Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brbtwn Structured version   Unicode version

Theorem brbtwn 25830
 Description: The binary relationship form of the betweenness predicate. The statement should be informally read as " lies on a line segment between and . This exact definition is abstracted away by Tarski's geometry axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brbtwn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem brbtwn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-btwn 25823 . . 3
21breqi 4210 . 2
3 opex 4419 . . . . 5
4 brcnvg 5045 . . . . 5
53, 4mpan2 653 . . . 4
7 df-br 4205 . . . 4
8 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10
983anbi1d 1258 . . . . . . . . 9
10 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13
1110oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12
1211oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11
1312eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10
1413rexralbidv 2741 . . . . . . . . 9
159, 14anbi12d 692 . . . . . . . 8
1615rexbidv 2718 . . . . . . 7
17 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10
18173anbi2d 1259 . . . . . . . . 9
19 fveq1 5719 . . . . . . . . . . . . 13
2019oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12
2120oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
2221eqeq2d 2446 . . . . . . . . . 10
2322rexralbidv 2741 . . . . . . . . 9
2418, 23anbi12d 692 . . . . . . . 8
2524rexbidv 2718 . . . . . . 7
26 eleq1 2495 . . . . . . . . . 10
27263anbi3d 1260 . . . . . . . . 9
28 fveq1 5719 . . . . . . . . . . 11
2928eqeq1d 2443 . . . . . . . . . 10
3029rexralbidv 2741 . . . . . . . . 9
3127, 30anbi12d 692 . . . . . . . 8
3231rexbidv 2718 . . . . . . 7
3316, 25, 32eloprabg 6153 . . . . . 6
34 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12
35 simp1 957 . . . . . . . . . . . 12
36 eedimeq 25829 . . . . . . . . . . . 12
3734, 35, 36syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11
38 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13
3938raleqdv 2902 . . . . . . . . . . . 12
4039rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . 10
4241biimpd 199 . . . . . . . . 9
4342expimpd 587 . . . . . . . 8
4443rexlimdvw 2825 . . . . . . 7
45 eleenn 25827 . . . . . . . . 9
46453ad2ant1 978 . . . . . . . 8
47 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
4847eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12
4947eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12
5047eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12
5148, 49, 503anbi123d 1254 . . . . . . . . . . 11
5251, 40anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
5352rspcev 3044 . . . . . . . . 9
5453exp32 589 . . . . . . . 8
5546, 54mpcom 34 . . . . . . 7
5644, 55impbid 184 . . . . . 6
5733, 56bitrd 245 . . . . 5
58573comr 1161 . . . 4
597, 58syl5bb 249 . . 3
606, 59bitrd 245 . 2
612, 60syl5bb 249 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948  cop 3809   class class class wbr 4204  ccnv 4869  cfv 5446  (class class class)co 6073  coprab 6074  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283  cn 9992  cicc 10911  cfz 11035  cee 25819   cbtwn 25820 This theorem is referenced by:  brbtwn2  25836  axsegcon  25858  ax5seg  25869  axbtwnid  25870  axpasch  25872  axeuclid  25894  axcontlem2  25896  axcontlem4  25898  axcontlem7  25901  axcontlem8  25902 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-ee 25822  df-btwn 25823
 Copyright terms: Public domain W3C validator