Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brbigcup Unicode version

Theorem brbigcup 25464
Description: Binary relationship over  Bigcup. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
brbigcup.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brbigcup  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )

Proof of Theorem brbigcup
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 25463 . . 3  |-  Rel  Bigcup
21brrelexi 4860 . 2  |-  ( A
Bigcup B  ->  A  e.  _V )
3 brbigcup.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4 eleq1 2449 . . . 4  |-  ( U. A  =  B  ->  ( U. A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbiri 225 . . 3  |-  ( U. A  =  B  ->  U. A  e.  _V )
6 uniexb 4694 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
75, 6sylibr 204 . 2  |-  ( U. A  =  B  ->  A  e.  _V )
8 breq1 4158 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x Bigcup B  <->  A Bigcup B ) )
9 unieq 3968 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
109eqeq1d 2397 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  =  B  <->  U. A  =  B ) )
11 vex 2904 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
12 df-bigcup 25425 . . . . 5  |-  Bigcup  =  ( ( _V  X.  _V )  \  ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( (  _E  o.  _E  )  (x)  _V )
) )
13 brxp 4851 . . . . . 6  |-  ( x ( _V  X.  _V ) B  <->  ( x  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
1411, 3, 13mpbir2an 887 . . . . 5  |-  x ( _V  X.  _V ) B
15 epel 4440 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1615rexbii 2676 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  x  y  _E  z  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
17 vex 2904 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1817, 11coep 25134 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  o.  _E  ) x  <->  E. z  e.  x  y  _E  z )
19 eluni2 3963 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. x  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
2016, 18, 193bitr4ri 270 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. x  <->  y (  _E  o.  _E  ) x )
2111, 3, 12, 14, 20brtxpsd3 25462 . . . 4  |-  ( x
Bigcup B  <->  B  =  U. x )
22 eqcom 2391 . . . 4  |-  ( B  =  U. x  <->  U. x  =  B )
2321, 22bitri 241 . . 3  |-  ( x
Bigcup B  <->  U. x  =  B )
248, 10, 23vtoclbg 2957 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A Bigcup B  <->  U. A  =  B ) )
252, 7, 24pm5.21nii 343 1  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   _Vcvv 2901   U.cuni 3959   class class class wbr 4155    _E cep 4435    X. cxp 4818    o. ccom 4824   Bigcupcbigcup 25403
This theorem is referenced by:  dfbigcup2  25465  fvbigcup  25468  ellimits  25476  brapply  25503  dfrdg4  25515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-eprel 4437  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fo 5402  df-fv 5404  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-symdif 25388  df-txp 25421  df-bigcup 25425
  Copyright terms: Public domain W3C validator