Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brbigcup Unicode version

Theorem brbigcup 24438
Description: Binary relationship over  Bigcup. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
brbigcup.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brbigcup  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )

Proof of Theorem brbigcup
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 24437 . . 3  |-  Rel  Bigcup
21brrelexi 4729 . 2  |-  ( A
Bigcup B  ->  A  e.  _V )
3 brbigcup.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( U. A  =  B  ->  ( U. A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbiri 224 . . 3  |-  ( U. A  =  B  ->  U. A  e.  _V )
6 uniexb 4563 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
75, 6sylibr 203 . 2  |-  ( U. A  =  B  ->  A  e.  _V )
8 breq1 4026 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x Bigcup B  <->  A Bigcup B ) )
9 unieq 3836 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
109eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  =  B  <->  U. A  =  B ) )
11 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
12 df-bigcup 24399 . . . . 5  |-  Bigcup  =  ( ( _V  X.  _V )  \  ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( (  _E  o.  _E  )  (x)  _V )
) )
13 brxp 4720 . . . . . 6  |-  ( x ( _V  X.  _V ) B  <->  ( x  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
1411, 3, 13mpbir2an 886 . . . . 5  |-  x ( _V  X.  _V ) B
15 epel 4308 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1615rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  x  y  _E  z  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
17 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1817, 11coep 24108 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  o.  _E  ) x  <->  E. z  e.  x  y  _E  z )
19 eluni2 3831 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. x  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
2016, 18, 193bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. x  <->  y (  _E  o.  _E  ) x )
2111, 3, 12, 14, 20brtxpsd3 24436 . . . 4  |-  ( x
Bigcup B  <->  B  =  U. x )
22 eqcom 2285 . . . 4  |-  ( B  =  U. x  <->  U. x  =  B )
2321, 22bitri 240 . . 3  |-  ( x
Bigcup B  <->  U. x  =  B )
248, 10, 23vtoclbg 2844 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A Bigcup B  <->  U. A  =  B ) )
252, 7, 24pm5.21nii 342 1  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    _E cep 4303    X. cxp 4687    o. ccom 4693   Bigcupcbigcup 24377
This theorem is referenced by:  dfbigcup2  24439  fvbigcup  24442  ellimits  24450  brapply  24477  dfrdg4  24488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-eprel 4305  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-symdif 24362  df-txp 24395  df-bigcup 24399
  Copyright terms: Public domain W3C validator