Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brbigcup Unicode version

Theorem brbigcup 24509
Description: Binary relationship over  Bigcup. (Contributed by Scott Fenton, 11-Apr-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
brbigcup.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
brbigcup  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )

Proof of Theorem brbigcup
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relbigcup 24508 . . 3  |-  Rel  Bigcup
21brrelexi 4745 . 2  |-  ( A
Bigcup B  ->  A  e.  _V )
3 brbigcup.1 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4 eleq1 2356 . . . 4  |-  ( U. A  =  B  ->  ( U. A  e.  _V  <->  B  e.  _V ) )
53, 4mpbiri 224 . . 3  |-  ( U. A  =  B  ->  U. A  e.  _V )
6 uniexb 4579 . . 3  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
75, 6sylibr 203 . 2  |-  ( U. A  =  B  ->  A  e.  _V )
8 breq1 4042 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
x Bigcup B  <->  A Bigcup B ) )
9 unieq 3852 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
109eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( U. x  =  B  <->  U. A  =  B ) )
11 vex 2804 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
12 df-bigcup 24470 . . . . 5  |-  Bigcup  =  ( ( _V  X.  _V )  \  ran  ( ( _V  (x)  _E  )(++) ( (  _E  o.  _E  )  (x)  _V )
) )
13 brxp 4736 . . . . . 6  |-  ( x ( _V  X.  _V ) B  <->  ( x  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
1411, 3, 13mpbir2an 886 . . . . 5  |-  x ( _V  X.  _V ) B
15 epel 4324 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
1615rexbii 2581 . . . . . 6  |-  ( E. z  e.  x  y  _E  z  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
17 vex 2804 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1817, 11coep 24179 . . . . . 6  |-  ( y (  _E  o.  _E  ) x  <->  E. z  e.  x  y  _E  z )
19 eluni2 3847 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U. x  <->  E. z  e.  x  y  e.  z )
2016, 18, 193bitr4ri 269 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. x  <->  y (  _E  o.  _E  ) x )
2111, 3, 12, 14, 20brtxpsd3 24507 . . . 4  |-  ( x
Bigcup B  <->  B  =  U. x )
22 eqcom 2298 . . . 4  |-  ( B  =  U. x  <->  U. x  =  B )
2321, 22bitri 240 . . 3  |-  ( x
Bigcup B  <->  U. x  =  B )
248, 10, 23vtoclbg 2857 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A Bigcup B  <->  U. A  =  B ) )
252, 7, 24pm5.21nii 342 1  |-  ( A
Bigcup B  <->  U. A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    _E cep 4319    X. cxp 4703    o. ccom 4709   Bigcupcbigcup 24448
This theorem is referenced by:  dfbigcup2  24510  fvbigcup  24513  ellimits  24521  brapply  24548  dfrdg4  24560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-eprel 4321  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fo 5277  df-fv 5279  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-symdif 24433  df-txp 24466  df-bigcup 24470
  Copyright terms: Public domain W3C validator