Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brcgr Structured version   Unicode version

Theorem brcgr 25844
 Description: The binary relationship form of the congruence predicate. The statement Cgr should be read informally as "the dimensional point is as far from as is from , or "the line segment is congruent to the line segment . This particular definition is encapsulated by Tarski's axioms later on. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
brcgr Cgr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem brcgr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4430 . . 3
2 opex 4430 . . 3
3 eleq1 2498 . . . . . 6
43anbi1d 687 . . . . 5
5 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
65fveq1d 5733 . . . . . . . . 9
7 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
87fveq1d 5733 . . . . . . . . 9
96, 8oveq12d 6102 . . . . . . . 8
109oveq1d 6099 . . . . . . 7
1110sumeq2sdv 12503 . . . . . 6
1211eqeq1d 2446 . . . . 5
134, 12anbi12d 693 . . . 4
1413rexbidv 2728 . . 3
15 eleq1 2498 . . . . . 6
1615anbi2d 686 . . . . 5
17 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
1817fveq1d 5733 . . . . . . . . 9
19 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
2019fveq1d 5733 . . . . . . . . 9
2118, 20oveq12d 6102 . . . . . . . 8
2221oveq1d 6099 . . . . . . 7
2322sumeq2sdv 12503 . . . . . 6
2423eqeq2d 2449 . . . . 5
2516, 24anbi12d 693 . . . 4
2625rexbidv 2728 . . 3
27 df-cgr 25837 . . 3 Cgr
281, 2, 14, 26, 27brab 4480 . 2 Cgr
29 opelxp2 4915 . . . . . . . . . . 11
3029ad2antll 711 . . . . . . . . . 10
31 simplrr 739 . . . . . . . . . 10
32 eedimeq 25842 . . . . . . . . . 10
3330, 31, 32syl2anc 644 . . . . . . . . 9
3433adantlr 697 . . . . . . . 8
35 oveq2 6092 . . . . . . . . . 10
3635sumeq1d 12500 . . . . . . . . 9
3735sumeq1d 12500 . . . . . . . . 9
3836, 37eqeq12d 2452 . . . . . . . 8
3934, 38syl 16 . . . . . . 7
40 op1stg 6362 . . . . . . . . . . . . 13
4140fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12
42 op2ndg 6363 . . . . . . . . . . . . 13
4342fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12
4441, 43oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11
4544oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10
4645sumeq2sdv 12503 . . . . . . . . 9
47 op1stg 6362 . . . . . . . . . . . . 13
4847fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12
49 op2ndg 6363 . . . . . . . . . . . . 13
5049fveq1d 5733 . . . . . . . . . . . 12
5148, 50oveq12d 6102 . . . . . . . . . . 11
5251oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10
5352sumeq2sdv 12503 . . . . . . . . 9
5446, 53eqeqan12d 2453 . . . . . . . 8
5554ad2antrr 708 . . . . . . 7
5639, 55bitrd 246 . . . . . 6
5756biimpd 200 . . . . 5
5857expimpd 588 . . . 4
5958rexlimdva 2832 . . 3
60 eleenn 25840 . . . . 5
6160ad2antll 711 . . . 4
62 opelxpi 4913 . . . . . . . . 9
63 opelxpi 4913 . . . . . . . . 9
6462, 63anim12i 551 . . . . . . . 8
6564adantr 453 . . . . . . 7
6654biimpar 473 . . . . . . 7
6765, 66jca 520 . . . . . 6
68 fveq2 5731 . . . . . . . . . . 11
6968, 68xpeq12d 4906 . . . . . . . . . 10
7069eleq2d 2505 . . . . . . . . 9
7169eleq2d 2505 . . . . . . . . 9
7270, 71anbi12d 693 . . . . . . . 8
7372, 38anbi12d 693 . . . . . . 7
7473rspcev 3054 . . . . . 6
7567, 74sylan2 462 . . . . 5
7675exp32 590 . . . 4
7761, 76mpcom 35 . . 3
7859, 77impbid 185 . 2
7928, 78syl5bb 250 1 Cgr
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708  cop 3819   class class class wbr 4215   cxp 4879  cfv 5457  (class class class)co 6084  c1st 6350  c2nd 6351  c1 8996   cmin 9296  cn 10005  c2 10054  cfz 11048  cexp 11387  csu 12484  cee 25832  Cgrccgr 25834 This theorem is referenced by:  axcgrrflx  25858  axcgrtr  25859  axcgrid  25860  axsegcon  25871  ax5seglem3  25875  ax5seglem6  25878  ax5seg  25882  axlowdimlem17  25902 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-sum 12485  df-ee 25835  df-cgr 25837
 Copyright terms: Public domain W3C validator