep 25366 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  o.  _E  ) x  <->  E. z  e.  x  y  _E  z )
19 eluni2 4011 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. x  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
2016, 18, 193bitr4ri 270 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. x  <->  y (  _E  o.  _E  ) x )
2111, 3, 12, 14, 20brtxpsd3 25733 . . . 4  |-  ( x
Bigcup B  <->  B  =  U. x )
22 eqcom 2437 . . . 4  |-  ( B  =  U. x  <->  U. x  =  B )
2321, 22bitri 241 . . 3  |-  ( x
Bigcup B  <->  U. x  =  B )
248, 10, 23vtoclbg 3004 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A Bigcup B  <->  U. A  =  B ) )
252, 7, 24pm5.21nii 343 1  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   _Vcvv 2948   U.cuni 4007   class class class wbr 4204    _E cep 4484    X. cxp 4868    o. ccom 4874   Bigcupcbigcup 25670
This theorem is referenced by:  dfbigcup2  25736  fvbigcup  25739  ellimits  25747  brapply  25775  dfrdg4  25787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-eprel 4486  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fo 5452  df-fv 5454  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-symdif 25655  df-txp 25690  df-bigcup 25694
  Copyright terms: Public domain W3C validator