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Theorem brbtwn 24527
Description: The binary relationship form of the betweenness predicate. The statement  A  Btwn  <. B ,  C >. should be informally read as " A lies on a line segment between  B and  C. This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, N, t    A, i, t    B, i, t    C, i, t

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 24520 . . 3  |-  Btwn  =  `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }
21breqi 4029 . 2  |-  ( A 
Btwn  <. B ,  C >.  <-> 
A `' { <. <.
y ,  z >. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  (
( y  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. )
3 opex 4237 . . . . 5  |-  <. B ,  C >.  e.  _V
4 brcnvg 4862 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  <. B ,  C >.  e. 
_V )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
53, 4mpan2 652 . . . 4  |-  ( A  e.  ( EE `  N )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
653ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<-> 
<. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A ) )
7 df-br 4024 . . . 4  |-  ( <. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } A  <->  <. <. B ,  C >. ,  A >.  e. 
{ <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } )
8 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( EE
`  n )  <->  B  e.  ( EE `  n ) ) )
983anbi1d 1256 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) ) ) )
10 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  B  ->  (
y `  i )  =  ( B `  i ) )
1110oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  B  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) ) )
1211oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
z `  i )
) ) )
1312eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) )
1413rexralbidv 2587 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( y `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) )
159, 14anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n
)  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) ) )
1615rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( y  =  B  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) ) )
17 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
z  e.  ( EE
`  n )  <->  C  e.  ( EE `  n ) ) )
18173anbi2d 1257 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) ) ) )
19 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  (
z `  i )  =  ( C `  i ) )
2019oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  (
t  x.  ( z `
 i ) )  =  ( t  x.  ( C `  i
) ) )
2120oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
) ) )
2221eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  C  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
2322rexralbidv 2587 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  C  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( z `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
2418, 23anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  C  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
2524rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( z  =  C  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
26 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( EE
`  n )  <->  A  e.  ( EE `  n ) ) )
27263anbi3d 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) ) )
28 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  (
x `  i )  =  ( A `  i ) )
2928eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  (
( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
3029rexralbidv 2587 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( x `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
3127, 30anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  <->  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
3231rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
3316, 25, 32eloprabg 5935 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. <. B ,  C >. ,  A >.  e.  { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }  <->  E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) ) )
34 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n
) )  ->  B  e.  ( EE `  n
) )
35 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
36 eedimeq 24526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  n )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  n  =  N )
3734, 35, 36syl2anr 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  n  =  N )
38 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... N
) )
3938raleqdv 2742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( A. i  e.  (
1 ... n ) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4039rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4137, 40syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4241biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n
)  /\  A  e.  ( EE `  n ) ) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... n ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) )  ->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
4342expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
4443rexlimdvw 2670 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( B  e.  ( EE `  n
)  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) )  ->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
45 eleenn 24524 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
46453ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  N  e.  NN )
47 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  ( EE `  n )  =  ( EE `  N
) )
4847eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( B  e.  ( EE `  n )  <->  B  e.  ( EE `  N ) ) )
4947eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( C  e.  ( EE `  n )  <->  C  e.  ( EE `  N ) ) )
5047eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  N  ->  ( A  e.  ( EE `  n )  <->  A  e.  ( EE `  N ) ) )
5148, 49, 503anbi123d 1252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  N  ->  (
( B  e.  ( EE `  n )  /\  C  e.  ( EE `  n )  /\  A  e.  ( EE `  n ) )  <->  ( B  e.  ( EE `  N
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5251, 40anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  N  ->  (
( ( B  e.  ( EE `  n
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5352rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( B  e.  ( EE `  N
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5453exp32 588 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N ) )  ->  ( E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i )
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5546, 54mpcom 32 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  A  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
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5644, 55impbid 183 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
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>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
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y `  i )
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) A. i  e.  ( 1 ... N
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)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
58573comr 1159 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( EE
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) )  ->  ( <. <. B ,  C >. ,  A >.  e.  { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
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y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) }  <->  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... N
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597, 58syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( <. B ,  C >. {
<. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
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y `  i )
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) A. i  e.  ( 1 ... N
) ( A `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( C `  i ) ) ) ) )
606, 59bitrd 244 . 2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A `' { <. <. y ,  z
>. ,  x >.  |  E. n  e.  NN  ( ( y  e.  ( EE `  n
)  /\  z  e.  ( EE `  n )  /\  x  e.  ( EE `  n ) )  /\  E. t  e.  ( 0 [,] 1
) A. i  e.  ( 1 ... n
) ( x `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  (
y `  i )
)  +  ( t  x.  ( z `  i ) ) ) ) } <. B ,  C >. 
<->  E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
612, 60syl5bb 248 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N
) )  ->  ( A  Btwn  <. B ,  C >.  <->  E. t  e.  (
0 [,] 1 ) A. i  e.  ( 1 ... N ) ( A `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( C `  i
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   <.cop 3643   class class class wbr 4023   `'ccnv 4688   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   {coprab 5859   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   NNcn 9746   [,]cicc 10659   ...cfz 10782   EEcee 24516    Btwn cbtwn 24517
This theorem is referenced by:  brbtwn2  24533  axsegcon  24555  ax5seg  24566  axbtwnid  24567  axpasch  24569  axeuclid  24591  axcontlem2  24593  axcontlem4  24595  axcontlem7  24598  axcontlem8  24599
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-ee 24519  df-btwn 24520
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